浙江省历年高考数列大题总汇题目及答案.docx

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浙江省历年高考数列大题总汇题目及答案

浙江省历年高考数列大题总汇（题目及答案）

　　　　　　1已知二次函数y?

f（x）的图像经过坐标原点，其导函数为f?

（x）?

6x?

2。

数列项和为Sn，点（n,Sn）（n?

N求数列　　*?

an?

的前n　　）均在函数y?

f（x）的图像上。

an?

的通项公式；　　m3*，Tn是数列?

bn?

的前n项和,求使得Tn?

对所有n?

N都成立的最小　　20anan?

1设bn正整数m。

2.己知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．　　求数列{an}的通项公式；　　设Tn为数列?

小值．　　　　3.设数列?

an?

的前n项和为Sn，已知a1?

1，a2?

6，a3?

11，且　　?

*对?

N恒成立，求实数?

的最?

的前n项和，若Tn≤?

an?

1¨　　?

anan?

（5n?

8）Sn?

（5n?

2）Sn?

An?

B，n?

1,2,3,?

，　　其中A、B为常数．（Ⅰ）求A与B的值；　　（Ⅱ）证明数列?

an?

为等差数列；　　（Ⅲ）证明不等式5amn?

aman?

1对任何正整数m、n都成立．　　　　4.已知数列?

an?

，?

bn?

满足a1?

3，anbn?

2，bn?

an（bn?

求证：

数列{2），n?

N*．1?

an1}是等差数列，并求数列?

bn?

的通项公式；bn111，，成等差数列？

若存在，试用p表示q，r；若不　　crcqcp设数列?

cn?

满足cn?

2an?

5，对于任意给定的正整数p，是否存在正整数q，　　r（p?

r），使得　　存在，说明理．　　　　5.已知函数　　f（x）?

lnx（a?

0）.　　

（1）若a?

1，求f（x）的单调区间及f（x）的最小值；

（2）若a?

0,求f（x）的单调区间；　　ln22ln32lnn2（n?

1）（2n?

1）*?

2与（3）试比较的大小（n?

N且n?

2）,并证明22（n?

1）23n你的结论.　　6已知　　f（x）?

（x?

1）2,g（x）?

10（x?

1），数列{an}满足（an?

an）g（an）?

f（an）?

0，　　9（n?

2）（an?

1）10a1?

2，bn?

求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{bn}中最大项.　　　　7.设k?

R，函数　　f（x）?

ex?

（1?

kx2）（x?

0）.　　若k?

1，试求函数f（x）的导函数f?

（x）的极小值；若对任意的t?

0，存在s?

0，使得当x?

（0，s）时，都有取值范围.　　　　f（x）?

tx2，求实数k的　　8.已知等差数列{an}的公差不为零，且a3=5,a1,成等比数列　　（I）求数列{an}的通项公式：

　　（II）若数列{bn}满足b1+2b2+4b3+…+2nbn=an且数列{bn}的前n项和Tn试比较Tn与　　　　-1　　3n?

1的大小n?

19.已知函数f（x）?

12x?

（2a?

2）x?

（2a?

1）lnx2（I）求f（x）的单调区间；　　（II）对任意的a?

[,],x1,x2?

[1,2]，恒有|f（x1）|?

f（x2）?

|数?

的取值范围.　　352211?

|，求正实x1x2　　　　1.解：

依题意可设　　f（x）?

ax2?

bx（a?

0）,则f`（x）?

2ax?

b　　f`（x）?

6x?

2得a?

3,b?

2,所以f（x）?

3x2?

2x.　　又点（n,Sn）（n?

N*）均在函数y?

f（x）的图像上得Sn22?

3n2?

2n　　当n?

2时an?

Sn?

3n?

2n?

3（n?

1）?

2（n?

1）?

6n?

5当n?

1时a1所以an?

S1?

12?

5　　?

6n?

5（n?

N*）　　?

33111?

（?

）,　　anan?

1（6n?

5）?

6（n?

1）?

26n?

56n?

