高考理科数学答案及解析.docx

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高考理科数学答案及解析

2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II卷）理科数学

1、已知集合M=｛x|（x-1）²<4,x∈R｝，N=｛-1,0,1,2,3｝，则M∩N=（）.

（A）｛0,1,2｝（B）｛-1,0,1,2｝（C）｛-1,0,2,3｝（D）｛0,1,2,3｝

解析：

M=｛x|（x-1）²<4R｝=｛x|-1＜x<3｝，N=｛-1,0,1,2,3｝

∴M∩N=｛0,1,2｝，选A.

2、设复数z满足（1-i）z=2i，则z=（）

（A）-1+i（B）-1-i（C）1+i（D）1-i

解析：

由（1-i）z=2i，

得z=2i/（1-i）=2i（1+i）/[（1-i）（1+i）]=2（i+i²）/（1-i²）=2（i-1）/（1+1）=-1+i

3、等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1,a5=9，则a1=（）

（A）1/3（B）-1/3（C）1/9（D）-1/9

解析：

∵S3=a1+a2+a3=a2+10a1

∴a3=9a1，即a1·q²=9a1，q²=9

又a5=9，即a1·（q²）²=9

∴a1=1/9，选C.

4、已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l￠α，l￠β，则（）

（A）α∥β且l∥α（B）α⊥β且l⊥α

（C）α与β相交，且交线垂直于l（D）α与β相交，且交线平行于l

解析：

由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，

又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．

由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，

与m，n异面矛盾．

故α与β相交，且交线平行于l．

故选D．

5、已知（1+ax）（1+x）^5的展开式中x²的系数为5，则a=

（A）-4（B）-3（C）-2（D）-1

解析：

（1+ax）（1+x）^5的展开式中x²的系数为C5²+aC51=5，即10+5a=5，∴a=-1，选D

6、执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=

解析：

k=1，S=0，T=1

T=T/k，S=S+T，K=K+1

————————————

①T=1/1=1，S=0+1=1，K=1+1=2

②T=1/2=1/2=1/2！

，S=1+1/2！

，K=2+1=3

③T=（1/2！

）/3=1/3！

，S=1+1/2！

+1/3！

，k=3+1=4

④T=（1/3！

）/4=1/4！

，S=1+1/2！

+1/3！

+1/4！

，k=4+1=5

……

⑩T=1/10！

，S=1+1/2！

+1/3！

+……+1/10！

，k=10+1=11＞10=N

∴输出的S=1+1/2！

+1/3！

+……+1/10！

，选B.

7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1,0,1），（1,1,0），（1,1,1），（0,0,0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）

（A）（B）（C）（D）

解析：

选A.

8、

（A）c＞b＞a，（B）b＞c＞a，（C）a＞c＞b，（D）a＞b＞c.

解析：

a=1+lg2/lg3，b=1+lg2/lg5，c=1+lg2/lg7，

∵lg3＜lg5＜lg7

∴1+lg2/lg3＞1+lg2/lg5＞1+lg2/lg7

即a＞b＞c，选D

9、已知a＞0，x、y满足约束条件x≥1，x+y≤3，y≥a（x-3）.若z=2x+y的最小值为1，则a=

（A）1/4（B）1/2（C）1（D）2

解析：

如图，当目标方程z=2x+y的最小值为1时，A（1，-2a）在直线2x+y=1上

∴2-2a=1，a=1/2，选B.

10、已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，下列结论中错误的是

（A）

（B）函数y=f（x）的图像是中心对称图形

（C）若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x0）单调递减

（D）若是f（x）的极值点，则f'（x0）=0.

解析：

选C.

