数学建模B题全国一等奖论文修订稿.docx
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数学建模B题全国一等奖论文修订稿
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数学建模B题全国一等奖论文
基于供求匹配率的出租车资源配置模型
摘要
本文针对城市出租车资源配置问题，采用定性与定量相结合的研究方法，建立衡量出租车供求匹配程度的指标，分析打车软件各种补贴方案对所建指标的影响，在充分考虑各方利益的前提下，得到打车软件的最优补贴方案，对城市出租车行业资源优化配置、持续良性发展具有一定的参考意义。
为分析不同时空出租车资源的供求匹配程度，引入出租车资源供求匹配率这一指标，指标的定义为城市中实际运行的出租车辆数与居民出行需要的出租车辆数之比，反映城市中实际运行的出租车辆数与居民出行需要的出租车辆数之间的差异。
计算得出成都2013年出租车供求匹配率为，表示供不应求。
居民出行需要的出租车辆数与居民人均日出行次数、城市总人口数量、居民出行选择乘坐出租车的比例有关，也与每辆出租车日均载客次数、每单载客人数和车辆满载率有关。
对于居民人均日出行次数，利用十五个国内大中城市的数据，将十二个城市经济指标聚类分析选出每类指标中典型的经济指标，建立居民人均日出行次数与这些典型经济指标间的多元线性回归方程，而与居民出行需要的出租车辆数相关的其他指标可查阅文献或年鉴获得。
分析成都市每天6:
00-8:
30，11:
00-12:
30,13:
30-14:
30,17:
00-18:
30四个时间段得供求匹配率分别为，,,，结果显示供不应求。
得到大连、北京、广州、武汉、南京、成都、杭州、深圳八座城市的出租车资源供求匹配率分别为、、、、、、、，表明只有大连的出租车资源是供大于求，而其余七座城市为供小于求。
为了分析各公司的出租车补贴方案对缓解打车难是否有帮助，定性分析出租车日均载客次数、出租车满载率随打车软件对出租车司机每单补贴金额的变化趋势，分别建立阻滞增长模型，进而分析打车软件对出租车司机每单补贴金额的变化对所建指标的影响。
得到的结论为：
对于使用打车软件的乘客来说，出租车补贴方案能够缓解打车难的问题；而对于不使用打车软件的乘客来说，出租车补贴方案则不能缓解打车难的问题。
针对打车软件服务平台的最优补贴问题，综合考虑乘客、出租车司机和打车软件公司三方的满意度，利用熵值法确定这三方各自满意度的权重，将三方满意度加权之和作为综合满意度，进而以综合满意度为目标函数，以打车软件对出租车司机每单补贴金额为控制变量，以补贴金额设置的范围为约束条件建立优化模型。
遍历所有可能的方案得到最优补贴方案为对出租车司机每单补贴9元,综合满意度为。
关键词：
聚类分析；回归分析；灰色预测；阻滞增长模型；熵值法；最优化
一、
问题重述
随着经济的发展，近年来，人们对出行的要求不断提高，城市出租车以其方便、快捷、舒适和私密性的特点成为越来越多人的出行选择。
但是，国内各大城市交通问题日趋严重，“打车难”也是人们关注的一个社会热点问题。
数据显示，包括上海、杭州等众多大城市，出租车非高峰期的空驶率始终在30%上下徘徊，而高峰期却打不到车。
这与众多市民反映的打车难背后所隐藏的强烈需求看似形成了一个矛盾。
究其原因，最主要的莫过于司机与乘客需求信息不对称，缺乏及时沟通交流的平台。
随着“互联网+”时代的到来，有多家公司依托移动互联网建立了打车软件服务平台，实现了乘客与出租车司机之间的信息互通，同时推出了多种出租车的补贴方案，吸引了越来越多的司机和乘客使用打车软件。
然而，打车软件同时也导致出租车行业乱象丛生，存在马路扬招成功率降低、乘客怕司机接到大单拒载、司机分心忙于抢单影响行车安全等问题。
请你们搜集相关数据，建立数学模型研究如下问题：
问题一：
试建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度。
问题二：
分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助？
问题三：
如果要创建一个新的打车软件服务平台，你们将设计什么样的补贴方案，并论证其合理性。
二、问题分析
“打车难”是人们关注的一个社会热点问题。
