经济数学典型案例.docx
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经济数学典型案例
经济应用典型问题
1．按照银行规定，某种外币一年期存款的年利率为4.2%，半年期存款的年利率为4.0%，每笔存款到期后，银行自动将其转存为同样期限的存款，设将总数为A单位货币的该种外币存入银行，两年后取出，问存何种期限的存款能有较多的收益，多多少？
解（i）设货币存一年期，则一年后货币总数为：
A1
4.2%
两个后货币总数：
A1
4.2%1
4.2%A1
2
4.2%
1.085764A
（i）设货币存半年期，
则存半年的利率则存半年的利率
：
2.0%
半年后货币总数：
A1
2.0%
一年后货币总数：
A1
2.0%1
2.0%A1
2
2.0%
一年半后货币总数：
A
2
12.0%
12.0%A
12.0%
3
两年后货币总数：
A1
3
2.0%31
2.0%A1
4
2.0%4
1.082432A
比较（i）,（ii）知货币存一年期有较多收益，多0.00333A.
2•某工厂生产某种产品，年产量为X,每台售价250元，当年产量为600台以内时，可
以全部售出，当年产量超过600台时，经广告宣传又可再多售出200台，每台平均广告费20元，生产再多，本年就售不出去了，建立本年的销售总收入R与年产量x的函数关系•
解（i）当0X600时,R250X
（ii）当600x800时，R250x20x600230x1.2104
5
（iii）当x800时，R800g250202001.9610
250x,0x600
故Rx230x1.2104,600x800
5
1.96105,x800
3.某厂生产的手掌游戏机每台可卖110元,固定成本为7500元,可变成本为每台60元.
（1）要卖多少台手掌机,厂家才可保本（收回投资）；
（2）卖掉100台的话,厂家赢利或亏损了多少？
（3）要获得1250元利润,需要卖多少台？
解
（1）设厂家生产的台数为X,则总成本cx750060x
总收益Rx110x，令Rxcx,110x750060x
解得：
x150
故要卖150台，厂家才可保本.
c100R1002500
故卖掉100台的话，厂家亏损2500元
⑶LxRxex
110x750060x50x7500
1250，则50x
75001250，解得x175
故要获得1250元利润，需卖175台.
4•有两家健身俱乐部，第一家每月会费300元，每次健身收费1元，第二家每月会费200元，每次健身收费2元，若只考虑经济因素，你会选择哪一家俱乐部（根据你每月健身次数决定）？
解设每月健身次数为X,
则第一家每月总费用G300x
第二家每月总费用C22002x
令G
C2，则300+x=200+2x,解得：
x=100
当0
x100时，GC2这时选择第二家俱乐部
当x
100时，qC2，这时选择第一家俱乐部
当x
100时，GC2，这时选择任一家俱乐部
5•设某商品的需求函数与供给函数分别为DP色00和SPP10.
P
（1）找出均衡价格，并求此时的供给量与需求量；
（2）在同一坐标中画出供给与需求曲线；
（3）何时供给曲线过P轴，这一点的经济意义是什么？
解
（1）令DPSP，则5600P10，解得：
P80
P
故均衡价格为80,此时供给量与需求量为：
560070
80
⑵
图1-茁（习魁M第召履⑴）编辑版word
（3）令SP0，即P100,P10，故价格P10时，供给曲线过P轴，这一点的经济意义是当价格低于10时，无人供货.
6.某化肥厂生产某产品1000吨，每吨定价为130元，销售量在700吨以内时，按原价出售，超过700吨时超过的部分需打9折出售，请将销售总收益与总销售量的函数关系用数字表达式表出.
解Q为销售量，RQ为总收益。
由题意知y是x的一次函数，故设yaxb
且当x200时，y60；当x210，y59，
60200aba0.1
故有
59210abb80
故y0.1x80故租金为x时，饭店房租收入为：
22Rxxy0.1x280x0.1x40016000
故租金为400元/套时，房租收入最大，为16000元，当x400时，y40，此时饭店将空出20套高级客房.
（图形略）
7.收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购100台售价就降低1元，但最低价为每台75元：
（1）将每台的实际售价P表示为订购量x的函数；
（2）将厂方所获的利润L表示成订购量x的函数；
（3）某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？
解
（1）当0x100时，Px90
当x100时，由题意P是x的一次函数
设P
axb，
当x100时，
P90，
当x
200时，P
90100a
b
a
0.01
故P
故
，解得：
910.01x
8
9200a
b
b
91
但P
75，故
910.01x
75，
即x1
600
故当
100x
1600时，
P91
0.01x
当x
1600时，
P75
90,
0x
100
故P
910.
