角度问题.docx

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角度问题

角度问题

1.已知以AC为直径的⊙O与BC相切于点C,连接AB交⊙O于点D,过点D作⊙O的切线,交BC于点E.

（Ⅰ）如图①,若∠ACD=20°,求∠DEC的大小;

（Ⅱ）如图②,连接OD,若四边形OCED是正方形,求

∠ABC的大小.

第1题图

解:

（Ⅰ）连接OD,如解图,

∵AC是⊙O的直径,DE,BC是⊙O的切线,

∴∠EDO=∠ACE=90°,

∵OD=OC,

∴∠ODC=∠OCD=20°,

∴∠DOC=140°,

∴∠DEC=40°;

第1题解图

（Ⅱ）如图②,∵四边形ODEC是正方形,

∴DE=CE,∠DEC=90°,

∴∠DCE=45°,

∵AC是⊙O的直径,

∴∠BDC=∠ADC=90°,

∴∠ABC=45°.

2.已知,在⊙O中,AB是⊙O的直径,点C、P在AB的两侧,AC=

AB,连接CP,BP.

（Ⅰ）如图①,若CP经过圆心,求∠P的大小;

（Ⅱ）如图②,点D是PB上一点,CD⊥PB,若CP⊥AB,求∠BCD的大小.

第2题图

解:

（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=90°,

∵AC=

AB,

∴∠ABC=30°,

∴∠A=90°－∠ABC=60°,

∴∠P=∠A=60°;

（Ⅱ）∵AB是⊙O的直径,AC=

AB,

∴∠A=60°,

∴∠BPC=∠A=60°,

∵CD⊥PB,

∴∠PCD=90°－∠BPC=30°,

∵CP⊥AB,AB是⊙O的直径,

∴

∴BC=BP,

∴∠P=∠BCP=60°,

∴∠BCD=∠BCP－∠PCD=60°－30°=30°.

3.如图①,在△ABC中,点D在边BC上,∠ABC:

∠ACB:

∠ADB=1:

2:

3,⊙O是△ABD的外接圆.

（Ⅰ）求证:

AC是⊙O的切线;

（Ⅱ）当BD是⊙O的直径时（如图②）,求∠CAD的度数.

第3题图

（Ⅰ）证明:

如解图,连接OA、OD,设∠ABD=x,

∵∠ABC:

∠ACB:

∠ADB=1:

2:

3,

∴∠ADB=3x,∠ACB=2x,

∴∠DAC=∠ADB－∠ACB=x,∠AOD=2∠ABC=2x,

∴∠OAD=

=90°－x,

∴∠OAC=90°－x＋x=90°,

∴OA⊥AC,

∴AC是⊙O的切线;

（Ⅱ）解:

∵BD是⊙O的直径,

∴∠BAD=90°,

∴∠ABC＋∠ADB=90°,

∵∠ABC:

∠ACB:

∠ADB=1:

2:

3,

∴4∠ABC=90°,

∴∠ABC=22.5°,

∴∠ADB=67.5°,∠ACB=45°,

∴∠CAD=∠ADB－∠ACB=22.5°.

第3题解图

4.如图,点O在边长为6

的正方形ABCD的对角线AC上,以O为圆心OA为半径的⊙O交AB于点E.

（Ⅰ）⊙O过点E的切线与BC交于点F,当0＜OA＜6时,求∠BFE的度数;

（Ⅱ）设⊙O与AB的延长线交于点M,⊙O过点M的切线交BC的延长线于点N,当6＜OA＜12时,利用备用图作出图形,求∠BNM的度数.

解:

（Ⅰ）连接OE,如解图①,

∵四边形ABCD为正方形,

∴∠2=45°,

∵OE=OA,

∴∠1=∠2=45°,

∵EF为⊙O的切线,

∴OE⊥EF,

∴∠OEF=90°,

∴∠BEF=45°,

∵∠B=90°,

∴∠BFE=45°;

（Ⅱ）连接OM,如解图②,

∵OM=OA,

∴∠OMA=∠OAM=45°,

∵MN为⊙O的切线,∴OM⊥MN,

∴∠OMN=90°,

∴∠BMN=45°,

∵∠MBN=90°,

∴∠BNM=45°.