1得bn故，Tn?

111?

11111?

（1?

）.=（1?

）?

（?

）?

（?

）?

26n?

12?

77136n?

56n?

1m11m,即m?

10（1?

）?

（n?

N*）成立的m必须且必须满足?

22026n?

120因此使得　　故满足最小的正整数m为10　　?

4a1?

6d?

142.设公差为d.已知得?

………………………………3分2?

（a1?

2d）?

a1（a1?

6d）解得d?

1或d?

0（舍去），所以a1?

2,故an?

1………………………………6分　　?

1111?

，anan?

1（n?

1）（n?

2）n?

1n?

211n1111?

……………………………9分?

Tn?

…?

1n?

22（n?

2）2334n≤?

（n+2）对?

恒成立　　?

Tn≤?

an?

1对?

恒成立，即　　2（n?

2）n111?

≤?

　　又242（n?

2）2（n?

4）2（4?

4）16n1　　∴?

的最小值为……………………………………………………………12分　　163.解：

（Ⅰ）a1?

1，a2?

6，a3?

11，得S1?

1，S2?

2，S3?

18．　　把n?

1,2分别代入（5n?

8）Sn?

（5n?

2）Sn?

An?

B，得?

解得，A?

20，B?

8．　　（Ⅱ）（Ⅰ）知，5n（Sn?

Sn）?

8Sn?

2Sn?

20n?

8，即　　?

28,　　2A?

48?

5nan?

8Sn?

2Sn?

20n?

8，　　①　　又5（n?

1）an?

8Sn?

2Sn?

20（n?

1）?

8．②②-①得，5（n?

1）an?

5nan?

8an?

2an?

20，即（5n?

3）an?

（5n?

2）an?

20．又（5n?

2）an?

（5n?

7）an?

20．　　③④　　④-③得，（5n?

2）（an?

2an?

an?

1）?

0，∴an?

2an?

an?

0，　　∴an?

an?

a3?

a2?

5，又a2?

a1?

5，因此，数列?

an?

是首项为1，公差为5的等差数列．（Ⅲ）（Ⅱ）知，an?

5n?

4,（n?

）．考虑　　5amn?

5（5mn?

4）?

25mn?

20．　　（aman?

1）2?

aman?

2aman?

aman?

am?

an?

25mn?

15（m?

n）?

9．　　∴5amn?

（aman?

1）2厖15（m?

n）?

2915?

29?

0．　　即5amn?

（aman?

1）2，∴5amn?

aman?

1．因此，5amn?

aman?

1．　　4.因为anbn?

2，所以an?

2，bn42anb2bn4则bn?

anbn?

，………………………2分?

21?

anbn?

2bn?

21?

bn　　　　　　　　所以　　111?

，bn?

1bn2又a1?

3，所以b1?

即　　?

231，故?

是首项为，公差为的等差数列，　　……4分322?

bn?

131n?

22?

（n?

1）?

，所以bn?

．　　………………………6分bn222n?

2知an?

2，所以cn?

2an?

2n?

1，①当p?

1时，cp?

c1?

1，cq?

2q?

1，cr?

2r?

1，　　若　　12111?

，，成等差数列，则，2q?

12r?

1crcqcp21?

1，1?

1，2q?

12r?

1因为p?

r，所以q≥2，r≥3，　　所以不成立．　　　　　　…………………………9分②当p≥2时，若则　　111，，成等差数列，　　crcqcp2111214p?

2q?

，所以，2q?

12p?

12r?

12q?

12p?

1（2p?

1）（2q?

1）（2p?

1）（2q?

1）2pq?

2q，所以r?

，　　………………………12分　　4p?

2q?

14p?

2q?

1222即2r?

欲满足题设条件，只需q?

2p?

1，此时r?

4p?

5p?

2，　　………………14分因为p≥2，所以q?

2p?

p，r?

4p?

7p?

4（p?

1）?

0，　　即r?

q．　　　　　　…………………………15分综上所述，当p?

1时，不存在q，r满足题设条件；　　当p≥2时，存在q?