11、设抛物线C：

y²=3px（p≥0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0,3），则C的方程为

（A）y²=4x或y²=8x（B）y²=2x或y²=8x

（C）y²=4x或y²=16x（D）y²=2x或y²=16x

解析：

如图，设A（0，3）F（3p/4，0）M（5-3p/4，√[3p（5-3p/4）]）

∵A在以MF为直径的圆上

∴AM⊥AF

即向量AM·向量AF=0

∴（5-3p/4，√[3p（5-3p/4）]-3）·（3p/4，-3）=0

（5-3p/4）·3p/4=3{√[3p（5-3p/4）]-3}

令√[3p（5-3p/4）]=t

则t²/4=3（t-3）

t²-12t+36=0

（t-4）（t-9）=0

解得t=4，或t=9

当t=4时，√[3p（5-3p/4）]=4

9p²-60p+64=0

（3p-4）（3p-16）=0

解得p=4/3，或p=16/3

当t=9时，√[3p（5-3p/4）]=9

9p²-60p+324=0

△＜0，方程无解

∴p=4/3，或p=16/3，C的方程为y²=4x或y²=16x，选C.

12、已知点A（-1,0），B（1,0），C（0,1），直线y=ax+b（a>0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是

（A）（0,1）（B）（1-√2/2,1/2）（C）（1-√2/2,1/3]（D）[1/3,1/2）

解析：

分成三种情况讨论

（i）y=ax+b和x轴交点在A时，根据中线及重心性质，易得b=1/3；

（ii）当y=ax+b和x轴交点在A与原点之间时，不妨设为（x0,0）点，x0=-b/a

又设y=ax+b与BC线段交于（x1，y1），x1=（1-b）/（1+a），y1=（a+b）/（1+a）

∵S△ABC=1，

∴分割后的三角形面积=1/2=（1/2）（1-x0）y1

即（a+b）²=a（1+a）

∴a=b²/（1-2b）＞0，b＜1/2；

（iii）当y=ax+b和x轴交点在A点左侧时，设y=ax+b与线段CA：

y=x+1的交点（x2，y2），与线段BC：

y=-x+1交点（x3，y3）

易得x2=（1-b）/（a-1），x3=（1-b）/（a+1），

∴截得的三角形面积=（1/2）（1-b）（x3-x2）=1/2

即（1-b）²=（1-a²）/2＜1/2

∴1-√2/2＜b＜1+√2/2

综上1-√2/2＜b＜1/2，选B

另外，本题作为选择题，当直线y=ax+b过A，由重心性质求出b=1/3后，再将直线y=ax+b分别向A点两侧移动，即可排除CD；又b不可能趋于0或1，排除A，故可选B.

13、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则向量AE·向量BD=_________.

解析：

如图，建立直角坐标系，设B（0，0）D（2，2）A（0，2）E（2，1）

则向量AE=（2，-1），向量BD=（2，2）

∴向量AE·向量BD=（2，-1）·（2，2）=2×2-1×2=2

14、从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为1/14，则n=_______

解析：

从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，其中两数之和等于5的组合有（1，4）（2，3）两个

∴任意取出两个不同的数的组合有2÷（1/14）=28个

∵28=8×7/2

∴n=8.

15、设θ为第二象限角，若tan（θ+π/4）=1/2，则sinθ+cosθ=________.

解析：

∵tan（θ+π/4）=1/2

∴（tanθ+1）/（1-tanθ）=1/2，即tanθ=-1/3

∵θ为第二象限角

∴sinθ=1/√10，cosθ=-3/√10

sinθ+cosθ=-2/√10=-√10/5

16、等差数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为________.

解析：

设等差数列｛an｝的首项为a1，公差为d

则S10=10a1+10×9d/2=0

S15=15a1+15×14d/2=25

联立解得a1=-3，d=2/3

∴f（n）=nSn=n[-3n+n（n-1）/3]=n³/3-10n²/3

令f'（n）=n²-20n/3=0

则n=0或20/3≈7

正整数n=7时，f（n）=nSn有最小值

即nSn≥f（7）=7³/3-10×7²/3=-49.

17、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB

（I）求B；

（II）若b=2，求△ABC面积的最大值.

解析：

（I）∵a=bcosC+csinB，且a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC

∴sinA=sinBcosC+sinBsinC

又A=π-（B+C）

∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC

∴sinBsinC=cosBsinC

∵C∈（0，π）

∴sinC≠0

∴sinB=cosB

又B∈（0，π）

∴B=π/4

（II）△ABC面积s=1/2acsinB=√2ac/4

∵b²=a²+c²-2accosB

即4=a²+c²-2accos（π/4）

4+√2ac=a²+c²≥2ac

（2-√2）ac≤4

ac≤4/（2-√2）=2（2+√2），当且仅当a=c时，等号成立

∴△ABC面积的最大值为√2·2（2+√2）/4=√2+1.