图①图②

第4题解图

5.四边形ABCD内接于⊙O,AC为其中一条对角线.

（Ⅰ）如图①,若∠BAD=70°,BC=CD,求∠BAC的大小;

（Ⅱ）如图②,若AD经过圆心O,连接OC,AB=BC,OC∥AB,求∠OCD的大小.

第5题图

解:

（Ⅰ）∵四边形ABCD内接于⊙O,BC=CD,

∴∠BAC=∠CAD,

∵∠BAD=70°,

∴∠BAC=∠CAD=35°;

（Ⅱ）连接BD,如解图,

∵AB=BC,

∴∠BAC=∠BCA,

∵OC∥AB,

∴∠BAC=∠OCA,

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA,

∵∠ADB=∠ACB,

∴∠BAC=∠CAO=∠ADB=∠ACO,

∵AD是⊙O的直径,

∴∠ABD=∠ACD=90°,

∴∠ADB＋∠BAD=90°,即3∠ACO=90°,

∴∠ACO=30°,

∴∠OCD=∠ACD－∠ACO=90°－30°=60°.

第5题解图

6.在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E.

（Ⅰ）如图①,过点D作DF⊥AC,垂足为F,求证:

直线DF与⊙O相切;

（Ⅱ）如图②,过点B作⊙O的切线,与AC的延长线交于点G,若∠BAC=35°,求∠CBG的大小.

第6题图

解:

（Ⅰ）如解图①,连接OD,∵AB=AC,

∴∠B=∠C,

∵OD=OB,

∴∠B=∠ODB,

∴∠C=∠ODB,

∴OD∥AC.

∴∠CFD=∠FDO,

∵∠CFD=90°,

∴∠FDO=90°,

∴DF⊥OD,

∵OD为⊙O的半径,

∴直线DF与⊙O相切;

（Ⅱ）如解图②,连接AD,

∵AB为⊙O的直径,

∴∠ADB=90°,

∴AD⊥BC,

∵AB=AC,∴AD平分∠CAB,

∵∠BAC=35°,

∴∠DAB=17.5°,

∴∠CBA=90°－∠DAB=90°－17.5°=72.5°,

∵BG与⊙O相切,

∴∠ABG=90°,

∴∠CBG=90°－∠CBA=90°－72.5°=17.5°.

图①图②

第6题解图

7.在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,DF为⊙O的切线,

（Ⅰ）如图①,求∠DFC的度数;

（Ⅱ）如图②,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点G,连接CG,当△ABC为等边三角形时,求∠AGC的度数.

第7题图

解:

（Ⅰ）连接AD,OD,如解图,

∵AB是⊙O的直径,

∴AD⊥BC.

∵AB=AC,

∴BD=DC,

又∵AO=BO,

∴OD是△ABC的中位线,

∴OD∥AC.

∵DF是⊙O的切线,

∴DF⊥OD,

∴DF⊥AC,

∴∠DFC=90°;

（Ⅱ）∵AB是⊙O的直径,∴BG⊥AC.

∵△ABC是等边三角形,

∴BG是AC的垂直平分线,

∴GA=GC.

又∵AG∥BC,∠ACB=60°,

∴∠CAG=∠ACB=60°.

∴△ACG是等边三角形.

∴∠AGC=60°.

第7题解图

8.已知AB是半圆O的直径,点C是半圆O上的动点,点D是线段AB延长线上的动点,在运动过程中,保持CD=OA.

（Ⅰ）当直线CD与半圆O相切时（如图①）,求∠ODC的度数;

（Ⅱ）当直线CD与半圆O相交时（如图②）,设另一交点为E,连接AE,若AE∥OC,求∠ODC的度数.

第8题图

解:

（Ⅰ）如解图①,连接OC,

∵OC=OA,CD=OA,

∴OC=CD,

∴∠ODC=∠COD,

∵CD是⊙O的切线,

∴∠OCD=90°,

∴∠ODC=45°;

（Ⅱ）如解图②,连接OE.

