北师大版初一上数学第5讲有理数教师版.docx

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北师大版初一上数学第5讲有理数教师版

有理数

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

1、了解有理数的分类。

2、掌握数轴的定义和性质以及它的作用。

3、掌握有关有理数和数轴的典型题目的解题方法。

有理数

1、有理数的概念

⑴______、______、______统称为整数（0和正整数统称为______自然数）

⑵______和______统称为分数

⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：

只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：

引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2、有理数的分类

总结：

①正整数、0统称为______（也叫自然数）

②负整数、0统称为______

③正有理数、0统称为______

④负有理数、0统称为______

数轴

3、数轴的概念

规定了______，______，______的直线叫做数轴。

注意：

⑴数轴是一条向两端无限延伸的______；

⑵______、______、______是数轴的三要素，三者缺一不可；

⑶同一数轴上的单位长度要______；

⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

4、数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是______关系。

（如，数轴上的点π不是有理数）

5、利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数______；

⑵正数都______0，负数都______0，正数______负数；

⑶两个负数比较，距离原点______的数比距离原点______的数小。

6、数轴上特殊的最大（小）数

⑴最小的自然数是______，无最大的自然数；

⑵最小的正整数是______，无最大的正整数；

⑶最大的负整数是______，无最小的负整数

7、a可以表示什么数

⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；

⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0

⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0

8、数轴上点的移动规律

根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

参考答案：

1、正整数0负整数负分数正分数

2、非负整数非正整数非负有理数非正有理数

3、原点正方向单位长度直线原点统一单位长度正方向

4、一一对应

5、大大于小于大于远近

6、10-1

1、有理数的分类

【例1】把下列各数填在相应的括号内：

-16，26，-12，-0.92，0，0.1008，-4.95（思考：

小数是分数吗？

）。

正数集合{}；负数集合{}；

整数集合{}；正分数集合{}；

负分数集合{}；

分析：

根据正数、负数、整数和分数的定义，严格区别．注意零既不是正数，也不是负数，但是整数．

解：

正数集合{26，0.1008，……}；

整数集合{-16，26，-12，0，……}；

负数集合{-16，-12，-0.92，-4.95，，……}；

正分数集合{0.1008，……}；

负分数集合{-0.92，-4.95，……}．

说明：

用大括号表示集合时，要注意省略号的使用．如“正数集合”指的是包含所有正数的一个“集体”，因为是“所有的”，而具体填时仅能填写一部分，所以后面应加省略号．

练1、下列说法正确的是（）

A、非负有理数就是正有理数B、零表示没有，不是自然数

C、正整数和负整数统称整数D、整数和分数统称为有理数

练2、零不属于（）

A、有理数集合B、整数集合

C、非正有理数集合D、正数集合

练3、

，2005，

，0，

，+11，

，

，

、2，

中，正整数和负分数共有（）

A、3个B、4个C、5个D、6个

答案：

1.D2.D3.C

2、有理数的性质

【例2】（2015年上海上宝中学练习）用有理数表示下面各量。

（1）如果收入200元记作＋200元，则如何表示支出100元？

（2）如果海平面以下100米记作－100米，则如何表示海平面以上1000米？

（3）如果向南行100米记作＋100米，则向北行200米如何表示？

分析：

该题中每两个量都是意义相反的两个量，为了区别意义相反的量我们应用不同符号的数来表示．

　　解：

（1）支出100元表示为－100元；