18、如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点，AA1=AC=CB=√2/2AB.

（I）证明：

BC1∥平面A1CD；

（II）求二面角D-A1C-E的正弦值.

解析：

（I）连接AC1交A1C于F，则F是AC1的中点

又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1

∵DF在平面A1CD内，BC1在平面A1CD外

∴BC1∥平面A1CD

（II）∵AC=CB=√2/2AB

∴CA⊥CB

又CC1⊥平面ABC

∴以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z，建立空间坐标系

根据AA1=AC=CB=√2/2AB，设CA=2

则D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2）

∴向量CD=（1，1，0），向量CE=（0，2，1），向量CA1=（2，0，2）

设向量n=（x1，y1，z1）是平面A1CD的法向量

则向量n·向量CD=0，即（x1，y1，z1）·（1，1，0）=x1+y1=0

向量n·向量CA1=0，即（x1，y1，z1）·（2，0，2）=2x1+2z1=0

可取向量n=（1，-1，-1）

同理，设向量m=（x2，y2，z2）是平面A1CE的法向量

则向量m·向量CE=0，即（x2，y2，z2）·（0，2，1）=2y2+z2=0

向量m·向量CA1=0，即（x2，y2，z2）·（2，0，2）=2x2+2z2=0

可取向量m=（2，1，-2）

从而cos＜n，m＞=（n·m）/（|n|·|m|）=[（1，-1，-1）·（2，1，-2）]/（√3·√9）=3/（3√3）=√3/3

∴sin＜n，m＞=√6/3

即二面角D-A1C-E的正弦值为√6/3.

19、经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X（单位：

t，100≤X≤150）表示市场需求量，T（单位：

元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

（I）将T表示为X的函数

（II）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；

（III）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：

若需求量X∈[100,110），则取X=105，且X=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率），求T的数学期望.

解析：

（I）由题意得，当X∈[100，130）时，T=500X-300（130-X）=800X-39000，

当X∈[130，150）时，T=500×130=65000，

∴T=800X-39000，X∈[100，130）

65000，X∈[130，150）

（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．

由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，

所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．

（III）T的分布列为

T45000530006100065000

P0.10.20.30.4

∴ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400.

20、平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：

x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的右焦点的直线x+y-√3=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为1/2

（Ι）求M的方程

（II）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值。

解析：

（I）∵直线x+y-√3=0过椭圆M：

x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的右焦点

∴令y=0，则x=√3，即F（√3，0），c=√3

设A（x1，y1）B（x2，y2）p（x0，y0）

则x1²/a²+y1²/b²=1，x2²/a²+y2²/b²=1

∴x1²/a²+y1²/b²=x2²/a²+y2²/b²

（x1²-x2²）/a²=（y2²-y1²）/b²

b²/a²=（y2²-y1²）/（x1²-x2²）=-[（y2+y1）（y2-y1）]/[（x2+x1）（x2-x1）]

=-[（y2+y1）/（x2+x1）]·[（y2-y1）/（x2-x1）]

∵直线AB：

x+y-√3=0的斜率为-1

∴（y2-y1）/（x2-x1）=-1

又∵P为AB的中点，且OP的斜率为1/2

∴（y2+y1）/（x2+x1）=2y0/2x0=y0/x0=1/2

∴b²/a²=-（1/2）×（-1）=1/2

即a²=2b²

根据a²-b²=c²=3，得b²=3，a²=6

∴椭圆M的方程为x²/6+y²/3=1.