2p?

1，r?

4p?

5p?

2，满足题设条件．…16分　　5.

（1）当x?

1时,f（x）?

lnx，f（x）?

,21?

（x）在?

1,?

上是递增.x1?

（x）在?

0,1?

上是递减.x故a?

1时,f（x）的增区间为?

1,?

减区间为?

0,1?

f（x）min?

（1）?

0.………4分　　当0?

1时,f（x）?

lnx,f（x）?

（2）○1若a?

1,　　当x?

a时,f（x）?

lnx,f（x）?

是递增的;　　当0?

a时,f（x）?

lnx,f（x）?

,　　1x?

0,则f（x）在区间?

a,?

上xx1?

0,则f（x）在区间?

0,a?

上是递x减的　　　　　　　　…………6分2若0?

1,○　　当x?

a时,f（x）?

lnx,f（x）?

1x?

1,?

1,f（x）?

0;xxa?

1,f,（x）?

0.则f（x）在?

1,?

上是递增的,f（x）在?

a,1?

上是递减的;　　当0?

a时,f（x）?

lnx,f（x）?

f（x）在区间?

0,a?

上是递减的,而f（x）在x?

a处有意义;　　则　　1?

0x　　f?

　　　　在区间1,?

上是递增的,在区间?

0,1?

上是递减的　　…………8分　　?

a,?

递减区间是?

0,a?

;　　　　当0?

1,f（x）的递增区间是?

1,?

递减区间是?

0,1?

　　　　综上:

当a?

1时,f（x）的递增区间是　　………9分　　lnx1?

（3）

（1）可知,当a?

1,x?

1时,有x?

lnx?

0,即xxln22ln32lnn2?

2则有223n?

111111?

（?

）…………12分22222223n23n　　?

（111?

33?

4n（n?

1）111111?

（?

）　　2334nn?

111（n?

1）（2n?

1）?

（?

）=　　2n?

12（n?

1）ln22ln32lnn2（n?

1）（2n?

1）?

故：

.　　…………15分　　2（n?

1）223n　　　　6.题意：

（an?

an）?

10（an?

1）?

（an?

1）2?

0　　?

1）（10an?

9an?

1）?

0　　………3分　　经化简变形得：

（an?

an?

1,　　　　?

10an?

1变形得：

9an?

0　　　　………5分　　an?

19?

　　an?

1109为公比的等比数列。

　　10　　所以{an?

1}是以1为首项，　　?

10?

1可求得：

an?

1　　　　………7分　　　　bn?

9（n?

2）（an?

1）　　可求得10?

bn?

（n?

2）（9n）　　　　　　………9分109（）n?

1（n?

3）b9n?

3得n?

7，?

10?

1,9bn10n?

2（）n（n?

2）109（）n（n?

2）b9n?

10?

1,得n?

8，　　………12分　　9bn?

110n?

1（）n?

1（n?

1）10即　　?

a6?

a7?

a8?

a9?

，　　98所以：

n=7或n=8时bn最大，b7?

b8?

1077.解：

当k?

1时，函数则f（x）的导数　　………14分　　f（x）?

ex?

（1?

x2），　　f?

（x）?

ex?

（1?

2x），f?

（x）的导数f?

（x）?

ex?

2.　　………………2分　　显然f?

（ln2）?

0，当0?

ln2时，f?

（x）?

0；当x?

ln2时，f?

（x）?

0，　　ln2）内递减，在（ln2，?

）内递增.　　……………………4分从而f?

（x）在（0，故导数f?

（x）的极小值为f?

（ln2）?

2ln2　　　　……………………6分　　解法1：

对任意的t?

0，记函数　　2?

Ft（x）?

f（x）?

tx2?

ex?

（k?

t）x?

（x?

0），　　根据题意，存在s?

0，使得当x?

（0，s）时，Ft（x）?

0.易得Ft（x）的导数Ft?

（x）?

ex?

2（k?

t）x?

，Ft?

（x）的导数Ft?

（x）?

ex?