01x,100
x16
00
75,
x1600
⑵（i）当0x100时，P90，收益RPx90x，成本C60x故利润LRC90x60x30x
（ii）当100x1600时，P910.01x，收益R910.01xx，成本C60x
故利润
L
RC
91
0.01xx60x
（iii）当
x
1600时，
P
75，收益R75x，成本C60x
故利润
L
RC
75x
60x15x
30x,
0x100
故利润
L
910.01x
x60x,100x1600
15x,
x1600
⑶当x1000时，L910.01g!
000g!
00060g!
00021000
故厂方可获21000元的利润.
8.—种汽车出厂价45000元，使用后它的价值按年降价率值y（元）与使用时间t（年）的函数关系.
1
解使用一年的汽车的价值y450001-
3
1
-的标准贬值，试求此车的价
3
11
使用两年的汽车的价值y450001—1—
33
2
1
450001-
3
tt
12
故使用t年的汽车的价值y450001—45000-
33
9.某大楼有50间办公室出租，若定价每间每月租金120元，则可全部租出，租出的办公室每月需由房主负担维修费10元，若每月租金每提高一个5元，将空出一间办公室，试求房主所获得利润与闲置办公室的间数的函数关系，并确定每间月租金多少时才能获得最大利
润？
这时利润是多少？
解设x为每间月租金，y为闲置办公室的间数，L为利润
则L50yx10
由已知当x120时，y是x的一次函数，故设
yaxb，当x120时,
丄，亠0
120a
b
a
故有
1
125a
b
b
y0;当x125,y1
1
5
24,
1
故y—x24，则x5y120
5
故L50y5y1201050y5y110
2
即L5y146480,y0,50
故当y14，即当闲置办公室14间时，可获得最大利润，最大利润为6480元，此时每
间月租金为190元
10.每印一本杂志的成本为1.22元，每售出一本杂志仅能得1.20元的收入，但销售额超
过15000本时还能取得超过部分收入的10%作为广告费收入，试问应至少销售多少本杂志才
能保本？
销售量达到多少时才能获利达1000元？
解（i）设x为销售量，则成本C1.22x
收益R1.20xx150001.2010%
令CR，贝U1.22x1.20xx150001.2010%
解得：
x18000
故至少销售18000本杂志才能保本.
（ii）LRC1.20xx150001.2010%1.22x0.1x1800
令L1000，则0.1x18001000，解得x28000
故销售量达到28000时才能获利达1000元.
11•某企业计划发行公司债券，规定以年利率6.5%的连续复利计算利息，10年后每份债券
次偿还本息1000元，问发行时每份债券的价格应定为多少元？
解设发行时每份债券的价格定为A0元，则
6.5%100.650.65
1000A^eAoeA1000ge522.046（兀）
12.—片森林现有木材am3，若以年增长率1.2%均匀增长，问t年后，这片森林有木材多少?
解一年后森林木材数:
y1
lima1
n
n
1.2%
n
ae0.012
二年后森林木材数:
y2
lima1
n
1.2%
2n
ae0.0122
故t年后森林木材数:
lima1
n
1.2%tn
0.012t
age
13国家向某企业投资2万元，这家企业将投资作为抵押品向银贷款，得到相当于抵押品价格80%的贷款，该企业将这笔贷款再次进行投资，并且又将投资作为抵押品向银行贷款，
得到相当于新抵押品价格80%的贷款，该企业又将新贷款进行再投资，这样贷款一投资一再
贷款一再投资，如此反复扩大再投资，问其实际效果相当于国家投资多少万元所产生的直接效果？
解设Sn220.820.82L20.8n1
则limSnlim[220.8L
nn
n1,
20.8]
lim21（0^）n
n10.8
10
故其实际效果相当于国家投资10万元所产生的直接效果
14.设某商品的总收益R关于销售量Q的函数为
2
R（Q）104Q0.4Q
求:
（1）销售量为Q时总收入的边际收入；
⑵销售量Q50个单位时总收入的边际收入;
⑶销售量Q100个单位时总收入对Q的弹性.
解
（1）R（Q）1040.8Q
⑵R（Q）q501040.85064
ER
EQ
Q100
（1040.8Q）q100gQq
15某化工厂日产能力最高为吨）的函数
1000吨，每日产品的总成本C（单位：
兀）是日产量x（单位:
100
CC（x）1000
7x50.xx[0,1000]
（1）求当日产量为100吨时的边际成本；
（1）求当日产量为100吨时的平均单位成本
解
（1）C（x）x!
