导数习题题型分类精选题型五利用导数证明不等式学生用.docx

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导数习题题型分类精选题型五利用导数证明不等式学生用

导数习题题型分类精选题型五

利用导数证明不等式

不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点，传统证明不等式的方法技巧性强多数学

生不易想到，并且各类不等式的证明没有通性通法•随着新教材中引入导数，这为我们处理不

等式的证明问题又提供了一条新的途径，并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出

现,但现行教材对这一问题没有展开研究，使得学生对这一简便方法并不了解•利用导数证明

不等式思路清晰，方法简捷，操作性强，易被学生掌握。

下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思路，并通过构造辅助函数，证明一些简单的不等式。

通过作辅助函数并对辅助函数求导来证明不等的的方法对相当广泛的一类不等式是适用的。

用此方法证明f（x）仝g（x）（awxwb）的一般步骤是：

1.作辅助函数F（x）=f（x）-g（x），原不等式f（x）仝g（x）（awxwb）归结为：

F（x）

仝0（awxwb），这等价于F（x）在］a，b］上的最小值大于等于0.

2.对卩（x）求导，确定Fz（x）在所考虑的区间上的符号，从而确定F（x）的增减性、

极值、最值等性质（主要是单调性），如象例3F/（x）的符号直接确定不了，这时一般需计

算F//（x），直到符号能够确定为止.

注意：

作辅助函数F（x）不同，确定F/（x）符号难易程度可能不同，所以作辅助函数要

不拘一格，可对原题作适当变更•不同辅助函数构造一般来源对原不等式的不同同解变形.

一般来说：

辅助函数构造方法主要有下面两种：

x2

（1）由欲证形式构造“形似”函数。

例如：

xIn（Vx）构造出

2

gx=x-xIn（1x）

2

（2）对含两个变量的不等式，由欲证形式做恒等变形，变成初等函数四则运算的形

式，再将其中一个变量改为x，移项使等式一端为0,则另一端即为所求作的

辅助函数F（x）

ab、a...、ab

例如：

（）上ab

2

、a+b

两边可取对数，变为求证：

aIna■blnb亠（a■b）In

a+x

令f（x）=alnaxlnx-（ax）ln（x_a）

一•构造形似函数型

1.对证明形如f（x）仝g（x）（awxwb）的不等式构造形如F（x）=f（x）-g（x）的函数型并

通过一阶求导达到证明目的的不等式。

例1求证下列不等式

X2X2

⑴X—「ln（1"1亍X（0，：

J（相减）

（2）

2X

sinxx（0,

（相除两边同除以

X得

2

xsinx

ji

2）

31

（3）

x_sinx:

:

:

tanx-x

X

（0,?

）

（4）

已知：

x•（0•二）,

求证

—In

x1

1

;

（换元：

设t-X1）

x1

X

X

X

（5）已知函数f（x）=In（xT）-x,X•-1，证明：

1In（x•1）_x

x+1

巩固练习：

11•证明x.1时，不等式2x3-

x

X

2.x=0，证明：

e1x

2

x

3.x0时，求证：

xIn（1x）

2

综合应用

4.例：

（理做）设a>0,f（x）=x—1—In2x+2aInx（x>0）.

（I）令F（x）=xf/（x），讨论F（乂）在（0.+^）内的单调性并求极值;

（n）求证：

当x>1时，恒有x>lnx—2aInx+1.

（i）求函数f（x）的最大值；

（ii）设0

2

解：

（2009全国卷n理）（本小题满分12分）设函数fx=x2aln1■x有两个极值点

xrx2，且捲：

:

x2

（I）求a的取值范围，并讨论fx的单调性；

II）证明：

fX21严

4

例：

（1）已知：

—1X…11

x（0：

：

），求证ln

X+1xx

11iii

（2）已知：

□•”且门_2，求证：

lnn<1-

23n2n—1

（22）（2012山东理科22题本小题满分13分）

已知函数f（x）=lnjj（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在e

点（l,f（l））处的切线与x轴平行.

