2.
排列数：
从n个不同元素中取出m（men）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不
同元素中取出m个元素的排列数，记作
3.
排列数计算公式：
=yi（n-l）（n-2）-2]=m!
（规定0!
=1）
4.可重复元素的排列：
从n个不同元素中，任取m（men）个元素（元素可以重复），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个可重复元素的排列。
从n个不同元素中取出m（men）个元素的所有可重复元素排列的个数为—。
（3）组合
1.定义：
从n个不同元素中，任取m（men）个元素，不计顺序并成一组，叫做从n个
不同元素中取出m个元素的一个组合。
2.组合数：
从n个不同元素中取出m（men）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不
同元素中取出m个元素的组合数，记作
3.
组合数计算公式：
Pm禎
（规定：
：
-）
4.
组合数的性质：
（1）
［典型例题］
例1.选择题（排列问题）
（1）从13名学生中选出两人担任正、副组长，不同的选举结果共有（）
（A）26种
（B）78种
（C）156种
（D）169种
【答疑编号10050102】吊-13x12-156
［答］（C）。
（2）十位同学互赠贺卡，每人给其他同学各寄出贺卡一张，那么他们共寄出贺卡的张数是（）
（A）50
（B）100
1010
（C）r
（D）90
【答疑编号10050103】
［解析］本小题主要考查排列的概念以及排列数计算公式。
满分5分。
十位同学之间互赠贺卡，有寄卡人与收卡人之分，即有顺序性，属排列问题。
10个不
同元素每次取2个元素的所有不同排列个数为
4o=10x9=90
故选（D）。
（3）用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的不同的三位数，共有（）
（A）120种
（B）60种
（C）20种
（D）216种
【答疑编号10050104】
5分。
［解析］本小题主要考查排列的概念以及排列数计算公式。
满分
百
十
个
因为三位数有个位、十位与百位之分，即取出的三个数字与前后顺序有关，所以这是排列问题，由排列数公式知这样不同的三位数共有（）
=6x5x4=120
故选（A）。
例2.选择题（有限制条件的排列问题）
（1）用0,1,2，3可组成没有重复数字的四位数共有（）
（A）6个
（B）12个
（C）18个
（D）24个
【答疑编号10050105】
［解析］本小题主要考查排列的概念以及排列数计算公式。
满分5分。
千
百
十
个
因为四位数有个位、十位、百位与千位之分，即取出的四个数字与前后顺序有关，所以这是排列问题。
但要考虑数字0不能在首位，可分两步完成，由排列数公式知这样不同的四位数共有
4-^=3x6^18
故选（C）。
（2）有5部各不相同的手机参加展览，排成一行，其中有2部手机来自同一厂家，则
此2部手机恰好相邻的排法总数为（）
（A）24
（B）48
（C）120
（D）60
【答疑编号10050106】
［解析］本小题主要考查有限定条件的排列问题以及排列数计算公式。
满分5分。
冯•£=24x2=48
故选（B）。
例3.选择题（组合问题）
（1）把十个学生分成两组，一组七人，另一组三人，分法共有（）
（A）'#
（B）」种
（C）〔种
（D）种
【答疑编号10050107】
%=C特7=嚼二号等:
:
=120
故选（C）。
（2）从15个学生中选2个代表，所有可能的不同选法种数是（）
（A）15
（B）30
（C）105
（D）210
【答疑编号10050108】
故选（C）。
（3）从50件产品中任意抽出3件，不同的抽出方法共有多少种?
