第七章汽车悬架控制系统动力学.docx

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第七章汽车悬架控制系统动力学

第七章汽车悬架控制系统动力学

7.1概述

悬架系统是指车身与车轴之间连接的所有组合体零件的总称。

一般由弹性元件、减振装置和导向机构组成，有些还装有横向稳定杆、缓冲块等。

悬架系统的基本功能可以归纳为以下几条：

1.缓和路而不平的冲击，使汽车行驶平顺、乘坐舒适：

2.车轮跳动时使车轮定位参数变化小，保证良好的操纵稳左性：

3.使车轮与地而有良好附着性，较小车轮动载变化，以保证良好的安全性。

悬架按控制力学的角度可以分为被动悬架和主动悬架两大类。

彼动悬架即常规悬架，按导向机构型式又可分为非独立悬架、独立悬架、复合式悬架（半刚性悬架）三种⑸。

主动悬架可分为全主动式悬架、半主动悬架、主动阻尼式悬架几种。

下而首先介绍一下各种被动悬架的特点，主动悬架将在本章第4节中详细介绍。

非独立悬架的特点是左右车轮用一根刚性轴连接起来，并通过悬架与车身（或车架）相连。

其典型代表是纵垃板簧式悬架。

苴优点是结构简单，制造成本低，维修方便：

其缺点是非簧载质量大，所需空间大，而且容易产生陀螺效应，引起前轮摆振。

独立悬架的特点是左右车轮不连在一根车轴上，单独通过悬架与车身（或车架）相连，每个车轮能独立上下运动。

独立悬架有双横臂式、麦克弗逊式、纵臂式、斜臂式等几种。

英优点是非簧载质量小，不易产生陀螺效应，发动机、行李箱布置空间大,而且越野性好：

缺点是结构复杂，成本高。

图7-1复合式悬架示图

复合式悬架由焊在一根横梁上的2根纵向摆臂组成（见图9-1）。

这根横梁承受所有的垂直力和侧向力产生的力矩，并且必须可扭转，同时起到横向稳左杆的作用K优点是整个车轴便于拆装，行李箱空间大，车轮上下跳动时，前朿、轮距几乎不产生

144/34

变化等：

英缺点是侧倾中心低，易产生过多转向（利用轨迹校正轴承加以克服）。

根据汽车整车性能对悬架的要求，通常用以下三个参数来评价悬架的优劣，即：

车身垂直加速度（舒适性）：

车轮相对动载（安全性）；

弹簧行程（弹簧寿命）。

在设il•时，这三个量应尽可能小，但在客观上存在矛盾，特别是对常规的被动悬架而刍

no

图9-2示岀了车身加速度Za车轮相对动载Fd和弹簧行程（Z八-Zr）与阻尼比（相对阻尼系数）D八之间的关系，图中曲线走向表示，只是弹簧行程（Z,.、-Zr）曲线是随阻尼比单调变化，阻尼比愈大，所要求的弹簧行程愈小，相反，对于车身加速度和车轮动载而言，可找到一个最佳阻尼比值。

然而对车身加速度和车轮动载的最佳阻尼比值也是不同的，前者为0.18,后者为0.4以上，故设计人员只能从中采取拆衷方案。

v=25m./s

图7-2Z.4、你和（Z”一Zr）与阴尼比关系

要比较好的解决上述矛盾，采用主动式悬架是理想的途径，所以下而讨论用现代控制理论为基础的主动式悬架的动力学问题。

7.2线性控制概论

在本节中将简要介绍一下线性控制理论知识，以作为后续几肖的基础。

我们知道,经典控制理论常用传递函数来分析控制系统的动态特性。

传递函数G（S）可

用下式表示:

经典控制理论的局限性就在于，它要求初始条件必须为零；并只能适用于单输入、单输岀的线性左常系统，只能展现给定输入的系统输岀，而不能提供系统内部状态有关的信息、状态，有时系统输出是稳左的，但其内部的某些参数可能有超出额左值的趋势。

