一次方程应用.docx

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一次方程应用

一元一次方程的应用

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

●能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系”，体会建立数学模型的思想；

●通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。

重点难点：

●列方程解应用题。

学习策略：

●通过联系实际并对实际问题进行分类，理解并记忆一些关系式，通过练习灵活运用这些公式，熟练掌握各种问题的解题思路。

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（一）只含有个未知数，并且未知数的次数是，系数不为的方程叫做一元一次方程。

一元一次方程的标准形式是：

（其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0）

我们判断一个方程是不是一元一次方程要看它后的最简形式是不是标准形式ax+b=0（a≠0）。

例如方程3x2+5=8x+3x2，化简成是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有个未知数x，且x的次数是

次，但化简后为，不是一元一次方程.

（二）等式两边加（或减），结果仍相等。

等式两边乘，或除以同一个的数，结果仍相等。

（三）解方程

（1）0.48x－6=4－0.02x　　　　　　

（2）5x-3（2x+1）+7x=6x-4（5-3x）

（3）

（4）

（5）

（6）

知识要点——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。

请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。

课堂笔记或者其它补充填在右栏。

预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID：

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知识点一：

列一元一次方程解应用题的方法和一般步骤

列方程解应用题的关键是从问题中找出一个关系，然后恰当地设出，把关系中的各个量用含有已知数和未知数的代数式表示，这样就可列出方程，这一过程可以简单表述为：

问题

方程

解答．在设未知数和解答时，应注意量的．

综上所述，列方程解应用题的方法步骤可概括为：

（1），分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．

（2），一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．

（3），把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．

（4）．

（5），看方程的解是否符合题意．

（6）写出答案．

注意：

（1）设未知数和写答案时，单位要写清楚．

（2）列方程时，方程两边所表示的量应该，并且各项的要一致．

（3）对于求得的方程的解，还要看它是否．

知识点二：

常见的一些等量关系

（一）销售中的盈亏问题：

（1）利润率

（2）标价＝成本（或进价）×（1＋）；

（3）实际售价＝；

（4）利润＝＝；

注意：

“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是；当右边为负时，就是。

打几折就是按标价的或销售。

（二）积分问题：

积分问题多出现在球赛和知识竞赛中，赛事的规则不同，得分也不一样，一般地，球赛总得分＝得分＋得分＋得分；知识竞赛得分＝对题得分＋错题得分＋不做题得分。

注意：

从比赛的规则入手正确找出相等关系是列方程的关键。

（三）行程问题：

（1）路程=

（2）相遇路程=

（3）追及路程=

（4）顺流速度=

（5）逆流速度=

（6）顺水速度－逆水速度＝×水速。

（四）形积变化中的方程

（1）相关公式

①长方体体积＝。

②圆柱体体积＝。

③长方形面积＝；长方形周长＝。

④圆的面积＝；圆的周长＝

直径。

（2）“等积变形”中常见的情况

①形状发生了变化，而体积没变。

②形状、面积发生了变化，而周长没变。

③形状、体积发生了变化，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为等量系。

④形状、周长发生了变化，但概括题意能找出周长之间的关系，求面积。

（3）形积变化问题

形积变化，即图形的形状改变时，面积也随之发生变化。

注意：

在形积变化时，图形的形状和面积都发生了变化，应注意在已知题目中找出

的，也就是找出等量关系列出方程。

（五）工程问题：

如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：

（1）总工作量=；

（2）总工作量=．

（六）银行存贷款问题：

（1）利息=

（2）本息和（本利和）＝＝本金＋本金×利率×期数＝本金×（1＋利率×期数）

（3）实得利息=-利息税

（4）利息税=利息×

（5）年利率＝月利率×

（6）月利率＝年利率×。

（七）数字问题：

已知各数位上的数字。

写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：

a，b分别为一个两位数的个位上，十位上的数字，则这个两位数可以表示为.

（八）调配问题：

从调配后的数量关系中找等量关系，注意弄清调配对象流动的和

．

（九）浓度问题：

溶液质量=+

浓度=

溶质质量=．

知识点三：

设计方案的选择问题

选择设计方案的一般步骤：

（一）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．

（二）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．

类型一：

销售中的盈亏问题

例1：

某商品的进价是2000元，标价为3000元，商店要求以利润率等于5%的售价打折出售，售货员应该打几折出售此商品?

思路点拨：

根据利润率=，利润=，若设售货员可以打x折出售此商品，则售价为，利润为元，所以可得.

解：

总结升华：

打1折就是乘，打2折就是乘，打x折就是乘。

因为打x折出售，即

.列方程解应用题主要有两方面的困难：

一是找不到等量关系；二是找出等量关系后不会列方程，找等量关系要充分利用题目给出的已知条件，着重分析与之间的数量关系，列出含有未知量的具有等量关系的两个不同的代数式，用“＝”号连接两个代数式，从而得到方程。

举一反三：

【变式1】购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，那么该书的原价是多少元？

解：

☆☆【变式2】某商店有一批商品，按所期望获得50％利润定价，结果只售出70％。

为了尽早销售剩余的商品，商店决定按原定价打折出售，这样所获得的全部利润是原来所期望利润的82％，问此商品打了多少折？

解：

类型二：

积分问题

例2、阳光中学在兴办的足球比赛中规定：

胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。

某班足球队参加了12场比赛，一共得22分，已知这支球队只输了2场，那么这支球队胜几场？

平几场？

解：

总结升华：

题中的等量关系是：

球队得分＝＋，把球赛与方程联系起来，培养运用方程知识解答和分析实际问题的能力。

类型三：

行程问题

例3、A、B两码头相距150km，甲、乙两船分别从两码头开始相向而行，2.5h相遇，已知甲的速度是乙的速度的1.5倍，问甲、乙两船的速度各为多少?

