高考数学一轮复习第十章统计与统计案例101随机抽样学案理.docx
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高考数学一轮复习第十章统计与统计案例101随机抽样学案理
§10.1 随机抽样
考纲展示►
1.理解随机抽样的必要性和重要性．
2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样．
考点1 简单随机抽样
1.定义：
设一个总体含有N个个体，从中________抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都________，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
答案：
逐个不放回地 相等
2．最常用的简单随机抽样的方法：
________和________．
答案：
抽签法 随机数法
（1）[教材习题改编]在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ）
A．总体
B．个体
C．样本的容量
D．从总体中抽取的一个样本
答案：
A
解析：
由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.
（2）[教材习题改编]2017年1月6日～8日某重点中学在毕业班进行了一次模拟考试，为了了解全年级1000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，下面说法：
①1000名学生是总体；②每名学生是个体；③1000名学生的成绩是一个个体；④样本的容量是100.其中正确的序号是__________．
答案：
④
解析：
1000名学生的成绩是总体，每名学生的成绩是个体，被抽取的100名学生的成绩是一个样本，其样本的容量是100.
频数问题：
频数＝样本容量×频率．
[2017·湖北武汉武昌区模拟]已知某地区中小学生人数和近视情况如下表所示.
年级
人数
近视率
小学
3500
10%
初中
4500
30%
高中
2000
50%
为了解该地区中小学生近视形成的原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则：
（1）样本容量为________；
（2）抽取的高中生中，近视的人数为________．
答案：
（1）200
（2）20
解析：
由题意可得，总人数为10000，因为抽取2%的学生进行调查，
所以样本容量为10000×2%＝200，则抽取的高中生有200×
＝40，
其中近视的人数为40×50%＝20.
[典题1]
（1）老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（ ）
A．随机抽样B．分层抽样
C．系统抽样D．以上都不是
[答案] C
[解析] 因为抽取学号是以5为公差的等差数列，故采用的抽样方法应是系统抽样．
（2）总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
A.08B．07
C．02D．01
[答案] D
[解析] 从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号为01.
（3）下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有________．（填序号）
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．
④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
[答案] ①②③④
[解析] ①不是简单随机抽样．因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的．
②不是简单随机抽样．因为它是有放回抽样．
③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．
④不是简单随机抽样．因为不是等可能抽样．
[点石成金] 1.一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：
一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
2．在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．
考点2 系统抽样
系统抽样
（1）定义：
在抽样时，将总体分成________的几个部分，然后按照________的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样（也称为机械抽样）．
（2）适用范围：
适用于________很多且________总体抽样．
答案：
（1）均衡 事先确定
（2）元素个数
均衡的
（1）[教材习题改编]为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应为（ ）
A．13B．19
C．20D．51
答案：
C
解析：
抽样间隔为46－33＝13，
故另一位同学的编号为7＋13＝20，故选C.
（2）[教材习题改编]为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用系统抽样的方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是__________．（填序号）
①5,10,15,20,25②2,4,8,16,32
③1,2,3,4,5④7,17,27,37,47
答案：
④
解析：
利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取1个，号码间隔为10.只有④正确.
[典题2]
（1）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）
A．50B．40
C．25D．20
[答案] C
[解析] 由系统抽样的定义知，分段间隔为
＝25.
（2）[2017·东北三省哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考]将高一·九班参加社会实践编号为1,2,3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号、29号、41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________．
[答案] 17
[解析] 根据系统抽样的概念，所抽取的4个样本的编号应成等差数列，因为在这组数中的间距为41－29＝12，所以所求的编号为5＋12＝17.
[点石成金] 解决系统抽样问题的两个关键步骤
（1）分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．
（2）起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．
考点3 分层抽样
分层抽样
（1）定义：
在抽样时，将总体________的层，然后按照________，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
（2）分层抽样的应用范围：
当总体是由________几个部分组成时，往往选用分层抽样．
答案：
（1）分成互不交叉 一定的比例
（2）差异明显的
（1）[教材习题改编]一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是
，则应抽取男运动员________人．
答案：
16
解析：
设应抽取男运动员x人，则
＝
，解得x＝16.
（2）[教材习题改编]某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．
答案：
25
解析：
由题意知，男生共有500名，根据分层抽样的特点，在容量为45的样本中男生应抽取的人数为45×
＝25.