由此可见，我们需要一种描述系统的更一般的数学表达式，与输出一道给出沿信号流的一些确左点上系统变量的状态信息。

上述想法导致了状态变量法的产生，它是一种直接的时域法，并为现代控制理论和系统最优化打下基础。

下而介绍状态变量法的一些基本概念。

状态系统的状态就是指系统过去、现在和将来的状况。

状态变量系统的状态变量是指足以完全表征系统运动的最小个数的一组变量。

一个用n阶微分方程描述的系统，就有几个独立变量：

^（0,心（"…，xn（t）o当这n个独立变量的时间响应都求得时，则系统的运动状态也就完全被揭示。

因此，系统的状态变量就是几阶系统的几个独立变量。

而对于同一个系统，状态变量的选取并不是唯一的，关键是这些变量要相互独立，而且其个数等于微分方程的阶数。

由于微分方程的阶数唯一取决于一般物理系统（如弹簧-质量-阻尼系统）中独立储能元件的个数，所以状态变量的个数就应等于系统独立储能元件的个数。

状态向量如果几个状态变量用召（小心（"心（0表示，以这些状态变量作为分虽:

的向量X（r）就称为状态向量。

记作

“（/）-

X（/）=2.»或X7""）=[/]（/）,x2（^）»■•xn（t）]

儿⑴一

状态空间状态向量的所有可能值的集合称为状态空间。

或者说，由心轴、x2轴、……、心轴所组成的n维空间就称为状态空间。

在特左时刻上，状态向在状态空间中就是一个点，而且系统中的任一状态都可用状态空间中的一个点（即状态空间的某一状态向量）来表示。

状态方程描述系统状态变量与系统输入间关系的一阶微分方程组称为状态方程。

输岀方程在指立系统输出的情况下，该输岀与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。

状态空间表达式状态方程和输出方程就构成对一个系统动态的完整描述，称为系统的状态空间表达式：

也称为系统的动态方程。

求解动力学系统的一般步骤可以归纳为：

（1）根据实际系统的机理写出其运动微分方程：

（2）选择适当的状态变量，把微分方程转化为系统的状态方程（矩阵形式）：

（3）利用计算机求解。

7.2.1线性系统的状态方程

7.2.1.1多输入-多输岀系统

设系统有r个输入，m个输岀，如图9-3所示，该系统要用如下的微分方程描述：

xi=ailxl+al2x24i/blxn+%卍］+bl2u2+■"+biriir

（7-2）

X2=^b\Xl+«22X2U2nXn+^21W1+”22“2+…+

X”=5內+。

”2勺+…+V”+仇"+仇2“2+…+仇川「系统的输出方程为

X=C,內+cl2x2+…+C|”£+J,“+d12u2+…+d［rur

（7-3）

〉‘2=C21X,+C22X2+--+C2nXn+“21©+〃22“2+…+〃2r"r

=5］册+“2兀2+••'+c曲+d”卍|+d”2“2+•'•+

它们也可简写为

（7-4）

X=AX+BU

Y=CX+DU

式中，A=nxn阶系数矩阵（系统状态矩阵）：

B=nx广阶系数矩阵（系统输入矩阵）；

C=mxn阶系数矩阵（系统输出矩阵）；

D=nxr阶系数矩阵（系统直接传递矩阵）。

若系统不存在输入的直接传递，D=0

X——系统的n维状态向戢：

U——r维（输入）控制向量；

Y——系统的n维输出向星。

7.2.1.2单输入一一单输岀系统

（-）不含输入函数导数项的情况

此时，如输人为u（t）,线性立常系统的动态微方程为

（7-5）

严…+3=吩）

式中a。

，心_］均为常数。

在已知输入函数"（f）和初始状态

y（0）,y（0）,…，严（0）

可选取y（/），y（0,…，y（H_,）（0这几个变量作为系统的一组状态变量，并记为

5-1〉

方程（7-5）可化为状态方程:

X]=x=

■

■

X2=X3

Xn-\=XfJ

（7-6）

（7-7）

X=AX+BU

其中

XI

X2

:

x=

■

X=

0

1

0•…

0

0"

0

0

1•…

0

0

:

■

;B=

■

0

0

0・・・

1

0

■一5

一心…

■

丄

A=

U为向量。

系统的输岀方程为

Y=CX

（二）含有输入函数导数项的情况这时系统的运动方程为

（7-8）

+%』曲）+…+®y=仇汕＞+仇,心）+・・・+加

如果选取“y,…，＞2"作为状态变量，则得不到唯一的解，所以，现选用下列状态变量:

“=y_加x2=y_力（）ii一h{ux3=y-Aoh{m-

X\=X2+/?

|W

X2=x3+h2u

（7-9）

而输出或响应方程为

（7-12）

Y=/tlX+h（）U=[\0…0]:

+hQu

A_下面介绍传递矩阵、可控性和可观性等概念。

7.2.2传递矩阵

用矩阵来表示传递函数的数字形式称传递矩阵。

对于一个单输入单输岀的打阶系统。

其动态方程为

（7-13）

X=AX+BU

Y=CX+DU

式中，X（f）是川维状态向量。

假设初始条件为零，对式（9-13）两边逬行变换，就有

SIX（S）=AX（S）+BU（S）

Y（S）=CX（S）+D（/（S）

Y（S）=C[SI一AY1BU（S）+DU（S）

式中/为单位矩阵。

由此得计算传递矩阵的公式

G（S）==C[SI一B+D（7-14）

U（S）

引入传递矩阵后，输出方程可写为

Y（S）=G（S）U（S）

或y（5）={c[SZ-A]"1+D”（S）

其中关键是求出[S/-AV}=呷一卩（7-15）

式中，adj[SI^A]——[SI^A]的伴随矩阵:

|5/—A|——矩阵[57-A]的行列式。

令式（7-15）分母为0,即\S/-A\=O称为系统的特征方程。

而特征方程的根称为矩阵A的特征值，记为2,例如设系统状态方程为

[xil[01阿+卩Op/

卍L。

-2卜」L。

山」

求系统传递矩阵

求adj[SI^A]的时候，先求矩阵余因子

已知

A21==1

州2=一畑=°

转宜得

「S+211.,

adj[Sl-A]=,|S/_A|=S（S+2）_0=S（S+2）

0s

最后可得

rcr十adj[SI-A]「1/S[1/5（5+2川

⑸"1二帀可计。

]/（s+2）」

7.2.3线性定常系统的可控性与可观测性

可控性和可观测性的概念是现代控制工程，特别是最优控制中两个十分重要的概

念。

所谓最优控制，是指对任意给岀的初始状态乳心）求岀一个可能控制的向量"（/）

使该状态转移到向量空间所希望的领域中去，并使性能指标达到最佳，这就涉及到两个问题：

1.状态x（G）是否受控于"（f）?

如果x（f°）不受控于"（f）,就不能实现上述预期

的转移。

2.状态x（r°）能否测出？

如果x（G）能够直接观测岀来，又能否用y（G）来估计x（r0）,如果答案是否圧的，也不能实现上述预期的转移。

所以可控性和可观测性这两个问题是现代控制理论中的首要问题，是系统能否工作的先决条件。

7.2.3.1可控性与可控条件

泄义如果在有限的时间间隔g~"内，可以用一个控制向量M（r）使系统的初始状态双山）转移到任一状态，包括预左的最佳状态，则认为该系统是完全可控的，只要有一个状态变疑不受控于"（/）,则系统就不可控。