思路点拨：

这是行程问题中的相遇问题，设乙的速度为xkm／h，则甲的速度，相遇时，甲、乙各自的行程分别为、，它们的和等于总路程．

解:

总结升华：

举一反三：

【变式】小华家距学校2.4km，某一天小华从家中去上学恰好走到一半路程时，发现离按时到校的时间只有12min了，如果小华能按时赶到学校，那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少?

分析：

由题意知，小华在行走剩下的时，最多要用，根据路程=，可设未知数列方程．

解：

总结升华：

类型四：

形积变化中的方程

例4、用直径是20mm的圆钢1米，能拉成直径是2mm的圆钢多少米？

思路点拨：

本题是等积变形问题。

等量关系是拉伸前的体积＝。

涉及公式是圆柱体的体积。

解：

总结升华：

举一反三：

【变式】用直径为4cm的圆钢铸造3个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，问需要截取多长的圆钢？

解：

类型五：

工程问题

例5、一项工程，甲单独做要8天完成，乙单独做要12天完成，丙单独做要24天完成，现在甲、乙合作3天后，甲因事离去，由乙、丙合作，问乙、丙还要做几天才完成这项工程？

思路点拨：

这是一道多人合作的工程问题，本题明显的等量关系是甲、乙合作的工作量+乙、丙合作的工作量=，设还需x天完成，那么甲、乙合作的工作量为。

乙、丙合作的工作量为，由上面等量关系可列方程。

解：

总结升华：

类型六：

银行存贷款问题

☆例6、小张在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息1080元，问它存入的本金是多少元？

思路点拨：

这是一个实际生活中常见的问题，这里利息税是指把利息的20%上缴国家，本息则指与的和。

解：

举一反三：

【变式】爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄，年利率为2.7％，五年后取出本息和为17025元，爸爸开始存入多少元。

思路点拨：

本息和＝，利息＝。

解：

类型七：

数字问题

例7、一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位、个位上的数的和比十位上的数大2，又个位、十位、百位上的数的和是14，求这个三位数。

思路点拨：

本题要求一个三位数，即要求出个、十、百位上的数字，根据第一个条件，设位上的数为x更好一些，此时，十位上的数为，个位数字可由第三个条件得到，再由第二个条件列出方程。

解：

类型八：

调配问题

例8、现有甲、乙两项工程，甲的工作量是乙的2倍，第一组有19人，第二组有14人（假设人均工作效率相同），怎样调配两组的人数，才能使两项工程同时开工，又同时完成呢?

思路点拨：

因为甲工程的工作量是乙工程的工作量的2倍，且人均工作效率相同，所以是的2倍．

解法一：

解法二：

总结升华：

类型九：

方案选择

☆例9、为了准备小颖6年后上大学的学费5000元，她的父母现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式：

（1）先存一个3年期的，3年后将本息和自动转存下一个3年期；

（2）直接存一个6年期．

参照下图，你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少?

分析：

利用、计算公式，可分别算出两种储蓄方式的本金．

解：

举一反三：

☆【变式】移动通讯公司开设了两种通讯业务。

“全球通”：

使用者先交50元月租费，然后每通话1分钟，再付通话费0.4元；“快捷通”：

不交月租费，每通话1分钟，付通话费0.6元，以上两种通讯业务中，通话时间不足1分钟的均按1分钟计算。

（1）若一个月内通话时间为x（x为实际收费时间）分钟，试用含x的式子表示出两种方式通话的费用；

（2）通话时间为多少分钟时，两种方式的费用一样多？

（3）小明每个月的通话时间大约是200分钟，那么他选择哪种业务较合算？

解：

三、总结与测评

要想学习成绩好，总结测评少不了！

课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

列方程解应用题就是将实际问题数学化的过程，这个过程的关键是建立等量关系，在列方程解决实际问题的过程中，要把握三个重要环节：

一是整体的、系统的；二是找问题中的关系；三是正确并判断解的合理性，其中，是基础，找关系是关键，为了找准等量关系，可以借助、、图形等方法进行分析。

成果测评

现在来检测一下学习的成果吧！

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知识点：

一元一次方程的应用

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自我反馈

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习题整理

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所属类型或知识点

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好题

错题

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知识导学：

一元一次方程的应用（#214713）

视听课堂：

一元一次方程的应用

（一）（#23476）；

一元一次方程的应用

（二）（#23653）；

一元一次方程的应用（三）（#23656）;

一元一次方程的应用（四）（#24851）。

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□好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上）

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