【答疑编号10050109】
答：
19600
例4.选择题（有限制条件的组合问题）
（1）从7名男生和5名女生中选代表5人组成代表队，其中男生3名，女生2名，则
不同的选法共有（）
（A）45种
（B）350种
（C）792种
（D）4200种
【答疑编号10050110】
故选（B）
（2）某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2人当代表，要求至少有一名女生当选，则不同的选法共有（）
（A）21种
（B）24种
（C）27种
（D）63种
【答疑编号10050111】
=3x7+3=24
故选（B）。
（3）9种产品中有3种是名牌，要从这9种产品中选5种参加博览会，如果名牌产品全部参加，那么不同的选法共有（）
（A）30种
（B）12种
（C）15种
（D）36种
【答疑编号10050112]
故选（C）。
（四）二项式定理
1.二项式定理
展开式共有n+1项，其中匚|…一叫做二项式系数。
2.展开式的通项公式展开式的第r+1项
J■%"
3.二项式系数的性质
在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，如果二项式的幕
指数是偶数，那么中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幕指数是奇数，那么中间两项
的二项式系数最大。
［典型例题］
例1.（求指定项）
（1）-的展开式中的常数项为（）
（A）6
（B）12
（C）15
（D）30
【答疑编号10050113】
答案：
C
［解析］本题主要考查会用二项式的通项公式求指定项。
满分5分。
令12-3r=0得r=4
W皿皿
故选（C）。
（2）"•的展开式中；的系数是（）
（A）56
（B）-56
（C）
（D）-■-
【答疑编号10050114】
答案：
C
第一节随机事件
（一）随机事件与样本空间
1.随机现象
（1）确定性现象
在一定条件下事先可以断言必然会发生某一结果的现象。
我们称为确定性现象或必然现
象。
例如，
1在标准大气压下，水加热到川必然沸腾
2物体下落
3同性电荷相斥
这些都是确定性现象，也就是必然现象。
微积分就是研究客观世界中“必然现象”的数量规律及其存在形式的一个数学分支。
（2）随机现象
在一定条件下结果不止一个，而且事先不能断言哪种结果发生的现象称为随机现象。
对于随机现象，人们事先不能断定它将发生哪一种结果，从表面上看，其结果是偶然性在起支配作用，其实不然，实践表明：
随机现象在相同条件下重复多次进行，总会呈现出
某种规律性，即统计规律性。
概率论与数理统计就是研究随机现象及其统计规律性的一个数学分支。
2.随机试验
对随机现象进行一次观察或一次试验称为随机试验，简称为试验。
随机试验的基本特征是:
（1）在相同条件下，试验可以重复进行（非偶然性）；
（2）每次试验的结果具有多种可能性，并且在试验前能明确所有可能结果（可知性）；
（3）每次试验前无法准确地预言该次试验将发生哪一种结果（不确定性）。
随机试验一般用大写字母E表示。
3.样本空间与样本点
（1）基本事件：
随机试验每一种可能出现的直接结果，即不能再分解的事件，称为基本事件，记为二。
（2）样本空间：
随机试验E的全体基本事件所构成的集合■■二，称为样本空间。
基本事
件也称为样本点。
一般地，样本空间表示为^'。
4.随机事件、必然事件、不可能事件
（1）随机事件：
在随机试验中，可能出现的结果称为随机事件（简称事件），通常用字母A,B,C,表示事件。
（2）必然事件：
在每次随机试验中必然会发生的事件称为必然事件。
显然，必然事件
是由事件的全体可能结果所组成，故心是必然事件。
（3）不可能事件：
在每次随机试验中一定不发生的事件称为不可能事件，不可能事件
是不包含任何试验结果的事件，用空集的符号卩来表示。
例1.写出下列随机试验_1'/：
i：
的样本空间：
（1）二：
将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况；
【答疑编号10050201】
解：
（1）殳1卜.I—.11卜.ll■.匚.1上・.「.上i.亍，上・上|
（正,反,反）,（反「正,反）「（反，反,正）,〔反,反,反）｝
（2）厂：
掷一颗均匀的骰子，观察其出现的点数；
【答疑编号10050202】
解：
（2）一…八
（3）"：
袋中装有编号为1，2,3，4，5的5只球，现从中任取2只球，不计较顺序,观察抽取的结果；
【答疑编号10050203】
解：
（3）丄.：
./..：
..!