图7-4上画出一系统的信号流图可左性研究其是否可控。

该系统包含四个状态，

其中仅有两个受“（f）的影响，即输入只影响状态山和吃，而不影响心和兀4,显然，心和兀是不可控的，因此该系统是不完全可控的，可控性上量确立可用可控性条件

来判断：

图7-4不完全可控系统的信号流图

可控条件设系统状态方程为X+式中A为nX,7阶状态矩阵：

B

为nxr阶输入矩阵；X为n维列向量：

U为r维控制列向量。

则系统的可控条件取决于状态矩阵A和输入矩阵B,如果矩阵R=[BABA2B•…行列式不为零

例1：

已知某系统状态方程如下:

由此可得

R=[B

其行列式H0,系统可控。

7.2.3.2可观测性与可观测条件

左义：

若系统在有限的时间间隔内，根据系统的输出向MK（/）和给立的输入向量

U（t）,能够确左系统的初始状态HG）的每一个分量，则该系统是完全可观测的，只要有一个状态变量不能确左，即系统是不可观测的。

若系统状态方程：

X=AX+BU

Y=CX

若K=[CtAtCt•…（ATr[CT]是非奇异矩阵，就称系统为可观测的例1系统状态方程为

X\

-4

0'

X2

0

-2_

+BU

Y=[\0]x

因此

例2系统状态方程为

r=11\]x

-4

图7-5不完全可观测系统的信号流图

'44'

■f

■8・

__2_2_

丄

-4

atct=

:

detK=“—8=—12H0,可观测

图7-5用系统的信号流图来定性判断其可观测性

图中系统包含四个状态，仅仅两个是可观测舶（坷花）而状态心和勺不管用何种方式都与输出无关，因而系统是不完全可观测的。

7.3线性最优控制的基本概念

最优控制是现代控制理论的一个重要组成部分。

它所研究的中心问题是，怎样选择控制规律才能使控制系统的性能及品质在某种意义上是最优的。

对于确左性系统，研究如何寻求最优控制向量"（/）,使系统性能指标函数一一目标函数丿为最小。

对于我们将要讨论的主动悬架系统及工程中其它很多实际系统其状态方程大多具有线性形式：

（7-16）

X（t）=AX+BU而系统的目标函数也多为二次型。

J=CXT（t）QX（t）dt

式中Q——由加权系数①构成的加权矩阵，其形式为:

对于偏差大的项，加权系数乞取大值，反之则取小值。

一般应对控制向量"（/）加以约束，否则会出现无穷大这样的无意义解。

鉴于已确泄用二次型指标，故加约朿后的性能指标将为

J=-[Xr（t）QX⑴+U7'（/）Rt/（"W（7-17）

2

式中0和均为正左实对称的加权系数矩阵。

在自动控制系统中若选取状态变量和控制变量的二次型函数的积分作为性能指标函数时，这种状态系统最优化问题称为线性系统二次型性能指标的最优控制问题，简称线性二次型问题，由于在汽车中的控制问题大多是线性二次型问题，有的问题也可以化为线性二次型来处理，因此下而将对此作重点介绍，求线性二次型最优控制的解。