（2）海平面以上1000米应表示为＋1000米；（3）向北行200米表示为－200米；（4）比标准重量少5克表示为－5克．

注意：

（1）一个量是用正数表示，还是用负数表示是人们规定的，但在表示中也应尊重人们在多年生活中形成的习惯．如：

零上温度一般规定为正；海平面以上一般规定为正等；

（2）正数前面的“＋”号是可以省略不写的．

练4、如果温度上升3℃记作+3℃，那么下降5℃记作______________________

练5、如果向西走12米记作+12米，则向东走

120米表示的意义是___________________

练6、味精袋上标有“300±5克”字样，还说明这袋味精的质量范围应该是____～____

练7、地图上标有甲地海拔高度30米，乙地海拔高度为20米，丙地海报高度为

5米，其中最高处为___________地，最低处为___________地，最高处与最低处相差_________________

答案：

4、-5℃5、向西走120米6、295g305g7、甲、丙35米

【例3】已知数

的绝对值大于

，则在数轴上表示数

的点应在原点的哪侧？

分析：

确定表示

的点在原点的哪侧，其关键是确定

是正数还是负数．由于负数的绝对值是它的相反数正数，所以可确定

是负数．

解：

由于负数的绝对值是它的相反数，所以负数的绝对值大于这个负数；又因为0和正数的绝对值都是它本身，所以

是负数，故表示数

的点应在原点的左侧．

说明：

只有负数小于其本身的绝对值，而0和正数都等于自己的绝对值．

练8、如果点A表示的数是2.2，将点A向左边移动2个单位长度，那么这时点A表示的数是_______,如果再向左移动1.2个单位长度，那么这时点A表示的数是_______

练9、数轴上到原点的距离等于4个单位长度的点所表示的数是_____.

练10、数轴上与距离原点3个单位长度的点所表示的负数是______________

答案：

8、0.2-19、+4、-410、-3

【例4】（2015年郑州101中学练习）小明业余时间进行飞镖训练，上周日训练的平均成绩是8.5环，而这一周训练的平均成绩变化如下表：

正号表示比前一天提高，负号表示比前一天下降

（1）问本周哪一天的平均成绩最高，它是多少环？

（2）问本周哪一天的平均成绩最低，它是多少环？

（3）本周日的成绩和上周日的成绩比是提高了，还是下降了，其变动的环数是多少？

分析这题的关键问题是求出本周每天训练的平均环数，而要求出一天的平均环数只需知道前一天的平均环数，而上周日的平均环数已知。

解：

本周训练每天的平均环数如下：

周一：

8.5＋1＝9.5；

周二：

9.5＋0.2＝9.9；

周三：

9.7＋（－0.5）＝9.2；

周四：

9.2＋0.3＝9.5；

周五：

9.5＋0.2＝9.7；

周六：

9.7＋（－0.7）＝9；

周日：

9＋（－0.1）＝8.9。

由此可知本周二和本周五训练的平均成绩最高，是9.7环，本周日训练的平均成绩最低，是8.9环，本周日的平均成绩和上周日的平均成绩比是提高了，提高了（8.9－8.5＝0.4）0.4环。

说明：

本题中正数和负数的标准是以前一天的平均环数为标准，而不是都以上周日的平均环数为标准；注意在计算类似于这样的题时首先要把正、负的标准弄清楚。

练11、为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师。

如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：

千米）：

＋15，－4，＋13，

10，

12，＋3,

13,

17

（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？

（2）若汽车耗油量为0.4升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？

答案：

（1）25千米

（2）34.8

【例5】（2014年秋•甘井子区校级期中）下表是一个水文站在雨季在某条河一周内水位变化情况的记录,其中，水位上升用正数表示,水位下降用负数表示。

注：

①表中记录的数据为每天12时的水位与前一天12时水位的变化量。

②上周日12时的水位高度为2米。

请你通过计算说明本周末水位是上升了还是下降了？

分析：

计算这七天水位变化量的和，看结果是正、还是负，若是正，说明周末水位上升了；若是负；说明水位下降了．

解：

（1）

　　∴本周末水位下降了

练12、（2015年深圳大学附属中学期中）股民小张星期五买某公司股票1000股,每股14.80元,下表为第二周星期一至星期五每日该股票涨跌情况（单位:

元）:

（1）星期三收盘时,每股是多少元?

（2）本周内最高价是每股多少元?

最低价是每股多少元?

（3）已知小张买进股票时付了成交额0.15%的手续费,卖出时付了成交额0.15%的手续费和成交额0.1%的交易税,如果小张在星期五收盘前将全部股票卖出,那么他的收益情况如何?

