中考数学专题突破专题训练二解答重难点题型突破.docx

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中考数学专题突破专题训练二解答重难点题型突破

专题二　解答重难点题型突破题型一　实际应用问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　

类型一　一次函数与二次函数的实际应用1．（2017•辽阳）某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可获利2000元，经调查发现：

每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？

最大利润是多少元？

解：

（1）当x＝25时，y＝2000÷（25－15）＝200（千克），设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，把（20，250）（25，200）代入得20k＋b＝250，25k＋b＝200，解得k＝－10，b＝450，∴y与x的函数关系式为y＝－10x＋450；

（2）设每天获利W元，W＝（x－15）（－10x＋450）＝－10x2＋600x－6750＝－10（x－30）2＋2250，∵a＝－10<0，对称轴为直线x＝30，∴在x≤28时，W随x的增大而增大，∴当x＝28时，W最大＝2210（元），答：

售价为28元时，每天获最大利润为2210元.2.（2017•安徽）某超市销售一种商品，成本为每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：

售价x（元/千克）506070销售量y（千克）1008060

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入－成本）；（3）试说明

（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？

解：

（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，50k＋b＝100，60k＋b＝80，解得k＝－2，b＝200，即y与x之间的函数表达式是y＝－2x＋200；

（2）由题意可得，W＝（x－40）（－2x＋200）＝－2x2＋280x－8000，即W与x之间的函数表达式是W＝－2x2＋280x－8000；（3）∵W＝－2x2＋280x－8000＝－2（x－70）2＋1800，40≤x≤80，∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小，当x＝70时，W取得最大值，此时W＝1800，答：

当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小，售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．3．（2017•铁岭模拟）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元（x为整数）．

（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式；

（2）设宾馆每天的利润为W元，当每个房间定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？

（3）某日，宾馆了解当天的住宿情况，得到以下信息：

①当日所获利润不低于5000元，②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元，③每个房间刚好住满2人．问：

这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？

（导学号　58824232）解：

（1）根据题意，得：

y＝50－x（0≤x≤50，且x为整数）；

（2）W＝（120＋10x－20）（50－x）＝－10x2＋400x＋5000＝－10（x－20）2＋9000，∵a＝－10＜0∴当x＝20时，W取得最大值，W最大值为9000元，答：

当每个房间定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元；（3）由－10（x－20）2＋9000≥5000，20（－x＋50）≤600，解得20≤x≤40，∵房间数y＝50－x，又∵－1＜0，y随x的增大而减小，∴当x＝40时，y的值最小，这天宾馆入住的游客人数最少，最少人数为2y＝2（－x＋50）＝20（人），答：

这天宾馆入住的游客人数最少有20人．4．（2017•湖州）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本＝放养总费用＋收购成本）．

（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；

（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg.根据以往经验可知：

m与t的函数关系为m＝20000（0≤t≤50，100t＋15000（50＜t≤100）；y与t的函数关系如图所示．①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？

并求出最大值．（利润＝销售总额－总成本）解：

（1）由题意，得：

10a＋b＝30.4，20a＋b＝30.8，解得a＝0.04，b＝30，

（2）①当0≤t≤50时，设y与t的函数关系式为y＝k1t＋n1，将（0，15）、（50，25）代入，得：

n1＝15，50k1＋n1＝25，解得：

k1＝15，n1＝15，∴y与t的函数关系式为y＝15t＋15；当50＜t≤100时，设y与t的函数关系式为y＝k2t＋n2，将点（50，25）、（100，20）代入，得：

50k2＋n2＝25，100k2＋n2＝20，解得：

k2＝－110，n2＝30，∴y与t的函数关系式为y＝－110t＋30；②由题意，当0≤t≤50时，W＝20000（15t＋15）－（400t＋300000）＝3600t，∵3600＞0，∴当t＝50时，W最大＝180000（元）；当50＜t≤100时，W＝（100t＋15000）（－110t＋30）－（400t＋300000）＝－10t2＋1100t＋150000＝－10（t－55）2＋180250，∵－10＜0，∴当t＝55时，W最大＝180250（元），综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．

