初中阶段数学重点知识点资料.docx

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初中阶段数学重点知识点资料

数学重点知识点

一、数与代数：

1.无限不循环的小数叫做无理数.常见无理数有三类:

（1）π

（2）开方开不尽的数.如

…

（3）无限不循环有规律的数,如1.020020002…

2.有效数字:

一个数,从左边第一个不是零的数字起到所精确的数位止,其中所有的数都是有效数字.如0.02080的有效数字有四个:

2,0,8,0

3．一元一次方程的标准形式：

ax+b=0（a≠0）

4．一元二次方程的标准形式：

ax2+bx+c=0（a≠0）

5．一元二次方程的四种基本解法：

（1）直接开平方法

（2）因式分解法.

（3）配方法.

（4）公式法.

6.一元二次方程根的的判别式:

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中,Δ=b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式.

根的判别式可以直接判断一元二次方程根的情况:

①当Δ＞0时,方程有两个不相等的实数根;

②当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;

③当Δ＜0时,方程没有实数根.

④当Δ≥0时,方程有两个实数根.

7.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式:

.

8.解一元二次方程的基本思路是:

将二次方程转化为一次方程,通过降次求解.我们要根据一元二次方程的具体特点,灵活地运用上述四种方法,使解题过程简易,避免大量的运算.配方法和公式法适用于所有的一元二次方程.

9.分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

解分式方程有可能产生增根是分式方程的一个特点,因为在利用“去分母”把分式方程转化为整式方程时,方程两边都乘以含有未知数的整式,而这个整式的值有可能是零,这种变形不满足方程的两边不能乘以零,所以就产生了不满足原方程的根,称为“增根”.检验出增根要舍去.

10.解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法

是:

⑴去分母,方程两边都乘以最简公分母;

⑵解所得的整式方程;

⑶检验,将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根,应该舍去;若不等于零,就是原方程的根.

11.二元一次方程组的解集必须用“｛”

12.“不大于”是指“≤”.“不小于”是指“≥”.

13.一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况,如图所示:

⑴x＞a如图1所示:

⑵x＜a如图2所示:

图1　　　　　　图2

⑶x≥a如图3所示:

⑷x≤a如图4所示:

图3图4

14.注意不等式基本性质3:

不等式两边都乘以（或除以）同一个负数,不等号的方向改变.即如果a＞b,并且c＜0,那ac＜bc,

.

15.一元一次不等式组的解法:

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集;

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集.求不等式组公共解的一般规律:

同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小解不了.

（3）注意有时解不等式或不等式组求特殊解的情况,如求正整数解等.

（4）注意不等式组的解集在数轴上表示时包含此点用实心,不含用空心.

16.实际应用题注意检验解的合理性.

17.数轴上的点与实数是一一对应的；坐标平面上的点与有序实数对是一一对应的。

18.所有一次函数的图象都是一条直线。

一次函数

的图象是经过点（0，b）和（

，0）的直线；正比例函数

的图象是经过点（1，k）和（0，0）的直线。

19.反比例函数中比例系数的几何意义

如图，过反比例函数

图象上任一点P作

轴、

轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积

S=PM·PN=

。

。

即过双曲线上任一点作

轴、

轴的垂线，所得的矩形面积是

20.二次函数的图象是一条关于对称轴对称的抛物线，抛物线的几个主要特征：

（1）有开口方向；

（2）有对称轴；（3）有顶点。

画二次函数的图象通常采用描点法——五点法。

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：

（

是常数）；

（2）顶点式：

是常数）

（3）交点式：

（a≠0，x1，x2是图象与x轴交点横坐标）

21.二次函数的最值：

（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最值，即

当

时，

最值=

（2）如果自变量的取值范围是

，那么

当

在此范围内时，

最值=

；

当

不在此范围内时，则需考虑函数在

内的增减性,来确定最值．

二、空间与图形：

1．位置关系：

（1）点和直线的位置关系:

点在直线上；点在直线外.

（2）点和圆的位置关系:

点在圆上；点在圆内；点在圆外.

（3）直线和圆的位置关系:

相离；相交；相切.

（4）圆和圆的位置关系:

外离；外切；相交；内切；内含.

2.角的大小与角的两边长短无关,只与构成角的两条射线的幅度大小有关

3.角的平分线有下面的定理:

（1）角平分线定理:

角平分线上的点到角的两边的距离相等。

（2）角平分线定理的逆定理:

到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

4．连接两点之间的线段的长度叫做两点间的距离。

直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。

两条平行线中，一条直线上的任一点到另一条直线的距离叫做两条平行线间的距离。

5．

（1）平行于同一条直线的两直线平行.

（2）垂直于同一条直线的两直线平行.

6．三角形的分类:

（1）三角形按边的关系分类如下:

三角形

斜

（2）三角形按角的关系分类如下:

三角形

7.三角形全等的判定:

（1）边角边公理（简写成SAS）

（2）角边角公理（简写成ASA）

（3）边边边公理（简写成SSS）

（4）斜边、直角边公理（简写成HL）

8.证明一个三角形是等腰三角形的方法:

1有两边相等的三角形是等腰三角形.

2等角对等边;

9.证明一个三角形是等边三角形的方法:

1利用定义证明:

证明三条边相等.

2证明三角形三个角相等.