但是，在北京也不是无论何时何地都难打到车。
打车难往往出现在特殊时间和地点：
上班高峰的住宅区，下班高峰的商务区，凌晨和深夜的郊区或偏僻地点，遇到雨雪天气……
“互联网+”时代的出租车资源配置是一个十分复杂的社会问题。
要想准确得出合理的资源配置方案难以实现，同时也难以准确收集大量出租车的各项数据如出租车的每天跑单数，收费，拒载情况等，以及不同城市不同城区不同时间居民的出行行为特征数据。
为了建立合理的指标，分析不同时空出租车资源的供求匹配程度，首先从城市居民出行对出租车的需求量入手，分析与需求量有关的主要指标，如城市居民出行量。
为分析城市居民出行量与城市经济指标的相关性，先将这些指标进行聚类分析，继而得出每类最具代表性的经济指标，再将最具代表性的经济指标与居民出行总量进行回归分析，得到多元线性回归模型，从而预测居民的出行总量。
通过查阅文献可以确定居民出行选择出租车作为出行方式的比例从而，计算得出城市的出租车运输量的需求量。
然后根据供需平衡法预测出城市出租车需求量。
将城市实际出租车数量与城市出租车需求数量作比，得到衡量出租车资源的供求匹配程度的指标即供求匹配率。
对未来城市的出租需求量进行灰色关联预测，得到未来城市的出租需求量，通过计算不同城市的出租车需求量，进行不同时空的出租车资源供求匹配的分析。
对于各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助问题，由于难以得到各公司不同时间的补贴方案对居民打车难度的实际影响效果数据，我们从公司对每单的补贴金额入手，分析每单补贴金额范围为0～15元，认为补贴金额再高对公司利益有较大损失。
司机的每日跑单数为平均每台出租车每天接单数，有效载客率等效为里程利用率。
以每单补贴金额为自变量，司机的每日跑单数和有效载客率为因变量，建立阻滞增长模型，基于前面的供求匹配率关系式算出不同每单补贴金额对应的供求匹配率这一指标。
为一个新的打车软件服务平台设计合理的补贴方案，我们基于已建立的模型计算出租车单车日均载客次数、有效载客率与打车软件平台对每单补贴金额的关系式。
综合考虑每单补贴金额对出租车司机、乘客、打车软件平台三方各自的满意度，利用熵值法求出三方满意度的权重，继而将三方的标准化数据乘以权重得出综合满意度，比较得出最优的补贴方案。
三、模型假设
1．假设城市中的黑车现象对居民出行没有造成影响；
2．假设所研究的城市没有发生严重的自然灾害和社会动荡；
3．假设所研究的城市政府对出租车行业的政策基本不变；
4．假设司机和乘客都是为自身利益考虑，即经济人假设；
5．假设参考文献中的数据来源可靠，真实可信。
四、符号说明
符号
含义，单位
P
出租车供求匹配率
M
市民出行需要的出租车辆数，辆
N
城市实际运行的出租车辆数，辆
Y
市民日均出行次数，次/日
W
城市总人口数量，人
η
市民选择打车出行的比例
s
出租车单车日均载客次数，次/车日
λ
出租车单车日均每次载客人数，人/车次
μ
出租车满载率
vi
城市的第i个经济指标
R
Pearson相关系数
w
打车软件每单对司机的补贴钱数，元
x
每辆出租车每天接单的数量，单
y
出租车每天的满载率
五、模型建立与求解
建模前的准备
由参考文献[2]可得到现有指标体系见表1。
表1衡量出租车供求的三大指标
指标
里程利用率
意义
指营业里程与行驶里程之比，一般以一辆车为单位，公式为：
里程利用率=营业里程（公里）/行驶里程（公里）×100%
评价
这一指标反映车辆载客效率，如果比例高，说明车辆行驶中载客比例高，空驶比较低，对与要车的乘客来说可供租用的车辆不多，乘客等待时间增加，说明供求关系比例紧张。
如果比例低，则车辆空驶比例高，乘客租用比较方便，但经营者的经济效益下降。
国外一些城市把这一指标作为出租汽车发展规划的主要数据。
如日本的东京、横滨等城市，把出租汽车里程利用率控制在52%左右，以方便乘客租车，如果里程利用率高于52%，则发展出租汽车，使之降到52%左右。
指标
车辆满载率
意义
通过在客流集散较为集中的地点选取几个长期观测点，对单位时间通过道路的载有乘客的出租汽车数量占总通过出租汽车数量的比，公式为：
车辆满载率=载客车数（辆）/总通过车辆（辆）×100%
评价
经验认为，车辆满载率应达70%。
