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概率论论文
概率论与数理统计论文
——随机变量的数字特征
概率论与我们的日常生活密切联系且相互渗透，如理财问题，工作问题，保险问题彩票中奖等。
概率论作为高等学校的一门重要的数学基础课，它应用于各个学科，如天文学、经济学、金融学以及其他一些交叉学科。
概率论思维是从属一般思维的，它是人脑和概率论研究交互作用并按照一般思维规律认识概率论内容的内在理性活动。
概率论思维品质是主体的思维活动对概率论内容理解和掌握的程度或水平，是衡量主题的概率论思维发展水平的重要标志。
下面我要讨论是概率论与数理统计中的随机变量的数字特征。
在学习中我们知道：
随机变量的分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律性，但在许多实际问题中，要精确确定一个随机变量的分布往往很困难；另一个方面，有些问题也无需知道随机变量的精确分布，只要知道该随机变量的某些特征即可。
随机变量的数字特征是与随机变量有关的某些数值，这些数值能够描述该随机变量在某些方面的特征；并且，很多重要分布中的参数都与数字特征有关。
因此，随机变量的数字特征在概率论与数理统计中占有重要地位。
在实际生活中，我们都存在着随机变量的数字特征。
就说说在高中时我们要考的英语，分析某班学生的期末成绩英语水平时，只要计算该班的平均成绩和计算我们专业每位同学的考试成绩与月考成绩偏离大小，便可以对该班学生英语水平做出比较客观的判断，这种能表示随机变量某些方面特征的数就是随机变量的数字特征。
另外我们还注意到许多的重要分布东苑会含1到3个参数，而这些参数都与数字特征重合或关系密切，因此只要知道分布的类型，通过数字特征就能完全确定分布函数。
由此可见，随机变量的数字特征的研究具有理论上和实际上的重要意义。
在第一节中我们学习了，随机变量的数学期望。
数学期望的定义：
设离散型随机变量X的分布律为
若级数
绝对收敛，则称级数
的和为随机变量X的数学期望，记为
。
即
设连续型随机变量X的概率密度为
若积分
绝对收敛，则称积分
的值为随机变量X的数学期望。
让我们看看生活中的数学期望吧。
还有一年多我们就要毕业了，就业中我们会遇到各种各样的问题。
在我们投出简历同时收到几家公司的面试，我们就要选择哪家公司对我们来说机会比较大，还有工资，福利等问题。
通过概率论中的数学期望让我们做出更好的选择。
下面我们看一个例子吧。
设想某人在求职过程中得到了两个公司的面试通知，假定每个公司有三种不同的职位:
极好的,工资4万;好的,工资3万;一般的,工资2.5万。
估计能得到这些职位的概率为0.2、0.3、0.4，有0.1的可能得不到任何职位。
由于每家公司都要求在面试时表态接受或拒绝所提供职位，那么，应遵循什么策略应答呢？
极端的情况是很好处理的，如提供极好的职位或没工作，当然不用做决定了。
对于其他情况，我们的方案是，采取期望受益最大的原则。
先考虑现在进行的是最后一次面试，工资的数学期望值为:
E（A1）=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+0×0.1=2.7万。
那么在进行第一次面试时，我们可以认为，如果接受一般的值位，期望工资为2.5万，但若放弃（可到下一家公司碰运气），期望工资为2.7万，因此可选择只接受极好的和好的职位。
这一策略下工资总的期望 如果此人接到了三份这样的面试通知,又应如何决策呢？
最后一次面试,工资的期望值仍为2.7万。
第二次面试的期望值可由下列数据求知:
极好的职位，工资4万;好的，工资3万；一般的，工资2.5万;没工作（接受第三次面试），2.7万。
期望值为:
E（A2）=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+2.7×0.1=3.05万。
这样，对于三次面试应采取的行动是：
第一次只接受极好的职位，否则进行第二次面试；第二次面试可接受极好的和好的职位，否则进行第三次面试；第三次面试则接受任何可能提供的职位。
这一策略下工资总的期望值为4×0.2+3.05×0.8=3.24万。
故此在求职时收到多份面试通知时，应用期望受益最大的原则不仅提高就业机会，同时可提高工资的期望值。
多年以后我们有了一定经济基础，或富或贫。
但理财是我们将来避免不了的问题。
也许你会选择存入银行，还有可能将钱投入股市等。
到底怎样选择才能让我们的资金收益最大呢？
希望你能记起，那些年我们一起学过的概率论与数理统计。
它帮助人们在复杂的情况下从可能采取的方案中做出选择和决定。
实施某种方案所产生的盈利值及各影响因素发生的概率,则可以比较各个方案的期望盈利，从而选择其中期望盈利最高的为最佳方案
假设某人用10万元进行为期一年的投资，有两种投资方案：
一是购买股票;二是存入银行获取利息。
买股票的收益取决于经济形势，若经济形势好可获利4万元，形势中等可获利1万元，形势不好要损失2万元。