答案：

（1）15.6元

（2）15.8，15.2（3）+938.3

3、数轴

【例6】下列数轴画正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

数轴．

分析：

根据数轴的三要素：

原点、单位长度、正方向，可得答案．

解答：

解：

A没有单位长度，故A错误；

B、没有正方向，故B错误；

C、原点、单位长度、正方向都符合条件，故C正确；

D、原点左边的单位表示错误，应是从左到右由小到大的顺序，故D错误；

故选：

C．

点评：

本题考查了数轴，注意数轴的三要素：

原点、单位长度、正方向．

练13、如图，是点A、B在数轴上的位置，则线段AB的长度为（　　）

A．

7

B．

6

C．

5

D．

4

考点：

数轴．

分析：

根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案．

解答：

解：

AB的长度为2﹣（﹣5）=2+5=7，

故选：

A．

点评：

本题考查了数轴，数轴上两点间的距离是大数减小数．

练14、数轴上与表示﹣2的点距离1个单位长度的点所表示的数　　．

考点：

数轴．

分析：

利用数轴上表示的数求解即可．

解答：

解：

数轴上与表示﹣2的点距离1个单位长度的点所表示的数﹣1或﹣3．

故答案为：

﹣1或﹣3．

点评：

本题主要考查了数轴，解题的关键是不要漏解．

1、下列说法正确的是（）

A、正整数和负整数统称整数；

B、正分数、负分数统称分数；

C、零既可以是正整数也可以是负整数；

D、一个有理数不是正数就是负数

2、下列说法错误的是（）

A、规定了原点、正方向和长度的直线叫数轴；

B、所有有理数都可以用数轴上的点表示；

C、0是最小的自然数；

D、-1是最大的负整数；

3、下列说法中不正确的是（）

A、最小的自然数是1B、最大的负整数是−1

C、没有最大的正整数D、没有最小的负整数

4、下列说法正确的是（）

A、有0个苹果即一个苹果也没有，故0的意义就是表示没有

B、0没有带“

”号，所以0是正数；

C、字母a没有带“

”号，所以a是正数；

D、0既不是正数，也不是负数

5、下列说法正确的是（）

A、“黑色”和“白色”表示具有相反意义的量；

B、“快”和“慢”表示具有相反意义的量；

C、“向南100米”和“向北1000米”表示具有相反意义的量；

D、“+15米”就表示向东走了15米

6、用

a表示的数一定是（）

A、负数B、正数C、正数或负数D、以上都不对

7、下列语句中正确的是（）

A、有理数没有最大的数也没有最小的数；

B、正数没有最大的数，有最小的数；

C、负数没有最小的数，有最大的数；

D、数轴上的点和有理数一一对应。

8、比较大小：

9、到原点的距离不大于3的整数有

10、在数轴上到－1的距离小于3个单位长度的整数有

11、某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温下降大约6℃，若该地区地面温度为23℃，该地区高空某点温度为-31℃，则此点的高度是大约是多少千米？

12、四位同学画数轴如下图所示，你认为正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

___________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

1、在数轴上与原点的距离等于2的点表示的数是（　　）

A．

2

B．

﹣2

C．

﹣1或3

D．

﹣2或2

2、在﹣4，

，0，2.7这四个有理数中，整数有　　．　

3、在有理数集合中，最小的正整数是　　，最大的负整数是　．

4、下列各图中，表示数轴的是（　　）

A.

B.

C．

D.