：
.XX二…
可见共有3X3=9种结果，分别记为a"一于是样本空间
（5）…：
在一批含有正品和次品的产品中，任意抽取两只，观察所有可能结果;
【答疑编号10050205】
解：
（5）贏〔I.一£口..「匚二：
工"二二I「二二.硏上匚]}--
（6）'；:
在一批灯泡中，任意抽取一只，测试它的寿命。
【答疑编号10050206】
解：
（6）■'o
E的事件。
（二）事件之间的关系和运算一一四个关系三种运算
设随机试验E的样本空间为…，而A,B,C,,,是
1.事件的包含
如果事件戏生必然导致事件疗发生，即事弁A的所育样本点都包含在事件B中，则称事件A包含于
2.事件的相等
如杲事件嗾生必有事件B发生，而且事件B发生必有事件竣生，目卩且UH且$匚乂，则称事件直相等.即HEo理丘有完全相同的样本点-
3.事件的互斥（或互不相容）
如果事件A与B不能同时发生，即事件A与B不包含公共的样本点，则称事件A与B
是互斥的（或互不相容）。
显然，各基本事件之间是互不相容的。
4.对立事件（或互逆事件）
事件“非A”，称为A的对立事件（或称A的逆事件），它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成的集合，记为二显然二二"
5.事件的和（并）
事件A与事件B至少有一个发生的事件，称为事件A与事件B的并（和），记为AUB
（或A+B）,它是由属于A或属于B的所有样本点构成的并集。
n个事件•[…儿中至少有一个发生这一事件，称为'-■-的并（或和），记为
—八「匸七（或J八汀…乜），或简记为
6.事件的积（交）
事件A与B同时发生的事件，称为事件A与事件B的交（或积），记为AAB（或AB）,它是由既属于A且属于B的所有样本点构成的集合。
n个事件八■-同时发生这一事件，称为事件「“「r■■-的交（或积），记作
1"J'■\（或），简记为：
（或宀‘）。
由事件的并与交的运算容易得到：
事件A与B互斥-"I1。
亍
事件A与B对立—---，且"’'o
事件A与B互斥J事件A与B对立
7.事件的差
事件A发生而事件B不发生。
这是一个事件，称为事件A与事件B的差，记为A-B，它
是由属于A而不属于B的那些样本点构成的集合。
显然1--…
8.事件及其运算与集合及其运算之间的关系
概率论中事件之间的关系及其运算与集合论中集合之间的关系与运算是一致的，两者之
间的对应关系如表所示：
符号
概率论
集合论
样本空间
全集
妙
不可能事件
空集
ID
基本事件
集合的兀素
A
事件
子集
A
A的对立事件
A的余集
事件A发生导致
事件B发生
A是B的子集
A=B
A与B两事件相等
集合A与B相等
A\JB
事件A与事件B至少有一个发生
A与B的并集
事件A与事件B同时发生
A与B的交集
A-B
事件A发生而事件B不发生
A与B的差集
事件A与事件B互不相容
A与B没有相同元素
由于随机事件都可以用样本空间-中的某个集合来表示，于是事件间的关系和运算就
可以用集合论的知识来讨论和表示，为了直观，可以用集合的韦恩图来表示事件的各种关系
和运算法则，一般用某个矩形区域表示样本空间，该区域的一个子区域表示某个事件。
各事件的关系运算如图中的图示所示。
各事件的关系运算如图示：
9.完备事件组
n个事件，如果满足下列条件：
（=丄匾；
（2）」「
则称其为完备事件组。
_
显然任何一个事件A与其对立事件二构成完备事件组。
10.事件运算的运算规则：
（1）交换律
（2）结合律|"-』7“
（-4nB>n（7=^n（BAq
（3）分配律」
（-4ns）uc-（jiUQn（^uc）
（4）对偶律■'-H二
例2.从一批产品中抽出一个产品进行不放回试验（即每次取出的产品不再放回，若每次取出的产品再放回，则称为放回试验），事件-丄表示第i次抽到正品（i=l,2,3），用文
字叙述下列事件：