（I）求k的值；

（n）求f（x）的单调区间;

（川）设g（x）二xf（X），其中f（x）为f（x）的导函数.证明：

对任意x0,g（x）：

：

；1e-.［来

源：

解：

2012天津理科（21）（本小题满分14分）

已知函数f（x）=xe」（x・R）•

（I）求函数f（x）的单调区间和极值；

（n）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称.证明当x>1时,

f（x）>g（x）;

（川）如果X=X2,且f（冷）=f（X2）,证明x1x22.

（n）证明:

（川）证明：

（1）

导数习题题型分类精选题型五

利用导数证明不等式（教师用）

不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点，传统证明不等式的方法技巧性强多数学

生不易想到，并且各类不等式的证明没有通性通法•随着新教材中引入导数，这为我们处理不

等式的证明问题又提供了一条新的途径，并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出

现,但现行教材对这一问题没有展开研究，使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明

不等式思路清晰，方法简捷，操作性强，易被学生掌握。

下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思路，并通过构造辅助函数，证明一些简单的不等式。

（一）.通过作辅助函数并对辅助函数求导来证明不等的的方法对相当广泛的一类不等式是适用的。

用此方法证明f（x）仝g（x）（aWxwb）的一般步骤是：

1.作辅助函数F（x）=f（x）-g（x），原不等式f（x）仝g（x）（awxWb）归结为：

F（x）

仝0（awxwb），这等价于F（x）在］a，b］上的最小值大于等于0.

2.对卩（x）求导，确定Fz（x）在所考虑的区间上的符号，从而确定F（x）的增减性、

极值、最值等性质（主要是单调性），如象例3F/（x）的符号直接确定不了，这时一般需计

算F//（x），直到符号能够确定为止.

注意：

作辅助函数F（x）不同，确定F/（x）符号难易程度可能不同，所以作辅助函数要

不拘一格，可对原题作适当变更（或换元）•不同辅助函数构造一般来源对原不等式的不同同解变形.

一般来说：

辅助函数构造方法主要有下面两种：

2

X

（3）由欲证形式构造“形似”函数；x:

:

:

In（1x）构造出

-In（1x）

（4）对含两个变量的不等式，由欲证形式做恒等变形，变成初等函数四则运算的形式，再将其中一个变量改为x，移项使等式一端为0,则另一端即为所求作的

辅助函数F（x）例如：

2

（x_a）

f（x）=alnaxlnx-（ax）In

•构造形似函数型

1.对证明形如f（x）仝g（x）（awxWb）的不等式构造形如F（x）=f（x）-g（x）的函数型并

通过一阶求导达到证明目的的不等式。

例1.求证下列不等式

22

xx

（1）xln（1x）：

：

xx（0,：

：

）（相减）

22（1+x）

（2）

sinx空

x（0,2）

（相除）

n

（3）x—sinx

2

1x亠11

（4）

（换元：

设t）

X

1

1In（x1）_x

x1

已知：

x•（0•二），求证In

X+1XX

（5）已知函数f（x）=In（xT）-x,x-1，证明:

x2

解：

证：

设

（1）f（x）=ln（1-x）-（x）f（0）=0

2

1

f（x）十-1x

y二f（x）为（0,：

：

）上

x（0,：

：

）f（x）0恒成立

2

x•-In（1x）x-

2

2

g（0）=0

设g（x）二xxIn（1x）

2（1+x）

22

g（x）=1-4x4x—2x1

4（1x）2

2x20

4（1x2）

•••g（x）在（0,：

：

）上

2

x

•-x（0,二）xIn（1x）0恒成立

2（1+x）

⑵sinx空x（0,R

（相除）

sinx2

解

（2）原式：

二

x兀

cosx（x-tanx）

--f（x）二

令f（x）二sinx/x

n、

x（0,）

2

•x（0,-）

•fx在（o,—）上是减函数。

2

t.兀2

fxf（）:

2n

口兀2

又f（厂

2二

2x

…sinx

cosx■0sinxtanx0

f（x）:

:

:

0

n

（3）x—sinxctanx—xx（0—），2

解：

（3）令f（x）二tanx-2xsinxf（0）=0

f（x）二sec2x-2cosx二

2

（1一cosx）（cosxsinx）

2

cosx

x（0,罗f（x）0•fx在（°，2）上是增函数。

fxf（0）=0

•tanx-x.x-sinx

1

（4）已知：

x三（0-…），求证In

乞」J；（换元：

设）

xxx

原不等式等价于

•••In（x1）乞x.

•当x€（—1,o）时，g（x）v0，当x€（0,+®）时，g（x）>o.

1

综上可知，当X*—1时，有1In（X•1）辽X.

巩固练习：

1•证明x・1时，不等式2、x•3-丄

x

x+1

x

2.x-0，证明：

e■1x

3.x0时，求证:

2

x

xIn（1x）

2.对证明形如f（x）仝g（x）（awxwb）的不等式构造形如F（x）=f（x）-g（x）的函数，并通过

一阶或二阶、三阶求导达到证明目的的不等式。

例3使用了二阶求导的方法判出函数的导数的导函数单调性后再去证明不等式，也凸显判断函数零点的作用。

例3.当x（0,1）时,证明：

（1x）ln2（1x）：

：

：

x2

证：

令f（x）二（1x）ln2（1x）-x2,则f（0）=0,

而f'（x）=ln2（1x）2In（1x）—2x,f'（0）=0

当（0,1）时，

因为在同一坐标系中画出y=lnx,y=x的图像可知X■（0,1）,In（1x）:

:

:

x

f''（x）=2^^产-2二右[丨叫x）-x]：

：

0

1+x1+x1+x

•••f'（x）在（0,1）上递减，即f'（x）：

：

：

f'（0）=0,从而f（x）在（0,1）递减

•f（x）

Ex:

证明：

当x0时,（x2-1）lnx_（x—1）2

x—1设：

F（x）=lnx-

x+1

方法

X—1二F（x）=lnx,在0,亠「]上是增函数。

从而根据F

（1）=0推出

'F（x）<0（0

丿JF（x）与x-1同号二（x—1）F（x）H0,

F（x）>0（x>1）

22

•••（x-1）lnx_（x-1）

解：

欲证当x.0时，（x2-1）lnx_（x_1）2

即证x.0时,（x2-1）lnx-（x-1）2_0

22

设f（x）=（x-1）lnx-（x-1），x0

即证x■0时，f（x）=（x2—1）1nx-（x-1）2>0

注意到x=1时，f

（1）=0

22

f（x）=（x2-1）InX-（x-1）2

：

：

：

0

x（0,1）时,

fx=21nx-11

x2

2

222x…2门

fx330

xxx

fx是减函数fx■f1=20

fx是增函数「x:

：

:

f1=0

fx是减函数fx]yf1=0

x•（1,•：

：

）时fx是减函数fX•f1=0

fx=21nx吉10x

2x2-2

3~x

fx是增函数「X.f1=0

•••x•（1,•：

：

）时fX是增函数fx.f1]=0

X0时，fXmin=f1=0

22

•••（x2-1）lnX_（x-1）2

二.作辅助函数型：

对含有两个变量的不等式，可构造出以其中一个变量为为自变量的

函数，再采用上述方法证明不等式。

使使用用了使用

例2.已知：

a、b为实数，且b>a>e,其中e为自然对数的底，求证：

ab>ba.