在实际操作过程中，通过控制出租车的满载率实现运力与运量的适当平衡。
在中心城市，当出租车汽车载客率低于70%时，限制出租汽车运力增加；高于70%,增加出租汽车运力，这样对于提高服务质量，满足高峰时运力需求具有重要作用。
指标
万人拥有量
意义
是人均设备普指标，用来描述一定城市规模内车辆的占有量。
公式为：
万人拥有量=车辆（辆）/人口规模（万人）
评价
目前对城市出租车拥有量的控制标准中并没有上限规定，现行的《城市道路交通规划设计规范（GB50220-95）》仅给出了出租车拥有量的下限，即大城市不少于每万人20辆，小城市不少于每千人5辆，中等城市可在其间取值。
问题一：
建立评价出租车资源供求匹配程度的指标
为评价出租车资源的“供求匹配”程度，引入出租车资源的供求匹配率这一指标，指标的定义为城市中实际运行的出租车辆数与市民出行需要的出租车辆数之比，即
（1）
其中，引入P表示出租车资源的供求匹配率，M表示市民出行需要的出租车辆数，N表示城市中实际运行的出租车辆数。
市民出行需要的出租车辆M的意义是指这些出租车辆能够恰好满足市民打车出行的需求，即城市出租车资源供求平衡时的车辆数。
供求匹配率P反映了城市中实际运行的出租车辆数与市民出行需要的出租车辆数之间的差异。
供求匹配率P＝1为出租车资源供求平衡状态，供求匹配率P越接近1，则说明城市出租车资源供求匹配程度越高，出租车数量配置越合理；当供求匹配率P大于1时，表明城市中现有的出租车数量超过市民出行需要的数量，会增加出租车的空驶率，造成出租车司机的收益降低；当供求匹配率P小于1时，表明城市中现有的出租车数量少于市民出行需要的数量，需要增加出租车的数量来缓解打车难的情况。
5.2.1建立市民出行需要的出租车辆数M的预测模型
市民出行需要的出租车辆数M与市民人均日出行次数、城市总人口数量、市民出行选择乘坐出租车的比例有关，也与每辆出租车日均载客次数、每单载客人数和车辆满载率有关，具体关系式为：
符号表达式为：
（2）
其中，M表示市民出行需要的出租车辆数（辆），Y表示市民人均日出行次数（单位：
次/人日），W为城市总人口数量（人），η表示市民选择打车出行的比例，s表示出租车单车日均载客次数（单位：
次/车日），λ表示出租车单车日均每次载客人数（人/车次），μ为出租车满载率。
根据参考文献[3]，选取出租车单车日均载客次数s=35（次/车日），出租车单车日均每次载客人数λ=（人/车次），出租车满载率μ=65%，居民选择打车出行的比例为6%。
接下来建立市民人均日出行次数与城市经济指标关联的量化模型
市民人均日出行次数是居民出行强度的最直接反映，其与城市人口总数量的乘积即为市民的出行总量，而市民人均日出行次数与城市经济指标有着极大联系。
通常情况下，市民人均日出行次数的多少与出行目的、城市布局、交通设施、城市环境质量等因素有关。
对于某一城市来说，影响居民人均出行次数的因素又间接地反映在该城市的相关经济指标上。
因此，多种因素与市民人均日出行次数的内在关联可以转化为多种经济指标与市民人均日出行次数的内在关联。
STEP1：
各经济指标的聚类分析；
STEP2：
典型指标的选取；
STEP3：
回归模型的建立
STEP4：
模型的检验。
聚类分析是根据事物本身的特性来定量研究分类问题的一种多元统计分析。
其基本思想是按照距离的远近将数据分为若干个类别，以使类别内数据的“差异”尽可能小，类别间“差异”尽可能大。
所用的变量可以被大致分成两类：
对样本个体进行聚类通常称为Q型聚类，对研究变量进行聚类称为R型聚类。
选用欧几里得距离（欧式距离）来度量指标之间接近的程度。
欧式距离就是空间中两点之间的直线距离，其中各特征参数是等权的，记dij表示指标vi和vj之间的距离，则有计算公式如下：
聚类分析具体过程如下：
（1）首先将各聚类单位各自作为一类（这时有p类），按照所选取的距离计算各数据点之间的距离，形成一个距离阵。
（2）将距离最近的两个单位并为一个类别，形成n-1个类别，计算新产生的类别与其他各类别之间的距离，形成新的距离阵。
（3）按照和第二步相同的原则，再将距离最接近的两个类别合并，这时如果类别个数仍然大于1，则继续重复这一步骤，直到所有的数据都被合并为成为一个类别为止。
STEP1：