rAiU-^UA
【答疑编号10050207】
解：
"J"」•一表示三次至少有一次抽到正品；
【答疑编号10050208】
解：
J表示三次抽到的都是正品；
3"石石U石石U石石
【答疑编号10050209】
解：
二4“〜二〜比止;表示三次中至少有两次抽到次品；
羊妬薦石UA血石U瓦石咼
【答疑编号10050210】
解:
■■■■■■'J丄」」「丄一…表示三次中恰有一次抽到正品。
例3.从一批产品中抽出一个产品进行不放回试验（即每次取出的产品不再放回，若每
次取出的产品再放回，则称为放回试验），事件「表示第i次抽到正品（合格品i=1,2,3），
试用丄弋弋表示下列事件：
「三次都抽到次品；
【答疑编号10050211】
解：
三次都抽到次品，即，这三个事件同时发生，表示为
■-三次中至少有两次抽到正品;
【答疑编号10050212]
:
），第一次
，这三个事件至少有
解：
三次中至少有两次抽到正品，意味着第一次和第二次抽到正品（和第三次抽到正品（’〔"-），第二次和第三次抽到正品（丄’=）个发生，表示为2-5；
-三次中只有一次抽到正品；
【答疑编号10050213]
解：
三次中只有一次抽到正品，即恰有一次抽到正品。
意味着抽到的三个产品中只有个是正品，而其他两个是次品，故可以表示为'J■-1'I'■；
'三次中至多有一次抽到正品。
【答疑编号10050214]
解：
三次中至多有一次抽到正品，意味着三次中没有抽到正品（即全是次品）或只有-
次抽到正品，故可以表示为•［丄丄门丄鼻「。
例4.选择题
（1）设AB、C、是三个事件，那么AB、C中恰有两个事件发生的事表示为（）
A.A+B+C
B.ABC+^£C+ABC
CA+E+C
D.1BC+AEC+ABC
【答疑编号10050215】
［答］D
（2）设A,B为两事件，则下列等式成立的是（）。
A.A+A+B
B.75=AB
C.A+S=S+AS
DA+5™5+AB
【答疑编号10050216】
［答］C
（3）甲、乙二人射击，A、B分别表示甲、乙射中目标的事件，人'表示（）
A.二人都没射中
B.至少有一人没射中
C.二人都射中
D.至少有一人射中
【答疑编号10050217】
［答］B
第二节事件的概率
为事件A发生的频数，比值
"为事件A发生的频率，记作•一，即_o
一、概率的统计定义
1.频数与频率定义：
在相同条件下进行
n次重复试验，如果事件
A发生了k次，则称k
例如，历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验。
如下表所示:
试验者
掷币次数n
正面出现次数k
正面出现频率k/n
德•摩根
2048
1061
0.5181
蒲丰
4040
2048
0.5069
皮尔逊
12000
6019
0.5016
皮尔逊
24000
12012
0.5005
维尼
30000
14994
0.4998
从上表可以看出，当试验次数逐渐增多时，正面出现的频率值是稳定的，它在0.5附近
摆动。
2.概率的统计定义
定义：
在相同条件下，重复进行n次试验，事件A发生的频率稳定地在某一常数p附近
摆动，而且一般说来，n愈大，摆动的幅度愈小，则称常数p为事件A发生的概率，记作
P（A）=p
二、概率的古典定义
1.古典概型
如果试验具有如下主要特征：
（1）（有限性）每次试验只有有限个可能试验结果，即样本空间所包含的样本点的个数是有限多个。
（2）（等可能性）每次试验中，每个基本事件发生的可能性完全相同。
具有以上两个特征的试验称为古典概型。
2.概率的古典定义
定义：
在古典概型中，若样本空间所包含的基本事件总数为n事件a包含的基本事件
只辺）=—
数为m则事件a发生的概率为'■。
例1.掷两枚均匀的硬币，求出现“一正一反”的概率。
【答疑编号10050301】
［解析］基本事件总数为■-'"-