5、数轴上到原点的距离等于1的点所表示的数是（　　）

A．

±1

B．

0

C．

1

D．

﹣1

6、下列说法正确的有　　．（填序号）

①﹣a是负数．

②0既不是正数，也不是负数

③一个有理数不是整数就是分数．

④0是最小的有理数．

⑤有理数的绝对值是正数．

⑥如果两个数的绝对值相等，则这两个数互为相反数．

7、在数0，2，﹣3，﹣1.2中，属于负整数的是　　．

8、如图，数轴上标出的点中，任意相邻两点间的距离都相等，则a的值=　　．

9、数轴上表示数﹣5和表示﹣14的两点之间的距离是　．　

10、最小的正整数是　　，最大的负整数是　　．　

11、在有理数：

，﹣5，

，0，﹣5.3，60%中，负分数的有　，整数的有　　．　

12、在下列数中，有理数有　　个；负整数有　　个，是　　；

7，

，﹣6，0，3.1415，﹣

，﹣0.62，﹣11．

13、已知数轴上点A表示有理数﹣2，点B与点A相距3个单位长度，则点B表示的有理数是　　．　

14、已知p是数轴上的一点﹣4，把p点向左移动3个单位后再向右移1个单位长度，那么p点表示的数是　　．　

15、小明写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中数值，请你确定墨迹盖住部分的整数共有　　个．

参考答案

当堂检测

1-7BAADCDA

8、>

9、-3、-2、-1、0、1、2、3

10、-1、-2、0、-3、1

11、9

12、

考点：

数轴．

分析：

数轴的定义：

规定了原点、单位长度和正方向的直线．

解答：

解：

A中，无原点；

B中，无正方向；

D中，数的顺序错了．

故选C．

点评：

考查了数轴的定义．

注意数轴的三要素：

原点、正方向和单位长度．

家庭作业

1、考点：

数轴．

分析：

根据数轴上距离的相关概念解题．

解答：

解：

在数轴上与原点的距离等于2的点表示的数是|±2|=2．故选：

D．

点评：

解答此题要用到以下概念：

数轴的定义：

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；

（1）从原点出发朝正方向的射线上的点对应正数，相反方向的射线上的点对应负数，原点对应零．

（2）在数轴上表示的两个数，正方向的数大于负方向的数．

（3）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．

（4）若从点A向右移动|a|个单位，得到B，则B点坐标为A的坐标加|a|，反之B点坐标为A的坐标减|a|．

2、考点：

有理数．

分析：

有理数包括整数和分数，整数包括正整数、0、负整数，根据以上内容选出即可．

解答：

解：

在﹣4，

，0，2.7这四个有理数中，整数有﹣4，0，

故答案为：

﹣4，0．

点评：

本题考查了有理数的应用，注意：

有理数包括整数和分数，整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数、负分数．

3、考点：

有理数．

专题：

推理填空题．

分析：

根据正整数和负整数的定义来得出答案．正整数：

+1，+2，+3，…叫做正整数．负整数：

﹣1，﹣2，﹣3，…叫做负整数．特别注意：

0是整数，既不是正数，也不是负数．

解答：

解：

在有理数集合中，最小的正整数是1，最大的负整数是﹣1．

故答案为1；﹣1．

点评：

本题主要考查了有理数的分类及定义．认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．

特别注意：

整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．

4、考点：

数轴．

分析：

根据数轴的概念：

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：

原点，单位长度，正方向分析得出即可．

解答：

解：

A、缺少原点，不表示数轴，故此选项错误；

B、负数排列错误，应从原点向左依次排列，故此选项错误；

C、是正确的数轴，故此选项正确；

D、缺少正方向，故此选项错误．

故选C．

点评：

此题主要考查了数轴的概念，熟练掌握数轴的定义是解题关键．

5、考点：

数轴．

分析：

从原点向左数1个单位长度得﹣1，向右数1个单位长度得1，也就是绝对值为1的数是±1．

解答：

解：

与原点距离为1的点为：

|1|，

∴这个数为±1．

故选：

A．

点评：

通过数轴找这样的数，有助于对绝对值意义的理解．

6、考点：

有理数．

分析：

根据小于零的数是负数，可判断①，根据零的意义，可判断②，根据有理数的分类，可判断③，根据有理数的意义，可判断④，根据绝对值的意义，可判断⑤，根据相反数的性质，可判断⑥．