∵CD=OA,∴CD=OC=OE=OA,

∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,

∵AE∥OC,

∴∠2=∠3.

设∠ODC=∠1=x,则∠2=∠3=∠4=x.

又∵∠6是△COD的外角,

∴∠5=∠6=∠1＋∠2=2x.

∵OE=OC,∴∠5=∠6=2x.

∵AE∥OC,

∴∠4＋∠5＋∠6=180°,即:

x＋2x＋2x=180°,

∴x=36°.

∴∠ODC=36°.

第8题解图

9.如图①,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF和⊙O相切于点C,AD⊥EF,垂足为D.

（Ⅰ）求证:

∠DAC=∠BAC;

（Ⅱ）若直径AB=4,AD=3,试求∠BAC的度数.

第9题图

（Ⅰ）证明:

如解图,连接OC,

则OC=OA,

∴∠BAC=∠OCA,

∵EF切⊙O于点C,

∴OC⊥EF,

∵AD⊥EF,

∴OC∥AD,

∴∠OCA=∠DAC,

∴∠DAC=∠BAC;

（Ⅱ）解:

如解图,连接BC,

∵AB是⊙O的直径,AD⊥EF,

∴∠ACB=∠ADC=90°,

由（Ⅰ）知∠DAC=∠BAC,

∴△ADC∽△ACB,

∴AC2=AD•AB=3×4=12,

∴AC=2

在Rt△ABC中,cos∠BAC=

∴∠BAC=30° . 

第9题解图

10.已知⊙O是△ABC的外接圆,过点A作⊙O的切线,与CO的延长线交于点P,CP与⊙O交于点D.

（Ⅰ）如图①,若∠P=38°,求∠B的大小;

（Ⅱ）如图②,若AP∥BC,∠B=72°,求∠BAC的大小.

第10题图

解:

（Ⅰ）如解图①,连接OA,

∵PA与⊙O与相切,

∴∠PAO=90°,

∴∠POA=90°－∠P=90°－38°=52°,

∴∠AOC=180°－∠POA=180°－52°=128°,

∴∠B=

∠AOC=64°;

（Ⅱ）如解图②,连接BD.

∵DC为⊙O的直径,

∴∠DBC=90°,

∴∠ABD=90°－∠ABC=90°－72°=18°,

∵∠ABD=∠ACD,

∴∠ACD=18°,

∴∠AOD=2∠ACD=36°,

又∵∠PAO=90°,

∴∠P=54°,

∵AP∥BC,

∴∠PCB=∠P=54°,

∴∠CDB=90°－54°=36°,

∴∠BAC=∠BDC=36°.

图①图②

第10题解图

11.已知⊙O中,AC为直径,DA、DB分别切⊙O于点A、B.

（Ⅰ）如图①,若∠D=50°,求∠C的大小;

（Ⅱ）如图②,过点B作BE⊥AC于点F,交⊙O于点E,若BD=BE,求∠C的大小.

第11题解图

解:

（Ⅰ）如解图①,连接AB,

∵AD,BD为⊙O的切线,

∴AD=BD,

∴∠DAB=∠DBA,

∵∠D=50°,

∴∠BAD=65°,

∵AD与⊙O相切,

∴AD⊥AC,

∴∠DAC为直角,

∴∠CAB=25°,

∵AC为直径,

∴∠ABC=90°,

∴∠C=90°－25°=65°;

（Ⅱ）如解图②,连接AB、AE,

∵直径AC垂直于弦BE,

∴A为优弧

的中点,

∴AB=AE,

∵AD为圆O的切线,

∴AD⊥AC,

又∵BE⊥AC,

∴AD∥BE,

∵BD=AD,BD=BE,

∴BE=AD,

∴四边形ADBE为平行四边形,

又∵BD=BE,

∴四边形ADBE为菱形,∴BE=AE,

∴AB=AE=BE,即△ABE为等边三角形,

∴∠E=60°,

∴∠C=∠E=60°.

图①图②

第11题解图