Q=｛（正，反），（反，正），（正，正），（反，反）｝设A：
“出现一正一反”，m=2
（A）
35
（B）
5
36
（C）
1
6
（D）
7
例2.任意抛掷两粒均匀的骰子，出现的点数之和为8点的概率为（）
35
【答疑编号10050302】
［解析］任意抛掷两粒均匀骰子的试验，是可重复元素的排列，其基本事件总数为
:
-.r个，即
123456
1
1,1
1,
2
1,
3
1,
4
1,
5
1,
6
2
2,1
2,
2
2,
3
2,
4
2,
5
2,
6
3
3,1
3,
2
3,
3
3,
4
3,
5
3,
6
4
4,1
4,
2
4,
3
4,
4
4,
5
4,
6
5
5,1
5,
2
5,
3
5,
4
5,
5
5,
6
6
6,1
6,
2
6,
3
6,
4
6,
5
6,
6
每一个基本事件发生的可能性是相同的，其中出现的点数之和为8点的基本事件为
故选（B）。
个，设A:
“出现的点数之和为8点”，则设X:
“两粒骰子出现的点数之和”，则
k
2
3
4
5
6
7
8
9
ioH
11
12
m
1
2
3
4
5
5
4
3
2
1
P{X=k）
%6
%6
kJ
三、概率的基本性质与运算法则
性质1.0特别地，P（①）=0,P（Q）=1
性质2.若二—二，则P（B-A）=P（B）-P（A）
性质3.（加法公式）.对任意事件A,B,有P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）。
推论1.若事件A,B互不相容（互斥），则P（A+B）=P（A）+P（B）
推论2.对任一事件A,有'…-
推论3.对任意事件A,B,C,有P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）
:
05.10］已知事件A的事件P（A）=0.6，则A的对立事件A的概率’。
【答疑编号10050303】
例3.袋中装有4只白球，2只红球，从袋中任取球两次，每次取1只，分两种情况
（1）
有放回抽取；
（2）无放回抽取
在以上两种情况下，求下列事件的概率
1取到2只白球；
【答疑编号10050304】
2取到2只颜色相同的球；
【答疑编号10050305】
3取到的2只球中至少有1只白球。
【答疑编号10050306】
［解析］设A:
“取到2只白球”，
B:
“取到2只红球”，
C:
“取到的2只球中至少有1只白球”。
（1）有放回抽取
66359
415
2P（A+B）=P（_A）+jP（5）=-+l=-
999
—|2
3尹（0=卩（0）=1—尸
（2）无放回抽取
12
302
30
20&=巴=2_=[
基本事件总数••1L,事件A包含的基本事件数m=2!
=2，则■
故选Co
例5•中国电脑体育彩票（36选7）中奖概率如下表
【答疑编号10050308】
第三节条件概率、乘法公式、事件的独立性
一、条件概率
定义1:
设有事件A,B,且P（B）>0,称
P（A\^）=
=P⑧
类似地，如果P（A）>0，则事件B对事件A的条件概率为
p⑷
例1.同时掷两颗均匀的骰子，在出现的点数之和为7点的前堤下，有一颗骰子为1点
的概率是多少。
【答疑编号10050401】
［解析］设A:
"点数之和为7点”，B:
"其中一颗为1点”。
事件A:
{（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）}
事件AB:
{（1,6）,（6,1）}、21
P（B|虫）=—«■—
5
解法1:
3
解法2:
k^）-4-7
P（AB）
21
=?
=18
丄
（I
d
例2.设盒中有10个木质球，6个玻璃球，木质球有3个为红色，7个为蓝色
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