解答：

解：

①﹣a可能是负数、零、正数，故①说法错误；

②零既不是正数也不是负数，故②说法正确；

③有理数包括整数和分数，故③说法正确；

④没有最小的有理数，故④说法错误；

⑤有理数的绝对值是非负数，故⑤说法错误；

⑥两个数的绝对值相等，这两个数相等或互为相反数，故⑥说法错误；

故答案为：

②③．

点评：

本题考查了有理数，绝对值相等的数相等或互为相反数，注意没有最小的有理数也没有最大的有理数．

7、考点：

有理数．

分析：

根据小于零的整数是负整数，可得答案．

解答：

解：

在数0，2，﹣3，﹣1.2中，属于负整数的是﹣3．

故答案为﹣3．

点评：

此题考查了有理数，根据实数的相关概念及其分类方法进行解答，然后判断出属于负整数的数即可．

8、考点：

数轴．

分析：

先根据数轴上两点之间距离公式求出﹣12表示的点到20表示的点之间的距离，再求出相邻两点之间的距离得出一格表示的数，然后得出a的值．

解答：

解：

∵﹣12表示的点与20表示的点之间的距离为：

20﹣（﹣12）=32，

∴每相邻两个间隔之间表示的长度为：

32÷8=4，

∴a=﹣12+4×3=0．

故答案为0．

点评：

本题考查的是数轴的特点及数轴上两点之间的距离公式，关键是求出每一格代表的数的大小，另外注意原点左边的数为负数．

9、考点：

数轴．

分析：

数轴上两点之间的距离等于这两点的数的差的绝对值，即较大的数减去较小的数．

解答：

解：

|﹣5﹣（﹣14）|=9．

点评：

考查了数轴上两点之间的距离的计算方法．

10、考点：

有理数．

分析：

根据有理数的相关知识进行解答．

解答：

解：

最小的正整数是1，最大的负整数是﹣1．

点评：

认真掌握正数、负数、整数的定义与特点．需注意的是：

0是整数，但0既不是正数也不是负数．

11、考点：

有理数．

分析：

根据有理数的分类即有理数包括：

整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）进行解答即可．

解答：

解：

在

，﹣5，

，0，﹣5.3，60%中，负分数的有

，﹣5.3；

整数的有﹣5，0；

故答案为：

，﹣5.3；﹣5，0．

点评：

此题考查了有理数的分类，认真掌握有理数的分类是本题的关键；注意整数、0、正数之间的区别：

0是整数但不是正数．

12、考点：

有理数．

分析：

根据有理数的定义和负整数的特点分别进行解答即可．

解答：

解：

有理数有7，

，﹣6，0，3.1415，﹣

，﹣0.62，﹣11，共8个；

负整数有﹣6，﹣11，共2个；

故答案为：

8，2，﹣1，﹣11．

点评：

此题考查了有理数的分类，认真掌握有理数和负整数的定义是本题的关键，注意0是整数，但不是负整数．

13、考点：

数轴．

分析：

根据数轴上的点到一点距离相等的点有两个，可得答案．

解答：

解：

∵|﹣5﹣（﹣2）|=3，|1﹣（﹣2）|=3，

∴已知数轴上点A表示有理数﹣2，点B与点A相距3个单位长度，则点B表示的有理数是﹣5或1．

故答案为：

﹣5或1．

点评：

本题主要考查了数轴，两点间的距离公式是解题关键．

14、考点：

数轴．

专题：

阅读型．

分析：

根据题意，分析可得，实际将P向左平移2个单位，结合数轴可得答案．

解答：

解：

根据题意，把p点向左移动3个单位后再向右移1个单位长度，

实际将P向左平移2个单位，

则p点表示的数是﹣4﹣2=﹣6，

故答案为﹣6．

点评：

本题考查数轴的运用，要求学生掌握用数轴表示实数．

15、考点：

数轴．

分析：

根据数轴上已知整数，求出墨迹盖住部分的整数个数．

解答：

解：

根据数轴得：

墨迹盖住的整数共有0，1，2共3个．

故答案为：

3．

点评：

本题主要考查了数轴，理解整数的概念，能够首先结合数轴得到被覆盖的范围，进一步根据整数这一条件是解题的关键．