选取北京、上海、天津、广州、深圳、成都、南京、杭州、武汉、长春、珠海、大连、福州、苏州、常州十五个大中城市为研究对象，分析各城市人均日出行次数和十二个经济指标之间的关联。
十五个大中城市2001年人均日出行次数和各经济指标见表2。
表2大中城市居民人均出行次数和经济指标
城市
居民人均出行次数/（次/人天）
市区土地面积/（km2）
市区总人口/（万人）
第三产业值/亿元
人均GDP/元
工业产品销售收入/（亿元）
社会消费品零售总额/（亿元）
经济指标符号
v1
v2
v3
v4
v5
v6
苏州
1650
669
30384
南京
2599
20597
常州
280
19704
上海
5300
37382
7213
北京
1041
25300
天津
7417
748
19986
杭州
3068
613
25074
福州
1043
436
18034
广州
3719
577
38000
深圳
392
43344
珠海
1633
48931
大连
2415
550
22348
长春
3583
298
14274
武汉
8494
17882
成都
1418
14665
城市
居民人均出行次数（次/人.天）
房地产开发资/（亿元）
城乡居民储蓄存款/（亿元）
居民消费价格总指数/（%）
在岗+职工平均工资/元
市区居民人均可支配收入/元
农民纯收入/元
经济指标符号
v7
v8
v9
v10
v11
v12
苏州
13670
5790
南京
16575
4311
常州
13108
4719
上海
21781
5850
北京
19155
5099
天津
14308
4825
杭州
18319
4896
福州
12760
4020
广州
22772
6446
深圳
25941
9869
珠海
17040
4800
大连
13493
3900
长春
11090
2875
武汉
11314
3100
成都
12493
3111
注：
数据来源：
参考文献[1]。
以12个经济指标为聚类单位，指标与指标间的距离选用欧式距离，采用组间平均联接法，进行聚类分析。
利用软件进行聚类分析，得到各经济指标间的相关系数矩阵如表3，聚类过程中的运算结果参数见表4所示，聚类分析的谱系图如图1。
表3相关系数矩阵R
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9
v10
v11
v12
v1
.711
.281
.262
.307
.027
.112
.137
v2
.711
.830
.743
.850
.651
.693
.345
.208
v3
.281
.830
.305
.900
.972
.899
.924
.207
.591
.254
.342
v4
.305
.420
.198
.291
.279
.766
.861
.734
v5
.262
.743
.900
.420
.815
.729
.753
.062
.624
.356
.502
v6
.307
.850
.972
.198
.815
.935
.959
.329
.519
.164
.247
v7
.027
.651
.899
.291
.729
.935
.973
.343
.625
.329
.370
v8
.112
.693
.924
.279
.753
.959
.973
.346
.611
.281
.365
v9
.137
.345
.207
.062
.329
.343
.346
v10
.208
.591
.766
.624
.519
.625
.611
.866
.864
v11
.254
.861
.356
.164
.329
.281
.866
.918
v12
.342
.734
.502
.247
.370
.365
.864
.918
表4聚类分析参数
聚类表
阶
群集组合
系数
首次出现阶群集
下一阶
群集1
群集2
群集1
群集2
1
3
6
0
0
4
2
7
9
0
0
3
3
2
7
0
2
4
4
2
3
3
1
5
5
2
8
4
0
6
6
2
5
5
0
7
7
1
2
0
6
8
8
1
12
7
0
10
9
10
11
0
0
10
10
1
10
8
9
11
11
1
4
10
0
0
图1聚类分析的谱系图
根据聚类分析的谱系图可以看出，这十二个经济指标可分为三大类：