设研究的是线性泄常系统，英目标函数为

J=^（XrQX+UTRU）dt（7-18）

式中积分上限写为s,主要考虑过渡过程结束后系统状态保持零系统的状态方程为

X=AX+BU

156/34

第七章汽车悬架控制系统动力学

采用反馈控制，在反馈回路上用F加以控制.其方块图如图9-6所示。

图7-6

控制目标是寻求控制向量使目标函数丿（式9-18）达极小。

二次型指标的控制规律为线性规律，即

t/=-F（r）X（r）（7-19）

式中F——状态反馈矩阵（或称最优反馈矩阵）。

代人系统状态方程，可得

X=AX-BFX

或X=（A-BF）X（7-20）

从上式可知，关键要求F（r）,上式中（A-BF）设为稳立矩阵，最优控制理论中已有

F（t）=R・'B「P（7—21）

而P（假设为正泄实对称矩阵）可由李卡提（Riccati）方程中求出，为使目标函数丿达到极小，必需满足李卡提方程，即

ArP+PA-PBR-'B「P+0=0（7-22）

综上所述，求解最优控制问题的两个基本步骤是：

a.求解李卡提方程（式9-22）,确宅矩阵

b.将矩阵P代人式（9-21）便得到最优反馈矩阵F。

例：

设系统状态方程为测

使U=_FX（t）求最优反馈矩阵F,使目标函数

J=^（XtQX+U1RU）dt达极小

已知加权系数矩阵

由状态方程可知

^22_

考虑P为正定对称矩阵，则P12=P>,,上式改写为

简化后得

并由此得如下三个方程

于是有

x2

7.4悬架参数优化及主动式悬架

在本右中将重点讨论常规（被动）悬架的参数优化并介绍主动式悬架的原理。

7.4.1被动式悬架参数优化

车身垂直加速度值是评价汽车悬架减振特性的主要参数，我们首先就来讨论一下它与路面激励之间的传递关系。

为此，我们对常规悬架系统作如下假设：

1.取1/4汽车作为分析模型：

2.只考虑垂直方向振动；

3.不考虑非线性因素；

4.认为轮胎不离开路而。

这样条件下的分析模型便如图9-7所示。

图中,

M,加分别代表车身与车轮的质量，K,,«分

別代表悬架与轮胎的刚度，C,为悬架阻尼，

f2,九分别表示路而对车轮的垂直作用力、悬架

对车身或车轮的作用力、作用在车身上的垂直干扰图7-7

力，兀，兀分别表示路面、车轴、车身的位移。

第七章汽车悬架控制系统动力学

这样，我们便可写出悬架系统在时域中的动力学方程：

mx\=£一九（7-23）

（7-24）

Mx2=f2-fh（7-25）

f2=（-V1-Xi）C$+Ks（X]-x2）（7-26）

对以上各式进行拉氏变换，得

2X]（S）=F]（S）-F2（S）（7-27）

Fi（S）=K」Xo（S）—X©）]（7-28）

MS2X2（S）=F2（S）-Fh（S）（7-29）

F2（S）=（C,.S+KJ[X|（S）-X2（S）]（7-30）

于是该系统可由图7-8来表示：

下而分別求车身位移与路而激励之间的传递函数和车身位移与车身上干扰力之间的传递函数。

首先求传递函数G20=X2（5）/X0（5）,此时令坊（S）=O,由式（7-29）、（7-30）

可得

MS2X2（S）=F2（S）=（C,S+K$）[X|（S）-X2（S）]

即（MS?

+CsS+KjX2（S）=（C5S+K、）X\（S）

图9-8由此得

（7-31）

X2（S）_CsS+Ks

X}（S）MS2+CxS+Ks

由式（7-27）、（7-28）、（7-30）合并

=K,[X°（S）—X|（S）]—（C,S+K,）[X©）—X,S）]

代人X2（S）整理得

（7-32）

X|（S）_0

X（）（S）-（niS2+K{+CXS+Ks）-（C5S+Ks）2/（MS2+CXS+Ks）

由式（7-31）与式（7-32）便有

G_/（S）_gS+KJ

20-X（〉（S）-（MS2+CtS+Kx）（mS2+K,+CxS+KJ-（CsS+）2

（7-33）

而后求传递函数G2（）=X2（S）/Fh（S）,此时令Xo（S）=O,由式（9-28）

有

Fi（S）=-KtXl（S）

曲2X]（S）=-K,X|（S）—（G・S+K』[X|（S）_X2（S）]