00
750
x100
9.5
⑵C（x）x10010007005002200
2200
C（x）x10022
100
16某商品的价格P关于需求量Q的函数为P10Q,求:
5
（1）总收益函数、平均收益函数和边际收益函数；
⑵当Q20个单位时的总收益、平均收益和边际收益
12解⑴R（Q）PQ10Q—Q
5
R（Q）R（Q）10-Q
Q5
R（Q）102Q
5
（2）R（20）120
R（20）6
R（20）2
17某厂每周生产Q（单位：
百件）产品的总成本C（单位：
千元）是产量的函数
CC（Q）10012QQ2
如果每百件产品销售价格为4万元，试写出利润函数及边际利润为零时的每周产量
解
L（Q）R（Q）（Q）40Q（10012QQ2）Q228Q1000
L（Q）2Q280
可得Q14
故边际利润为零时的每周产量为14百件.
18•设巧克力糖每周的需求量Q（单位：
公斤）是价格P（单位：
元）的函数
Qf（P）
1000
2（2P1）
求当P
10（元）时，巧克力糖的边际需求量，求说明其经济意义
解Q（P）2gW00丐
（2P1）
4000
3（2P1）
Q（10）0.432
其经济意义为：
巧克力糖价格由原10元价再增加1元•每周需求量将减少0.432公斤.
19证明：
若f（x）,g（x）是可导函数，则:
⑴E[f（x）gg（x）]Ef（x）Eg（x）_
ExExEx
E_L^
⑵当g（x）0时，亠型Ef（x）Eg（x）;
ExExEx
⑶若yf（u）,u
证明
（x）都可导，则
Ef（x）
Ex
Ef（u）gE（x）
EugEx
E
（1）-
xyx
Ex
xxEfxEgx
gx
fxgxExEx
fxE
gx
⑵E—
Ex
fx
xf
gx
fx
gx
Ef[（x）]£
x
⑶f
（x）
Ex
f[
（x）]
u
“、x
f（u）
（x）-
f（u）
u
_p
20设某商品的需求函数为Qe可求:
xgx
fxgxxgx
g
（x）
f
x
x
Ef
xEgx
gx
ExEx
x
f（u）
（x）-
f（u）
f（u）
u
/\x
（x）
Ef（u）
E（x）
f（u）
u
Eu
Ex
fxxgxfx
⑴需求弹性函数;
（2）p3,5,6时的需求弹性，并说明其经济意义
解⑴（p）
pdQ
Qdp
⑵⑶0.6
1,说明当
3时,
需求变动的幅度小于价格变动的幅度,
即p3时，价
格上涨1%,需求减少0.6%.
⑸1,说明当p5时，价格与需求变动的幅度相同
（6）1.21,说明当p6时，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，即p6时，价格
上涨1%，需求减少1.2%.
21•设某商品的需求函数为Q1005p,其中Q,p分别表示需求量和价格，试分别求出
需求弹性大于1，等于1的商品价格的取值范围.
解
（p）
pdQ
pg（5）5p
Qdp
1005p1005p
（p）
1时
p10
（p）
1时
5p
1可得10p20.
100g5p
22某商品需求函数为Qf（p）
12卫：
2
（1）求需求弹性函数；
（2）求p6时的需求弹性；
编辑版word
（3）在p6时，若价格上涨1%，总收益增加还是减少？
将变化百分之几?
24p
解⑴⑼2dQ亠
Qdp12£
~2
故詈|p61（6）
2
-0.67
3
在p6时，若价格上涨
1%,总收益增加0.67%.
23•设某商品的供给函数Q
45p，求供给弹性函数及
p2时的供给弹性
dQp
Ep^?
gQ
5」
45p
5p
45p
p2时，Ep
10
410
24•设某产品的需求函数为
QQ（p）,收益函数R
pQ,其中p为产品价格.Q（p）为单调
减少函数•如果当价格为
Po对应产量为
Qo时，边际收益
dR
dQ
QQo
0,收益对价格的边际收
益为dR
dpp
C0，需求对价格的弹性为p。
b1，求p°与Q°.
解Q塑坐匹
dpdQdp
dQ
c=a
dp
p。
dQ
dp
又
pdQ
ppo故dQ
pPo
Qo
dp
0dp
c
Qo
—
b
①
a
po
dR
d（pQ）
CdQ
Qp
dp
dp
dp
dQ
-c
Q0
pox
pPoQ0Po—
c
dp
a
pp0
Po
②
⑵
⑹
1
3
⑶
ER
pdR
—
1
Ep
Rdp
abp。
由①②可得
b1
Q°C
1b
25.某企业生产一
种商品，年需求量是价格
（1）需求弹性；
（2）需求弹性等于
1时的价格.