第一大类包括人均GDP（v4）；第二大类包括在岗职工平均工资（v10）和市区居民人均可支配收入（v11）；第三大类包括市区面积（v1）、市区总人口数（v2）、第三产业值（v3）、工业产品销售收入（v5）、社会消费品零售总额（v6）、房地产开发投资（v7）、城乡居民储蓄存款（v8）、居民消费价格总指数（v9）、农民人均纯收入（v12）。
聚类分析的结果见表5
表5聚类分析结果
指标代码
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9
v10
v11
v12
分类类别
3
3
3
1
3
3
3
3
3
2
2
3
STEP2：
将十二个指标进行聚类分析得到三类指标后，出来第一类指标外，其他两类都包含多个指标，为了选取各类指标中的典型指标，分别计算类中每一变量与其余变量的Pearson相关系数，继而求得类中每一变量与其余变量的Pearson相关系数的平方和的平均值，最后把该值最大的变量作为典型指标。
Pearson相关系数的定义为
（3）
相关系数R的数值范围是介于-1与+1之间:
如果|R|≈0，表明两个变量没有线性相关关系。
如果|R|＝1，则表示两个变量完全直线相关。
线性相关的方向通过相关系数的符号来表示，“+”号表示正相关，“-”表示负相关。
（4）
式中，
表示变量
与其余变量
的Pearson相关系数R的平方和的平均值，m为变量的个数。
将表3中的值代入公式（3）、（4），计算得到第二类和第三类指标中的各变量的
，具体见表6所示。
表6同一类中每一变量与其余变量的相关系数平方和的均值
指标
第二类指标
第三类指标
v10
v11
v1
v2
v3
v5
v6
v7
v8
v9
v12
从表6中可以看出，第二类指标中v10对应的值最大，第三类指标v3中对应的值最大。
所以，选择v10、v3为典型数据。
而第一类指标只有一个指标，故可选取v4、v10、v3分别作为第一、二、三类指标的典型指标。
STEP3：
根据聚类分析得到的典型变量，利用表2中的数据，建立2001年人均日出行次数Y与第三产业值（v3）、人均GDP（v4）、在岗+职工平均工资（v10）的多元线性回归方程。
多元线性回归原理：
多元线性回归模型为
（5）
每个因变量的实测值
由两部分组成：
估计值，用
表示，即给定各自变量取值时因变量y的估计值，它代表的是能与自变量决定的部分；ei为残差，是因变量实测值
与估计值
之差，表示不由自变量决定的部分。
应用多个个回归模型对每一条记录求其因变量预测值与实测值之差的平方和
，并将其累加，那么每个回归模型都会得到一个累加值
，而该数值的最小的那个回归模型就是需要的模型，这就是最小二乘法。
（6）
利用软件计算得
（7）
R2=表明因变量Y（人均出行次数）的%可由回归方程确定，回归方程视为可用的。
STEP4：
模型检验：
将表2中的第三产业值、人均GDP、在岗+职工平均工资代入得到的多元线性回归方程（7）中，得到人均日出行次数的模型模拟值，作出模型值与调查值的折线图如图2所示。
图2大中城市居民平均出行次数调查值与模型值比较
由图2可以看出所得到的2001年人均日出行次数的回归方程具有较好的回归效果。
由于市民每天出行次数的多少与出行目的、城市布局、生活方式、工作方式、家庭经济状况、交通设施、通讯设施、城市环境质量等因素有关，随着社会经济的迅猛发展，人民生活水平也日渐提高，私家车数量大幅增加，城市的交通更加发达，人们之间的联系加强，越来越多的人选择逛街、旅游等休闲方式，综合考虑社会经济的发展带来的影响，修正2001年人均日出行次数的回归方程，得到2013年人均日出行次数的回归方程：
（8）
根据从参考文献[5]各城市2013年年鉴上收集到的数据（见表7），利用2013年人均日出行次数的回归方程[8]，计算得到相应城市的人均日出行次数，结果如表7所示。
表7国内主要城市相关的经济指标
城市
第三产业值（亿元）
人均GDP（元）
在岗+职工平均工资（元）
主城区人口（万人）
出租车数量（辆）
大连
111268
59061
360
12929
北京
93213
69521
1972
66646
广州
120105
68594
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