得

X2⑸=恥2+k,+c’s+k、（7_31）

SQ）CR+K,

又MS2X2（S）=（C,.S+K,）[X|（S）-X2（S）]-Fh（S）

得

_X2（5）_mS2+Kt+CsS+Ks

”_Fh（S）_"（mS2+Kr+CXS+Ks）MS2+（mS2+Kt）（C5S+Kx）

下面我们来分析在随机路而输入下悬架参数的优化：

此时，令耳（$）=0

Kc

0：

=厶，为车身固有频率：

£=_二，£为车身阻尼系数:

M2M

吠=丄Qk为轮胎固有频率；竺，“为质咼比。

mm

式（9-33）便可改写成

G_X2（S）_”（2*+°；）

20X。

（S）S4+2^（1+“）S3+&+“亦+e：

）S'+2須：

S+

（7-36）

又有

X2（S）_^X2（S）_

X°（s）一X0（5）"

这样便得到X2（S）=S2G2OXO（S）（7-37）

随机输入用路而（功率）谱可表示为：

S（a））=2^4v-L（7-38）

式中A——路面不平系数：

V——车速。

路而不平系数见表7-1。

表7-1路面不平系数

路而

差路

3级路

2级路

髙速路

A（cm3/周）

1

0.1

0.01

0.001

令s=j®,式（9-38）便可写成

S（-）=2^Av_・一

qjs—s

车身垂直加速度的均方值便可由下式求得⑺

最后得到

式中，相对阻尼系数7=沁。

由式（7-39）我们可以看岀：

1•当M,加不变，即质量比“不变时，降低K、.和可以使车身垂直加速

度均方值元2减小（©；=K,/M）：

2.增大质量比“，即增大M或减小加（”=M加），也可使车身垂直加速度均

2

方值心减小：

（I。

3令茜"便可得到使刃最小的相对阻尼系数:

式中/f—一轮胎静挠度：

A——弹簧静挠度。

此时X2mm=2^4（7-41）

式（7-40）表明，如果人较大（弹簧较软）时，田讪可选得小一些：

如果较大（轮胎

较软）时，Wmin可选得大一些。

例1一轿车有以下参数：

则由式（9-37）,（9-38）得

X2=7920Av

用图9-7的模型还可求出弹簧行程（吃-昴）和车轮动载

Fd=匕（州-心）与悬架参数的关系

（X.-%.）2=2力lv匕上（7-42）

214甲

上式表明，在使用条件（A,v）—泄时，弹簧行程将随阻尼的增大而单调地减少。

车轮动载与地而静载Gc=（M+m）g之比的均方值为

（7-44）

（7-45）

此式表明，当A,「一泄时，使车轮动载最小有一最佳阻尼值，这可由式（7-43）对屮求导数，令—（F^/Fc）2=0可得到地而动载最小的阻尼比为

_1问-1）2

一科（1+“）叭

当然W“mnl与TX2min是不等的，可用下例来说明匚

例2取例一轿车的参数，求Tfmin

已知=fs/f,=18/2.51=7.18“=6.12

=54.6,最小阻尼比TX2nun=0.187

1|（乞-I）'

可见故选取一轿车的最佳W值时要考虑以下两点，如以平顺性为主则要接近TX2nun，当以安全性为主时使屮接近于T,min

以上讨论了被动式悬架参数优化问题，由于英刚度和阻尼不能随频率而调肖，因而即使采用优化方法来设计也只能把其性能改善到一泄的程度。

为了克服常规悬架对英性能改善的限制，性能更加优越的主动悬架和半主动悬架

便应运而生。

目前对主动式悬架的理论研究也已比较成熟。

下面我们就来着重分析一下主动式悬架的原理。

7.4.2主动式悬架工作原理

主动式悬架也可称为“可调悬架”，主要通过各种反馈信息实现悬架刚度和阻尼值的可调，以保证汽车行驶时的舒适性和安全性都很好。

分析主动式悬架的性能，首先要建立数学模型。

a.仅进行垂直振动分析时常采用1/4整车所简化的模型如图7-9所示。

该模型与一般被动式传统悬架系统不同之处在于：

弹性元件和