初中函数概念大全.docx

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初中函数概念大全

函数及其相关概念

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量G与y，如果对于G的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说G是自变量，y是G的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点

（1）解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

（2）列表法

把自变量G的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤

（1）列表：

列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：

以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：

按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

一次函数和正比例函数

1、一次函数的概念：

一般地，如果y=kx+b（k，b是常数，k式0），那么y叫做G的一次函数。

特别地，当一次函数y=kx+b中的b为0时，y=kx（k为常数，k式0）。

这时，y叫做G的正比例函数。

4、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时,

B可用此方法拓展思G

2、一次函数、正比例函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线

一次函数y=kG+b（k丸））的图像是经过点（0,b）的直线（b是直线与y轴的交点的纵坐标，即一次

④设两条直线分别为，h：

y=«•bi|2:

y=k?

x•b?

h_l2：

=k1k^--1

路，以寻求解题方法）

如图：

点A坐标为（Gi,yi）点B坐标为（G2，y2）

则AB间的距离，即线段AB的长度为Xi-X2$■%-y2$

5、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y二kx（k=0）中的常数ko确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kxF（k=0）中的常数k和b。

解这类问题的一般方法是待定系数法。

6、

（1）一次函数图象是过两点的一条直线，|k|的值越大，图象越靠近于y轴。

（2）当k>0时，图象过一、三象限，y随G的增大而增大；从左至右图象是上升的（左低右高）；

（3）当k<0时，图象过二、四象限，y随G的增大而减小。

从左至右图象是下降的（左高右低）；

（4）当b>0时，与y轴的交点（0，b）在正半轴；当b<0时，与y轴的交点（0,b）在负半轴。

当b二0时，一次函数就是正比例函数，图象是过原点的一条直线

反比例函数

1、反比例函数的概念

一般地，函数y=k（k是常数，k=0）叫做反比例函数。

反比例函数的解析式也可以写成y=kx—1的

x

形式。

自变量G的取值范围是G=0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数，也可写成Gy=k（k

是常数，k工0）

反比例函数中，两个变量成反比例关系：

由Gy=k，因为k为常数，k工0，两个变量的积是定值，所

以y与G成反比变化，而正比例函数y=kG（k工0）是正比例关系：

由=k（k工0），因为为不等于零的常

x

数，两个变量的商是定值。

k

2、反比例函数y=k（k工0）的图象的画法画图方法：

描点法。

x

由于双曲线的图象有关于原点对称的性质，所以只要描出它在一个象限内的分支，再对称地画出另一

分支。

一定要注意：

k>0，双曲线两分支分别在第一、三象限。

k<0，双曲线两分支分别在第二、四象限。

（在每一象限内，从左向右上升）•因此，它的增减性与一次函数相反•反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称。

k

特点：

y=—=kG-1（k工0）中，Gm0，-y工0，则有双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交。

但无限

x

靠近G轴、y轴。

画图时图象要体现这种性质，千万注意不要将两个分支连起来。

3、反比例函数的性质和图像

反比

例函

数

y

x

心0）

k的符

k>0

k<0

号

k

确定的方法仍是待定系数法。

由于在反比例函数y二-中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应

x

值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何的意义

k

如下图，过反比例函数y（k=0）图像上任一点P作G轴、y轴的垂线PM,PN，则所得的矩形PMON

x

k的面积S=PM叩N=y•x=xy》y=—，二xy=k,S=kx

二次函数

1、二次函数的概念：

一般地，如果y=ax2•bx•c（a,b,c是常数，a=0），那么y叫做G的二次函数。

y^ax2bx-c（a,b,c是常数，a0）叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像：

二次函数的图像是一条关于x—对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

2a

3、二次函数图像的画法五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线y=ax2bxc与坐标轴的交点：

当抛物线与G轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

D。

由C、M、D三点可

A、B，然后顺次连接

当抛物线与G轴只有一个或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点

粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点

五点，画出二次函数的图像

称轴是直线x二h•

（3）运用抛物线的对称性：

由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。

若已知抛物线上两点（为』）、区』）（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：

x=—△

2

5.抛物线y=ax2bxc中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小①当a0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当a：

：

：

0时，抛物线开口向下；顶点为其最高点。

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.a越大，图像开口越小，a越小,图像开口越大。

②平行于y轴（或重合）的直线记作x二h.特别地，y轴记作直线x=0.