证法一：

Tb>a>e,

•要证ab>ba,只要证blna>alnb,

设f（x）=xlna—alnx（x>e）,贝U

aa,

f'（x）=lna—.tx>a>e,「.lna>1,且<1,•f（x）>0.

xx

•函数f（x）=xlna—alnx在（e,+g）上是增函数，

•f（b）>f（a）=alna—alna=0,即blna—alnb>0,•blna>alnb,「.ab>ba.证法二：

要证ab>ba,只要证blna>alnb（evavb）,

InaInbInx‘.

即证，设f（x）=（x>e）,

abx

则f'（x）=Uyv0,.・.函数f（x）在（e,+g）上是减函数，x2

又Tevavb,

亦InaInbb

•f（a）>f（b）,即，•a>b.

ab

Ex:

若0：

：

：

为：

：

：

x2,证明：

tanX2昼

2tan为x1

解：

要证：

0：

：

“：

：

X2匸，也西

2tanx-!

x1nx1tanx〔

需证：

07"一辰0

ji

0：

：

：

Xj：

：

：

x2：

：

：

—，则需证f（x）•o

2

11

因为f（0）.0f（x）二

x2tanx2

n

■/0：

：

x1■:

.x2：

：

：

—时，0：

：

x2:

:

:

tanx2。

2

11

x2tanx2

在0：

：

：

X1：

：

：

X2上f（x）0f（x）在0：

：

：

X1：

：

：

X2上是增函数

22

小兀tanx2X2

•••f（x）0.••在0:

:

:

Xj：

：

：

X2上成立

2tanx1x-i

练习

a

证明

（1）x「ax込1-a（x-0,0:

:

:

a:

:

:

1）

b-abb_a

（2）ln（0:

:

:

a:

:

:

b）

baa

思考：

a+h

（3）a0,b0,证明（-—）ab^aabb,并指出”=”成立的条件

2

综合运用典例精讲

2

例1.（理做）设a>0,f（x）=x—1—Inx+2aInx（x>0）.

（I）令F（x）=xf/（x），讨论F（x）在（0.+^）内的单调性并求极值;

（n）求证：

当x>1时，恒有x>ln2x—2aInx+1.

X

（0,2）

2

（2,+s）

F（x）

—

0

+

F（x）

□

极小值

F

（2）

□

故知F（x）在（0,2）内是减函数，在（2,s）内是增函数，所以，在x=2处取得极小值

F

（2）=2-2ln22a.

（n）证明：

由a>0知，F（X）的极小值F

（2）=2「2ln2・2a.0-于是由上表知，对一切X.（0,•*），恒有F（x）=xf（x）0-从而当X0时，恒有f（X）.0，故f（x）在（0,）内单调增加.

所以当x.1时，f（x）.f⑴=0，即x_1_ln2x亠2aInx.0.

（利用单调性证明不等式）

故当x.1时，恒有x.In2x-2aInx1.

ab=aln2abln2b

a+ba+b

f（x）=ln（1+x）-x,g（x）=xInx,

（i）求函数f（x）的最大值；

（ii）设0

解:

（I）函数f（x）的定义域是（-1,*）,

'1人’

f（x）=-1，令f（x）=0，解得：

x=0,

1+x

当-10,f（X）在（-1,0）上是增函数

当X>0时，f'（x）c0,f（x）在（0,+*）上是减函数

当x=0时，f（x）取得最大值，f（x）

又f（0）=0,f（x）最大值是0”

（II）证法一：

（综合法）

a-b:

:

:

0

g（a）g（b）—2g（a—b）二alnablnb-（ab）ln

由（I）的结论知ln（1•x）「x：

：

：

0（x*「1,且x=0）,

b—a

由题设0

0a-b<0,

2a

2aa亠b

又（这一隐性条件的挖掘很重要，一是看学生的转换能力,

a+b2b

是看学生的分析能力，据需取舍。

）

2a…2b,a+b「2b“X12b“,八

aln+bln

a+ba+b2ba+ba+b

（使用了放缩法，放缩的目的要明确。

）

a亠b

综上0：

：

：

g（a）g（b）—2g（—2—）:

：

:

（b—a）ln2

（ll）证法二：

作辅助函数法（构造新函数法）：

解：

•/g（x）=xlnx，则g'（x）=Inx1,

又设0

2

构造辅助函数：

a+x

设F（x）=g（a）+g（x）-2g（—,

则F'（x）=g'（x）Vgf'-lnx-ln丁,

当0

：

：

0，因此F（x）在（0,a）内为减函数+

当x>a时F'（x），因此F（x）在（a,+）上为增函数+

从而，当x=a时，F（x）有极小值F（a）.因为F（a）=O,b>a,

所以F（b）>0,

设G（x）二F（x）-（x-a）ln2,

a+x

则G（x）=InxTnIn2=Inx「In（ax）

当x>0时，G（x）<0,因此G（x）在（0,+g）上为减函数,

例3.（2009全国卷n理）（本小题满分12分）设函数fX；=x2-aIn1x有两个极值点

X2，且捲：

:

x2

（I）求a的取值范围，并讨论fx的单调性；

1_2ln2

（II）证明：

fX2

4

2

a2x2xaz八

解：

（I）fx=2x（x-1）

1+x1+x

21

令g（x）=2x2•2xa，其对称轴为x二

由题意知捲、X2是方程g（x）=O的两个均大于-1的不相等的实根，其充要条件为

的区分点）

222

二f（x2）=x2+aln（1+x2）=x2-（2x2+2x2）ln（1+x2）y

1

设hx=x2-（2x22x）ln1x（x-？

），

则hx=2x-2（2x1）ln1x-2x二-2（2x1）ln1x

11

⑴当x（-畀）时，hx0,h（x）在［-？

0）单调递增;

⑵当（0,•：

：

）时，hx：

：

：

0,h（x）在（0,•：

：

）单调递减。

11、1-'2ln2

当X（-2'0）时,hxh（-?

4-

故fx2=h（x2）

原不等式等价于

•Int1—

t

1x+11

综上得丄dn「

x1xx

（2）由

（1）令x=1,2,……（n-1）并相加得

1：

ln2：

1

2

高考新动态

例1.（2012山东理科22题本小题满分13分）

已知函数f（x）=lnjj（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在e

点（l,f（l））处的切线与x轴平行.

（I）求k的值；

（n）求f（x）的单调区间；

（川）设g（x）=xf（x），其中f（x）为f（x）的导函数.证明：

对任意

x0,g（x）<1e".[来源:

Inx-k

解:

（l）f（x）二&

x?

e

由已知，

1_k

f

（1）0，二k=1.

e

（II）由

（1）知，

丄—Inx—1

f（x^-x—.

e

、111

设k（x）Inx-1，则k（x）20，即k（x）在（0,•:

=）上是减函数,

xxx

由k

（1）=0知，

当0：

：

：

x：

：

：

1时k（x）0，从而f（x）.0，

当x1时k（x）：

：

：

0，从而f（x）：

：

：

0.

综上可知，f（x）的单调递增区间是（0,1），单调递减区间是（1,；）.

（III）由（II）可知，当x_1时，g（x）二xf（x）<0V1+「，故只需证明g（x）：

：

：

1e，在0：

：

：

x：

：

:

1时成立.

当0：

：

：

x：

：

1时，ex>1，且g（x）0，二g（x）=1_xl[x_x_x|nx—x.

e

设F（x）=1-xlnx—x，x^（0,1），贝UF（x）=—（Inx2），

当x（0,eB时，F（x）0，当x（e',1）时，F（x）：

：

0，

所以当时，F（x）取得最大值F（e』）=1飞'.

所以g（x）

综上，对任意x0，g（x）：

：

1e°.

例2.（2012天津理科21题，本小题满分14分）

已知函数f（x）=xe^（x・R）.

（I）求函数f（x）的单调区间和极值；

（n）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象