分层抽样：
差异明显；按比例抽样．
某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为k∶5∶3，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知A种型号的产品共抽取了24件，则C种型号产品抽取的件数为__________．
答案：
36
解析：
∵A，B，C三种产品的数量之比依次为k∶5∶3，
∴由
＝
，解得k＝2，
则C种型号产品抽取的件数为120×
＝36.
[典题3]
（1）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为（ ）
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A.90B．100C．180D．300
[答案] C
[解析] 设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点，得
＝
，故x＝180.
（2）[2017·云南统一复习检测]某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度，3位持“一般”态度．那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的人数为（ ）
A．36B．30C．24D．18
[答案] A
[解析] 设持“不喜欢”态度的有x人，则持“一般”态度的有（x＋12）人．
按分层抽样方法，可得
＝
.
解得x＝6.
∴持“喜欢”态度的有6×6＝36（人）．故选A.
[点石成金] 进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：
（1）
＝
；
（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比.
[方法技巧] 三种抽样方法中简单随机抽样是最基本的抽样方法，是其他两种方法的基础，适用范围不同，要根据总体的具体情况选用不同的方法；它们的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽取的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性，若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每一个个体被抽到的概率都是
.
[易错防范] 应用分层抽样应遵循的三点：
（1）分层，将相似的个体归为一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即不重复不遗漏．
（2）分层保证每个个体等可能被抽取，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等．
（3）若各层应抽取的个体数不都是整数，则应当调整样本容量，先剔除“多余”的个体．
真题演练集训
1．[2016·山东卷]某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：
小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20），[20,22.5），[22.5,25），[25,27.5），[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A．56B．60C．120D．140
答案：
D
解析：
由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为（0.16＋0.08＋0.04）×2.5＝0.7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140.故选D.
2．[2015·湖北卷]我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：
粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石B．169石
C．338石D．1365石
答案：
B
解析：
设1534石米内夹谷x石，则由题意知
＝
，解得x≈169.故这批米内夹谷约为169石．
3．[2015·新课标全国卷Ⅱ]根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：
万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
答案：
D
解析：
对于A选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正确．对于B选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B正确．对于C选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正确．由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D.
4．[2014·天津卷]某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
答案：
60
解析：
设应从一年级本科生中抽取x名学生，则
＝
，解得x＝60.
5．[2015·湖南卷]在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：
分钟）的茎叶图如图所示．
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．
答案：
4
解析：
对数据进行分组，在区间[139,151]上，有几组就有几个运动员．
35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139,151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取一人，共取4人．
课外拓展阅读
分层抽样与其他知识的综合
分层抽样是历年高考的重要考点之一，高考中常把分层抽样、频率分布、概率综合起来进行考查，反映了当前高考的命题方向，这类试题难度不大，但考查的知识面较为宽广，在解题中要注意准确使用所学知识，不然在一个点上的错误就会导致整体失误．
[典例1] 从1,2，…，500这500个号中用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，已知样本中最小号为15，从样本中随机抽出3个号，至少有两个号能被3整除的抽法种数为（''）
A．60B．40
C．120D．36
[思路分析] 先根据系统抽样的定义求出样本间隔，然后根据排列组合进行求解即可．
[解析] 样本间隔为500÷10＝50，若样本中最小号为15，则抽取的样本号满足an＝15＋50（n－1）＝50n－35（n∈N*）．
对应的号码为15,65,115,165,215,265,315,365,415,465，
其中不能够被3整除的号码为65,115,215,265,365,415，有6个，能被3整除的号码有4个．
从样本中随机抽出3个号，有两个号能被3整除的抽法种数为C
C
＝36，有3个号能被3整除的抽法种数为C
＝4.
则至少有两个号能被3整除的抽法种数为36＋4＝40.
[答案] B
[典例2] 某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表：
学历
35岁以下
35～50岁
50岁以上
本科
80
30
20
研究生
x
20
y
（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；
（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为
，求x，y的值．
[思路分析]
[解]
（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，所以
＝
，解得m＝3.
抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3.
从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：
（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）．
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：
（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2）．
所以从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为
.
（2）由题意，得
＝
，
解得N＝78.
所以35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，
所以
＝
＝
，
解得x＝40，y＝5.
即x，y的值分别为40,5.
温馨提示
分层抽样与概率结合的题目多与实际问题紧密联系，计算量和阅读量都比较大，且会有图表，求解时容易造成失误，平时需注意多训练此类型的题目．
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