3证明它是等腰三角形并且已有一个角是60°.

10.等腰三角形的性质定理的推论:

等腰三角形的顶角平分线底边中线、底边高线互相重合.

11.多边形内角和公式：

180°（n为多边形的边数）

12.多边形外角和：

360°.

11.平行四边形的性质：

（1）.平行四边形对边相等、平行。

（2）.平行四边形对角相等，邻角互补。

（3）.平行四边形对角线互相平分。

12.平行四边形的判定:

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.

13.夹在两条平行线间的平行线段相等。

14.矩形的性质:

（1）矩形的对边平行且相等.

（2）矩形的四个角都相等是直角.

（3）矩形的对角线互相平分且相等.

15.矩形的判定:

（1）三个角是直角的四边形是矩形.

（2）有一个角是直角的平行四边形是矩形.

（3）对角线相等的平行四边形是矩形.

16.菱形的性质：

（1）菱形的四边相等.

（2）菱形的对角线互相平分且垂直.

（3）菱形的面积等于

=底×高=对角线乘积的一半.

17.菱形的判定：

（1）四条边都相等的四边形是菱形.

（2）对角线垂直的平行四边形是菱形.

（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形.

18.中点四边形:

（1）顺次连接任意的四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.

（2）顺次连接对角线垂直的四边形各边中点所得的四边形是矩形.

（3）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形.

（4）顺次连接对角线垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形.

注意:

以上是用三角形的中位线定理推导出来.

19三角形的中位线:

三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.

梯形的中位线:

梯形的中位线平行于上下底并且等于上下底和的一半.

20.

（1）常见的轴对称图形:

直线,线段,射线,角,等腰三角形,等边三角形,等腰梯形,矩形,菱形,正方形,正多边形,圆.

（2）常见的中心对称图形:

直线,线段,平行四边形,矩形,菱形,正方形,正偶数边形,圆

（3）常见既是轴对称图形又是中心对称图形的是:

直线,线段,矩形,菱形,正方形,圆,正偶数边形.

21.垂径定理：

（1）定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

（2）推论：

（1）平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。

22．三个量关系（弧、弦、圆心角之间的关系）定理：

（1）定义：

顶点在圆心的角叫做圆心角；

（2）定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。

（3）推论：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条

弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

23．圆周角定理：

（1）定义：

顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。

（2）定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

（3）推论：

同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

24．切线的判定和性质定理：

（1）切线的判定：

经过切点并且垂直于切线的直线是圆的切线。

（2）切线的性质：

圆的切线垂直于经过切点的半径。

25.切线长定理：

1．定义：

经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段

的长叫做这点到圆的切线长。

2．定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点的连线平分两条切线的夹角。

26．

（1）经过一点能做无数个圆，经过两点能做无数个圆，圆心在以

这两个点为端点线段的中垂线上；经过三点能做一个圆。

（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆。

（3）经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.

（4）三角形的外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

5．锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心在其

边上，是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部.

6．与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.

7．三角形的内切圆的圆心是三角形的三条角平分线的的交点，它叫做三角形的内心.

8．三角形的三条边分别为a，b，c，面积是S，则其内切圆的半径为

r=

.

9．直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，则其内切圆半径为

r=

.

27．圆中的有关计算：

1．弧长公式：

n°的圆心角所对的弧长

的计算公式为

=

2．扇形面积公式：

S=

=

．

3.圆锥的侧面积公式：

S=

=

=πrR（R为母线长,r为底面圆半径）

28.平移要注意平移方向,平移距离.

旋转要注意旋转中心,旋转方向（顺时针、逆时针），旋转角度.

三、统计与概率

1．

（1）.所要考察对象的全体叫做总体。

（2）．总体中每个要考察的对象叫个体。

（3）．从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。

（4）．样本中个体的数目叫做样本容量。

例如:

为了了解某地区初一年级7000名学生的体重情况，从中抽取了500名学生测体重，就这个问题来说，

（1）7000名学生的体重是总体

（2）每个学生的体重是个体

（3）500名学生的体重是所抽取的一个样本

（4）样本容量是500

2.频率=

3.能够清楚地表示出每个项目的具体数目的统计图是条形统计图;

能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比的统计图是扇形统计图;

能清楚地反映事物的变化情况的统计图是折线统计图。

4.“三数”:

平均数,中位数,众数.

（1）在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

（2）将一组数据按从小到大（或从大到小）依次排列，如果数据的个数为奇数,把处在中间位置的一个数据叫做中位数;如果数据的个数为偶数,把处在中间位置两个数的平均数叫做中位数。

（3）在实际问题中求得的平均数、众数和中位数，不要漏写单位。

6.“三差”:

极差,方差,标准差

（1）一组数据中最大与最小两个数据的的差叫做极差.

（2）方差:

（3）标准差:

（4）方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数,常用来比较两组数据的波动大小,我们所研究的仅是这两组数据的个数相等,平均数相等或比较接近时的情况.方差大的数据波动较大,方差小的数据波动较小.

8.画树状图或列表求概率举例:

小红家有橘子和苹果两种水果,她和妈妈任意选择其中的一种.请你用列表或画树状图的方法计算以下事件发生的概率.

（1）求两人都选择苹果的概率.

（2）求两人选择同一种水果的概率.