5．（2017•丹东）某超市销售一种成本为每台20元的台灯，规定销售单价不低于成本价，又不高于每台32元，销售中平均每月销售量y（台）与销售单价x（元）的关系可以近似地看作一次函数，如下表所示：

x22242628y90807060

（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）为了实现平均每月375元的台灯销售利润，这种台灯的售价应定为多少？

这时每月应购进台灯多少个？

（3）设超市每月台灯销售利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，当x取何值时，w的值最大？

最大值是多少？

解：

（1）y＝－5x＋200；

（2）根据题意可得：

（x－20）（－5x＋200）＝375，解得：

x1＝35>32舍去，x2＝25，代入y＝－5x＋200得y＝75，答：

这种台灯的售价应定为25元/台，这时应购进台灯75台；（3）w＝（x－20）（－5x＋200）＝－5x2＋300x－4000＝－5（x－30）2＋500，∵a＝－5<0，∴当x＝30时，w最大＝500元.

类型二　方程、不等式的实际应用1．（2017•益阳）我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐（餐饮＋住宿），一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元．

（1）求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？

（2）今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说：

“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？

（导学号　58824233）解：

（1）设去年餐饮利润x万元，住宿利润y万元，依题意得：

x＋y＝20×80%，x＝2y＋1，解得：

x＝11，y＝5，答：

去年餐饮利润11万元，住宿利润5万元；

（2）设今年土特产利润m万元，依题意得：

16＋16×（1＋10%）＋m－20－11≥10，解得，m≥7.4，答：

今年土特产销售至少有7.4万元的利润．

2．某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G，H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．

（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？

（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．请问至少需要补充多少名新工人？

解：

（1）设有x名工人加工G型装置，则有（80－x）名工人加工H型装置，根据题意，6x4＝3（80－x）3，解得x＝32，则6×32÷4＝48（套），答：

每天能组装48套GH型电子产品；

（2）设补充a名新工人加工G型装置仍设x名工人加工G型装置，（80－x）名工人加工H型装置，根据题意，6x＋4a4＝3（80－x）3，整理可得，x＝160－2a5，另外，注意到80－x≥120020，即x≤20，于是160－2a5≤20，解得：

a≥30，答：

至少需要补充30名新工人．

3．（2017•宁波）2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．

（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？

（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？

（导学号　58824234）解：

（1）设甲种商品的销售单价为x元，乙种商品的销售单价为y元，依题意有2x＝3y，3x－2y＝1500，解得x＝900，y＝600，答：

甲种商品的销售单价为900元，乙种商品的销售单价为600元；

（2）设销售甲种商品a万件，依题意有900a＋600（8－a）≥5400，解得a≥2，答：

至少销售甲种商品2万件．

4．（2017•无锡）某地新建的一个企业，每月将生产1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：

污水处理器型号A型B型处理污水能力（吨/月）240180已知商家售出的2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元，售出的1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元．