如果存入银行，假设利率为8%，可得利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%。
试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大？
比较两种投资方案获利的期望大小：
购买股票的获利期望是E（A1）=4×0.3+1×0.5+（-2）×0.2=1.3（万元）,存入银行的获利期望是E（A2）=0.8（万元），由于E（A1）>E（A2）,所以购买股票的期望收益比存入银行的期望收益大，应采用购买股票的方案。
在这里，投资方案有两种，但经济形势是一个不确定因素,做出选择的根据必须是数学期望高的方案。
数学期望具有广泛的应用价值。
实践证明当风险决策问题较为复杂时，决策者在保持自身判断的条件下处理大量信息的能力将减弱，在这种情况下，风险决策的分析方法可为决策者提供强有力的科学工具，以帮助决策者作出决策，但不能代替决策者进行决策。
因为在现实生活中的风险决策还会受到诸多因素的影响，决策者的心理因素，社会上的诸多因素等，人们还需综合各方面的因素作出更加合理的决断。
下面我们来看看彩票吧！
曾经的我在报纸上看到，某某市某某人中了一等奖。
那是我想着某一天有一块金砖从天而将，正好掉到我家里。
可惜一直没有等到那一天地到来。
我想社会中像我这样做梦的人也会挺多吧。
现在我们学了概率论与数理统计，让我们看看彩票给我们带来的数学期望吧。
设每张福利彩票售价5元，各有一个兑奖号。
每售出100万张设一个开奖组，用摇奖器当众摇出一个6位数的中奖号码（可以认为从000000到999999的每个数等可能出现），兑奖规则如下：
如果兑奖号与中奖号的最后一位相同者获六等奖，奖金10元（中奖概率为0.1）；兑奖号与中奖号的最后二位相同者获五等奖，奖金50元（中奖概率为0.01）；兑奖号与中奖号的最后三位相同者获四等奖,奖金500元（中奖概率为0.001）;兑奖号与中奖号的最后四位相同者获三等奖,奖金5000元（中奖概率为0.0001）；兑奖号与中奖号的最后五位相同者获二等奖，奖金50000元（中奖概率为0.00001）;兑奖号与中奖号全部相同者获一等奖，奖金500000元（中奖概率为0.000001）。
另外规定，只领取其中最高额的奖金，试求每张彩票的平均所得。
所以彩民的每张彩票的售价数学期望所得为:
Eζ=10*0.1+50*0.01+500*0.001+5000*0.0001+50000*0.00001+500000*0.000001=3.5
那么，一个开奖组（100万张）可将所筹得的500万元中的350万元以奖金形式返还给彩民，其余150万元则可用于福利事业及管理费用。
因此，彩票中奖与否虽然是随机的，但一种彩票的期望所得是可以预先算出的，计算期望所得也是设计一种彩票的基础。
3.2还有一种玩法和设奖方法：
彩票的玩法比较简单，2元买一注，每一注填写一张彩票，每一张彩票由一个6位数字和一个特别号码组成，每位数字均可填写0、1、……、9这10个数字中的一个。
每期设六个奖项，由彩票中心随机开出一个奖号--一个6位数号码另加一个特别号码。
中奖号码情况如下所示（假设一等奖号码是123456，特别号码是7）：
奖级 中奖号码 每注奖金
特等奖 123456+7 不一定
一等奖 123456 不一定
二等奖12345△、△23456 不一定
三等奖1234△△、△2345△、△△3456 300元
四等奖123△△△，△234△△、△△345△、△△△456 20元
五等奖12△△△△、△23△△△、△△34△△、△△△45△、△△△△56 5元
中奖概率:
以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概率：
特等奖P0=1/10000000=0.0000001
一等奖P1=1/1000000=0.000001
二等奖P2=20/1000000=0.00002
三等奖P3=300/1000000=0.0003
四等奖P4=4000/1000000=0.004
五等奖P5=50000/1000000=0.05
合起来，每一注总的中奖概率为：
P=P0+P1+P2+P3+P4+P5=0.0543211
这就是说每1000注彩票约有54注中奖（包括五等奖到特等奖）
彩票中奖的期望值:
从理论上讲彩票奖金的返还率50%，所以每一注彩票的期望值应该是1元。
现在，我们来实际计算一下，看是否如此。
体育彩票各奖级的概率、奖金数额列如下：
奖级 中奖概率 每注奖金
特等奖00000001 2500000（元）
一等奖0000001 50000（元）
二等奖000002 5000（元）
三等奖00003 300（元）
四等奖0004 20（元）
五等奖005 5（元）
E=0.0000001×2500000+0.000001×50000+0.0002×5000+0.0003×300+0.004×20+0.05×5≈0.82（元）
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