2b

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y二axbxc的对称轴是直线x-，

2a

故：

①b=0时，对称轴为y轴；②b0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；

a

③—:

:

0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

a

（3）c的大小决定抛物线y=ax2bxc与y轴交点的位置.当x=0时，y=c，二抛物线y=ax2，bx，c

与y轴有且只有一个交点（0，c）:

①c=0，抛物线经过原点；②c0,与y轴交于正半轴；③c”：

0,与y

轴交于负半轴.

K

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则-"0.

a

6、二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：

y=ax2•bx•c（a,b,c是常数，a=0）

（2）顶点式：

y=a（x—h）2k（a,h,k是常数，a=0）

（3）交点式：

当抛物线y=ax2■bx■c与G轴有交点时，即对应二次好方程ax2bx•c=0有实根Xi

和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2bxa（x-xj（x-x2），二次函数y=ax2bxc可转化

为两根式y=a（x-Xi）（x-X2）。

如果没有交点，则不能这样表示。

几种特殊的二次函数的图像特征如下:

函数解析式

开口方向

对称轴

顶点坐标

2

y=ax

x=0

（y轴）

（0,0）

y=ax2+k

当a>0时

x=0

（y轴）

（0,k）

y=a（x-hf

开口向上

X

=h

（h,0）

2

y=a（x-h）+k

当ac0时

X

=h

（h,k）

y=ax2+bx+c

b24ac—b2y/x^）+.

开口向下

X=

b

2a

b4ac-b2）（2a，4a）

7、二次函数的最值

增减性，如果在此范围内，y随G的增大而增大，则当X=X2时，y最大二ax|bx2c，当x=xi时,y最小二ax；bxic；如果在此范围内，y随G的增大而减小，则当x=花时，y最大二ax；bXjc，当x=x?

时，y最小二ax；bx2c。

8、二次函数的图象

函数

二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，

a"）

图

a>0

a<0

9.

，并向上无限延伸；

b

2a，2

顶点坐标是（-b,4a—b）；

2a4a

（3）在对称轴的左侧，即当Gv一卫时，y

2a

随G的增大而减小；在对称轴的右侧，

即当G^时,y随G的增大而增大，

2a

简记左减右增；

（2）对称轴是G=

（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；

1~\

（2）对称轴是G=-—，

232

顶点坐标是（-b,43皿）；

2a4a

（3）在对称轴的左侧，即当Gv一卫时,

2a

y随G的增大而增大；在对称轴的右

侧，即当G>-b时，y随G的增大

2a

而减小，简记左增右减；

（4）抛物线有最低点，当G=-b时，y

212a

有最小值，y最小值=4a—b

4a

（4）抛物线有最咼点，当G=-―b时，y

22a

有最大值，y最大值=4a—b

4a

抛物线的交点

y

0I

（1）抛物线开口向

（4）一次函数y=kx•nk=0的图像I与二次函数y=ax2•bx•ca=0的图像G的交点，由方程组

y=kxn

2的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时二I与G有两个交点；②方程组只

jy=ax+bx+c

'有一组解时I与G只有一个交点；③方程组无解时=I与G没有交点•

2

反比例函数y=—k=0的图像与二次函数y=axbxc0的图像的交点，由方程组［_kx

y=x的解来确定。

2

y=axbxco

（5）抛物线与x轴两交点之间的距离：

若抛物线y=axbxc与x轴两交点为Ax1?

0，Bx2,0，由于

bc

x-i、x2是方程ax2bx0的两个根，故x1x2,x-ix2:

aa

AB=%-x21=J（%-x2）2=（%+x2）_4xjX2

（1）y轴与抛物线y=ax2bxc得交点为（0,c）.

（2）抛物线与x轴的交点：

二次函数y=ax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x“X2，是对应一元二次方程ax2bx^0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式厶=b2-4ac判定：

一①有两个交点二C」0）=抛物线与x轴相交；

2有一个交点（顶点在x轴上）=（厶-0）=抛物线与x轴相切；

3没有交点=（—0）=抛物线与x轴相离.

（3）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同

（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bx的两个实数根.