（1）求每台A型、B型污水处理器的价格；

（2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器，那么他们至少要支付多少钱？

解：

（1）设每台A型污水处理器的价格是x万元，每台B型污水处理器的价格是y万元，依题意有2x＋3y＝44，x＋4y＝42，解得x＝10，y＝8.答：

每台A型污水处理器的价格是10万元，每台B型污水处理器的价格是8万元；

（2）购买9台A型污水处理器，费用为10×9＝90（万元）；购买8台A型污水处理器、1台B型污水处理器，费用为10×8＋8＝80＋8＝88（万元）；购买7台A型污水处理器、2台B型污水处理器，费用为10×7＋8×2＝70＋16＝86（万元）；购买6台A型污水处理器、3台B型污水处理器，费用为10×6＋8×3＝60＋24＝84（万元）；购买5台A型污水处理器、5台B型污水处理器，费用为10×5＋8×5＝50＋40＝90（万元）；购买4台A型污水处理器、6台B型污水处理器，费用为10×4＋8×6＝40＋48＝88（万元）；购买3台A型污水处理器、7台B型污水处理器，费用为10×3＋8×7＝30＋56＝86（万元）；购买2台A型污水处理器、9台B型污水处理器，费用为10×2＋8×9＝20＋72＝92（万元）；购买1台A型污水处理器、10台B型污水处理器，费用为10×1＋8×10＝10＋80＝90（万元）；购买11台B型污水处理器，费用为8×11＝88（万元）．故购买6台A型污水处理器、3台B型污水处理器，费用最少．答：

他们至少要支付84万元．

类型三　方程、不等式与函数结合的实际应用1．（2017•泰州）怡然美食店的A，B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．

（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？

（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？

解：

（1）设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x、y份，根据题意得，20x＋18y＝1120，（20－14）x＋（18－14）y＝280.解得：

x＝20，y＝40，答：

该店每天卖出这两种菜品共60份；

（2）设A种菜品售价降0.5a元，即每天卖（20＋a）份；总利润为w元，因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B种菜品每天卖（40－a）份，每份售价提高0.5a元．w＝（20－14－0.5a）（20＋a）＋（18－14＋0.5a）（40－a）＝（6－0.5a）（20＋a）＋（4＋0.5a）（40－a）＝（－0.5a2－4a＋120）＋（－0.5a2＋16a＋160）＝－a2＋12a＋280＝－（a－6）2＋316，当a＝6时，w最大，此时w＝316.答：

这两种菜品一天的总利润最多是316元，

2．（2016•本溪）某种商品的进价为40元/件，以获利不低于25%的价格销售时，商品的销售单价y（元/件）与销售数量x（件）（x是正整数）之间的关系如下表：

x（件）…5101520…y（元/件）…75706560…

（1）由题意知商品的最低销售单价是_50_元，当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数，求出y与x的函数关系式及x的取值范围；

（2）在

（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？

（导学号　58824235）解：

（1）设y＝kx＋b，根据题意得：

75＝5k＋b，70＝10k＋b，解得k＝1，b＝80.根据题意得：

x≥1，－x＋80≥50，∴1≤x≤30且x为整数，∴y＝－x＋80（0＜x≤30，且x为整数）；

（2）设所获利润为P元，根据题意得：

P＝（y－40）x＝（－x＋80－40）x＝－（x－20）2＋400，∵a＝－1＜0，∴P有最大值，∴当x＝20时，P最大＝400，此时y＝60，∴当销售单价为60元时，所获最大利润为400元．

3．（2017•鄂州）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．

（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；

（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？

（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？

解：

（1）依题意有：

y＝10x＋160；

（2）依题意有：

W＝（80－50－x）（10x＋160）＝－10（x－7）2＋5290，∵－10＜0，x为偶数，∴x＝6或8时，W有最大值，W最大＝5280.故当销售单价定为80－6＝74元或80－8＝72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）依题意有：

－10（x－7）2＋5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50＝10000（元），答：

他至少要准备10000元进货成本．

4．（2017•长春）甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y（件）．甲车间加工的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．

（1）甲车间每小时加工服装件数为_80_件；这批服装的总件数为_1140_件；

（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；（3）求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．解：

（2）乙车间每小时加工服装件数为120÷2＝60（件），乙车间修好设备的时间为9－（420－120）÷60＝4（时）.∴乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y＝120＋60（x－4）＝60x－120（4≤x≤9）；（3）甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y＝80x，当80x＋60x－120＝1000时，x＝8.答：

甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间为8小时．

5．（2017•咸宁）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．

（1）第24天的日销售量是_330_件，日销售利润是_660_元；

（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）日销售利润不低于640元的天数共有多少天？

试销售期间，日销售最大利润是多少元？

（导学号　58824236）解：

（2）设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx，将（17，340）代入y＝kx中，340＝17k，解得：

k＝20，∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝20x；根据题意得：

线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y＝340－5（x－22）＝－5x＋450.联立两线段所表示的函数关系式得，y＝20x，y＝－5x＋450，解得x＝18，y＝360，∴交点D的坐标为（18，360），∴y与x之间的函数关系式为y＝20x（0≤x≤18），－5x＋450（18＜x≤30）；（3）当0≤x≤18时，根据题意得：

（8－6）×20x≥640，解得：

18≥x≥16；当18＜x≤30时，根据题意得：

（8－6）×（－5x＋450）≥640，解得：

18＜x≤26.∴16≤x≤26.26－16＋1＝11（天），∴日销售利润不低于640元的天数共有11天；∵点D的坐标为（18，360），∴日最大销售量为360件，360×2＝720（元），∴试销售期间，日销售最大利润是720元．

6．（2017•随州）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该种水果每次降价的百分率；

（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？

时间x（天）1≤x＜99≤x＜15x≥15售价（元/斤）第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量（斤）80－3x120－x储存和损耗费用（元）40＋3x3x2－64x＋400（3）在

（2）的条件下，若要使第15天的利润比

（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？

解：

（1）设该种水果每次降价的百分率是x，依题意有10（1－x）2＝8.1，解得x＝10%或x＝190%（舍去），答：

该种水果每次降价的百分率是10%；

（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：

10×（1－10%）＝9，∴y＝（9－4.1）（80－3x）－（40＋3x）＝－17.7x＋352，∵－17.7＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝1时，y有最大值，y最大＝－17.7×1＋352＝334.3（元），当9≤x＜15时，第2次降价后的价格为8.1元，∴y＝（8.1－4.1）（120－x）－（3x2－64x＋400）＝－3x2＋60x＋80＝－3（x－10）2＋380，∵－3＜0，∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，∴当x＝10时，y有最大值，y最大＝380（元），综上所述，y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式为：

y＝－17.7x＋352（1≤x＜9），－3x2＋60x＋80（9≤x＜15），第10天时销售利润最大；（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，由题意得：

380－127.5≤（4－a）（120－15）－（3×152－64×15＋400），252．5≤105（4－a）－115，解得a≤0.5.答：

第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．　题型二　几何图形探究题　　　　　　　　　　　　　　　　　　

类型一　与三角形、四边形有关的探究题1．（2017•成都）问题背景：

如图①，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝12∠BAC＝60°，于是BCAB＝2BDAB＝3.迁移应用：

如图②，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD.①求证：

△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：

如图③，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF.①证明△CEF是等边三角形；②若AE＝5，CE＝2，求BF的长．

迁移应用：

①证明：

∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠DAB＝∠CAE，在△DAB和△EAC中，DA＝EA，∠DAB＝∠EAC，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC；②解：

CD＝3AD＋BD；拓展延伸：

①证明：

如解图，作BH⊥AE于点H，连接BE.∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴△ABD，△BDC是等边三角形，∴BA＝BD＝BC，∵E、C关于BM对称，∴BC＝BE＝BD＝BA，FE＝FC，∴A、D、E、C四点共圆，∴∠ADC＝∠AEC＝120°，∴∠FEC＝60°，∴△EFC是等边三角形，②解：

∵AE＝5，EC＝EF＝2，∴AH＝HE＝2.5，FH＝4.5，在Rt△BHF中，∵∠BFH＝30°，∴HFBF＝cos30°，∴BF＝4.532＝33.2．（2017•沈阳）四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF.

（1）如图①，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；

（2）如图②，当点E在线段AD上时，AE＝1；①求点F到AD的距离；②求BF的长；（3）若BF＝310，请直接写出此时AE的长．（导学号　58824237）解：

（1）作FH⊥AB于点H，如解