（II）x+y-√3=0，x²/6+y²/3=1联立得3x²-4√3x=0

即x=0或4√3/3，对应y=√3，或-√3/3

∴|AB|=√2（4√3/3-0）=4√6/3

设与AB垂直的直线CD的方程为y=x+n，（-5√3/3＜n＜√3）

代入x²/6+y²/3=1得3x²+4nx+（2n²-6）=0

（x1-x2）²=（x1+x2）²-4x1x2=16n²/9-4（2n²-6）/3=8（9-n²）/9

∴|CD|=√2|x1-x2|=√2·√[8（9-n²）/9]=4√（9-n²）/3

∴四边形ACBD面积S=|AB|·|CD|/2=（4√6/3）·[4√（9-n²）/3]/2=8√6·√（9-n²）/9

当n=0时，S取最大值8√6·√9/9=8√6/3.

21、已知函数，f（x）=e^x-ln（x+m）.

（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；

（II）当m≤2时，证明f（x）>0.

解析：

（I）f'（x）=e^x-1/（x+m）

由x=0是f（x）的极值点，得f'（0）=0

即1-1/m=0

∴m=1

于是f（x）=e^x-ln（x+1），定义域为（-1，+∞），f'（x）=e^x-1/（x+1）.

∵f'（x）=e^x-1/（x+1）在（-1，+∞）上单调递增，且f'（0）=0

∴当x∈（-1,0）时，f'（x）＜0；当x∈（0,+∞）时，f'（x）＞0

∴f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增.

（II）当m≤2，x∈（-m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m=2时，f（x）＞0.

当m=2时，函数f'（x）=e^x-1/（x+2）在（-2，+∞）上单调递增.

又f'（-1）＜0，f'（0）＞0

故f'（x）=0在（-2，+∞）有唯一实数x0，且x0∈（-1,0）

当x∈（-2,x0）时，f'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，从而当x=x0时，f（x）取得最小值.

由f'（0）=0得e^x0=1/（x0+2），ln（x0+2）=-x0

故f（x）≥f（x0）=1/（x0+2）+x0=（x0+1）²/（x0+2）.

综上，当m≤2时，f（x）＞0.

22、如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC∙AE=DC∙AF，B、E、F、C四点共圆.

（I）证明：

CA是△ABC外接圆的直径；

（II）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.

解析：

（I）∵CD为△ABC外接圆的切线

∴∠DCB=∠A

又BC∙AE=DC∙AF，即BC/DC=FA/EA

∴△CDB∽AEF

∴∠DBC=∠EFA

又B、E、F、C四点共圆.

∴∠ABC=∠EFA

∴∠DBC=∠ABC=90°

∴AC为△ABC外接圆的直径

（II）连接CE，∵∠CBE=90°

∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE

设DB=BE=EA=a

则CE²=CD²=DB·DA=a·3a=3a²

AC²=AB·AD=2a·3a=6a²

∴过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值=CE²/AC²=3a²/6a²=1/2

23、已知动点P、Q都在曲线C：

x=2cost，y=2sint（t为参数）上，对应参数分别为t=α与t=2α（0<α<2π），M为PQ的中点.

（I）求M的轨迹的参数方程；

（II）将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.

解析：

（I）依题意，P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α）

∴中点M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）

∴M的轨迹的参数方程为x=cosα+cos2α，y=sinα+sin2α，（α为参数，且0<α<2π）

（II）M到坐标原点的距离

d=√（x²+y²）

=√[（cosα+cos2α）²+（sinα+sin2α）²]

=√[2+2（cosαcos2α+sinαsin2α）]

=√[2+2cos（α-2α）]

=√（2+2cosα），（0<α<2π）

∵当α=π时，d=0

∴M的轨迹过坐标原点.

24、设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：

（I）ab+bc+ac≤1/3；

（II）a²/b+b²/c+c²/a≥1

解析：

（I）由a²+b²≥2ab，a²+c²≥2ac，b²+c²≥2bc

得a²+b²+c²≥ab+ac+bc

∵a+b+c=1

∴（a+b+c）²=1

即a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=1

∴3（ab+ac+bc）≤1

即ab+ac+bc≤1/3

（II）∵b+a²/b≥2a，c+b²/c≥2b，a+c²/a≥2c

∴a²/b+b²/c+c²/a+（a+b+c）≥2（a+b+c）

即a²/b+b²/c+c²/a≥a+b+c

∴a²/b+b²/c+c²/a≥1.