2（k?

t）……9分　　①若Ft?

（0）?

0，因Ft?

（x）在（0，s）上递增，故当x?

（0，s）时，Ft?

（x）>Ft?

（0）≥0，于是Ft?

（x）在（0，s）上递增，则当x?

（0，s）时，Ft?

（x）>Ft?

（0）?

0，从而Ft（x）在（0，s）上递增，故当x?

（0，s）时，Ft（x）?

Ft（0）?

0，与已知矛盾……………………………………11分　　②若Ft?

（0）?

0，注意到Ft?

（x）在[0，s）上连续且递增，故存在s?

0，使得当x?

（0，s）　　Ft?

（x）?

0，从而Ft?

（x）在（0，s）上递减，于是当x?

（0，s）时，Ft?

（x）?

Ft?

（0）?

0，　　因此Ft（x）在（0，s）上递减，故当x?

（0，s）时，Ft（x）?

Ft（0）?

0，满足已知条件……13分　　综上所述，对任意的t?

0，都有Ft?

（0）?

0，即1?

2（k?

t）?

0，亦即k?

再t的任意性，得k?

t，2111，经检验k?

不满足条件，所以k?

…………………15分222解法2：

题意知，对任意的t?

0，存在s?

0，使得当x?

（0，s）时，都有　　f（x）?

t成x2立，即　　f（x）?

0成立，则存在s?

0，使得当x?

（0，s）时，f（x）?

0成立，x2又f（0）?

0，则存在s0使　　?

0，使得当x?

（0,s0）时，f（x）为减函数，即当x?

（0,s0）时　　f?

（x）?

ex?

2kx?

0成立，　　又f?

（0）?

0，故存在s0?

0，使得当x?

（0，s）时f?

（x）为减函数，　　xxe1?

.则当x?

（0，s）时f?

（x）?

0成立，即e?

2k?

0，得k?

228.解：

在等差数列中，设公差为　　d（d?

0），　　22?

a1（a1?

4d）?

（a1?

d）?

a1a5?

a2?

a1?

2d?

53题?

，?

，　　　　…3分　　?

a1?

2解得：

.　　　　　　?

an?

a1?

（n?

1）d?

（n?

1）2?

2n?

1.　　　　　　　　n?

1b1?

2b2?

4b3?

2bn?

an　　①　　…4分…5分　　　　　　9.解：

（x）?

（2a?

2）?

2a?

1（x?

2a?

1）（x?

1）x=x　　　　…1分　　令　　f?

（x）?

0，x1?

2a?

1,x2?

1　　　　　　（x?

1）2f?

（x）?

0f（x）增区间是?

0,?

；a?

0x①时，，所以　　②a?

0时，2a?

1，所以　　f（x）增区间是（0,1）与（2a?

1,?

），减区间是（1,2a?

1）　　③　　?

0f（x）增区间是（0,2a?

1）与（1,?

），减区间是（2a?

1,1）2时，0?

2a?

1，所以　　12时，2a?

0，所以f（x）增区间是（1,?

），减区间是（0,1）　　④…5分　　35a?

[,]22，所以（2a?

1）?

[4,6]，知f（x）在[1,2]上为减函数.…6分因为　　a?

若　　x1?

x2，则原不等式恒成立，∴?

（0,?

）　　　　　　…7分　　11?

x2，不妨设1?

x1?

x2?

2，则f（x1）?

f（x2），x1x2，若1f（x1）?

f（x2）?

（所以原不等式即为：

　　11?

）x1x2f（x1）?

，即　　11?

f（x2）?

x1x2对任意的　　35a?

[,]22，x1,x2?

[1,2]恒成立　　令　　g（x）?

f（x）?

35a?

[,]x，所以对任意的22，x1,x2?

[1,2]有g（x1）?

g（x2）恒成立，所以　　g（x）?

f（x）?

x在闭区间[1,2]上为增函数　　　　　　…9分　　35a?

[,]?

（x）?

0g22，x?

[1,2]恒成立所以对任意的　　

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