解⑴（p）
pdQpg（b）
Qdpabp
⑵（p）1时
bpabp
P的线性函数Qabp,其中a,b0,试求:
bp,a
abp可得p2b.
26•设某产品的成本函数和收入函数分别为
22
C（x）1005x2x,R（x）200xx,其中x表示产品的产量，求：
（1）边际成本函数、边际收入函数、边际利润函数；
（2）已生产并销售25个单位产品，第26个单位产品会有多少利润?
解
（1）C（x）54x
R（x）2002x
L（x）R（x）C（x）1952x
⑵L25145
27•某商品的需求量Q为价格P的函数
Q1502P2
求：
（1）当P6时的边际需求，并说明其经济意义；
（2）当P6时的需求弹性，并说明其经济意义；
（3）当P6时，若价格下降2%,总收益将变化百分之几？
是增加还是减少?
解
（1）Q（P）4P
Q（6）24
说明当价格为6时，再提高（下降）一个单位价格，需求将减少（增加）24个单位商品量
⑵（P）
PdQ4P2
QdP1502P2
（6）1.85
说明价格上升（下降）1%，则需求减少（增加）1.85%.
⑶R（P）1502P3
ER-dR-3（1506P2）
EPRdP150P2P
2
1506P
1502P
ER
EP
p60.846
•••若价格下降2%,总收益增加（0.8462）%，即1.692%.
28.求下列经济应用问题中的最大值或最小值:
（1）假设某种商品的需求量
Q是单价P的函数Q12000
80P，商品的总成本C是需求
量Q的函数C2500050Q，每单位商品需纳税2.试求使销售利润最大的商品价格和最大
利润；
x
（2）设价格函数P15e3（x为产量）求最大收益时的产量、价格和收益；
（3）某工厂生产某种商品，其年销售量为100万件，分为N批生产，每批生产需要增加
生产准备费1000元，而每件商品的一年库存费为0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批
售完后立即生产出下批（此时商品的库存量的平均值为商品批量的一半）.问N为何值时，才能
使生产准备费与库存费两项之和最小？
（4）设某企业在生产一种商品x件时的总收益为R（x）100xx2，总成本函数为
2
C（x）20050xx，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得最大利润的情况
下，总税额最大？
（5）设生产某商品的总成本为C（x）1000050xx2（x为产量），问产量为多少时，每件
产品的平均成本最低？
解
（1）L（P）
P（1200080P）[2500050（1200080P）]2（1200080P）
649000
2
16160P80P
L（P）16160160P
0
得P101
L（P）1600,•P101为极小值点
依题意，最值一定存在，所以P101为使销售利润最大的商品价格，此时最大利润为
L（101）64900016160g!
0180g012167080
xx
（2）R（x）xg!
5e315xe空
xX4
1
R（x）15e315xe3g3
x
5e3（3x）
R（x）0得x3
0x3时R（x）0
x3时R（x）0
x3为极大值点
依题意，此唯一的极大值点即为最大值点，即x3时有最大收益
此时P15e1
最大收益为R（3）45e1
（3）设每年的生产准备费与库存费之和为C,批量为x则
C（x）1000
1000000
x
0.05扌
9
10x
x40
由C（x）
9
1105
2得驻点怡2105
40x
由C（x）
9
210小八、一一，+「
30，知驻点为最小值点，
x
100万因此，x20万件时，C最小，此时N5.
20万
（4）设每件商品征收的货物税为a，
L（x）R（x）C（x）ax
100x
2x
（200
50xx2）ax
2x2
（50
a）x
200
L（x）4x50a
令L（x）
0得x
50
a
4
.此时L（x）取最大值
税收为T
ax
a（50
a）
4
T
1
（50
4
2a）
0
a
25
T1
0.・.a
25时T取最大值.
1000050xx2
“10000
⑸C（x）
x50-
x
x
10000
C（x）
1L
x
令C（x）
0得x100（x
100舍去）
故征收货物税应为25.
C（X）
0
20000
3~X
•••x100时C（x）取得最小值，即产量为100时，平均成本最低
29.求下列经济应用问题的最大、最小值：
（1）某商场一年内要分批购进某商品2400件，每件商品批发价为6元（购进），每件商品每年占用银行资金为10%利率，每批商品的采购费用为160元，问分几批购进时，才能使上述两项开支之和最少（不包括商品批发价）？
⑵某企业生产产品x件时，总成本函数为C（x）ax2bxc，总收益函数为
R（x）ax2x（a,b,c,,0,a），当企业按最大利润投产时，对每件产品征收税额为
多少才能使总税额最大？
解
（1）设分x批购进，两项开支之和为
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