最新超全的高中数学思维导图.docx

最新超全的高中数学思维导图.docx

《最新超全的高中数学思维导图.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新超全的高中数学思维导图.docx（11页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

最新超全的高中数学思维导图

超全的高中数学思维导图

高难拉分攻坚特训

（一）

1．已知椭圆M：

＋y2＝1，圆C：

x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，设圆C在点P处的切线斜率为k1，椭圆M在点P处的切线斜率为k2，则的取值范围为（　　）

A．（1,6）B．（1,5）

C．（3,6）D．（3,5）

答案　D

解析　由于椭圆M：

＋y2＝1，圆C：

x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，所以解得3

＋y2＝1与圆C：

x2＋y2＝6－a2在第一象限的公共点P（x0，y0），则椭圆M在点P处的切线方程为＋y0y＝1，圆C在P处的切线方程为x0x＋y0y＝6－a2，所以k1＝－，k2＝－，＝a2，所以∈（3,5），故选D.

2．已知数列{an}满足a1＝4，an＋1＝4－，且f（n）＝（a1－2）（a2－2）＋（a2－2）（a3－2）＋（a3－2）（a4－2）＋…＋（an－1）（an＋1－2），若∀n≥3（n∈N*），f（n）≥m2－2m恒成立，则实数m的最小值为________．

答案　－1

解析　∵a1＝4，an＋1＝4－，∴＝＝＝1＋，又＝1，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，∴＝1＋n－1＝n，an－2＝，令bn＝（an－2）（an＋1－2）＝·＝4，

∴f（n）＝（a1－2）（a2－2）＋（a2－2）（a3－2）＋（a3－2）·（a4－2）＋…＋（an－2）（an＋1－2）＝b1＋b2＋…＋bn＝4×＝.

若∀n≥3（n∈N*），f（n）≥m2－2m恒成立，

则f（n）min≥m2－2m.

易知f（n）＝在[3，＋∞）上是增函数，

∴f（n）min＝f（3）＝3，即m2－2m－3≤0，

解得－1≤m≤3，

∴实数m的最小值为－1.

3．已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的左焦点F和上顶点B在直线3x－y＋3＝0上，A为椭圆上位于x轴上方的一点且AF⊥x轴，M，N为椭圆C上不同于A的两点，且∠MAF＝∠NAF.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线MN与y轴交于点D（0，d），求实数d的取值范围．

解　

（1）依题意得椭圆C的左焦点为F（－1,0），上顶点为B（0，），

故c＝1，b＝，所以a＝＝2，

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

（2）设直线AM的斜率为k，

因为∠MAF＝∠NAF，

所以AM，AN关于直线AF对称，

所以直线AN的斜率为－k，

易知A，

所以直线AM的方程是y－＝k（x＋1），

设M（x1，y1），N（x2，y2），

联立

消去y，得（3＋4k2）x2＋（12＋8k）kx＋（4k2＋12k－3）＝0，

所以x1＝，

将上式中的k换成－k，得x2＝，

所以kMN＝＝

＝＝－，

所以直线MN的方程是y＝－x＋d，

代入椭圆方程＋＝1，得x2－dx＋d2－3＝0，

所以Δ＝（－d）2－4（d2－3）>0，

解得－2

又因为MN在A点下方，

所以－1×＋>d⇒d<1，

所以－2

4．已知函数f（x）＝（x－1）ex－ax2（e是自然对数的底数）．

（1）讨论函数f（x）的极值点的个数，并说明理由；

（2）若对任意的x>0，f（x）＋ex≥x3＋x，求实数a的取值范围．

解　

（1）f′（x）＝xex－2ax＝x（ex－2a）．

当a≤0时，由f′（x）<0得x<0，由f′（x）>0得x>0，∴f（x）在（－∞，0）上单调递减，

在（0，＋∞）上单调递增，

∴f（x）有1个极值点；

当00得x0，由f′（x）<0得0>x>ln2a，

∴f（x）在（－∞，ln2a）上单调递增，在（ln2a,0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，

∴f（x）有2个极值点；

当a＝时，f′（x）≥0，

∴f（x）在R上单调递增，

∴f（x）没有极值点；

当a>时，由f′（x）>0得x<0或x>ln2a，

由f′（x）<0得0

∴f（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，ln2a）上单调递减，在（ln2a，＋∞）上单调递增，

∴f（x）有2个极值点．

综上，当a≤0时，f（x）有1个极值点；当a>0且a≠时，f（x）有2个极值点；当a＝时，f（x）没有极值点．

（2）由f（x）＋ex≥x3＋x得xex－x3－ax2－x≥0.

当x>0时，ex－x2－ax－1≥0，

即a≤对任意的x>0恒成立．

设g（x）＝，

则g′（x）＝.

设h（x）＝ex－x－1，则h′（x）＝ex－1.

∵x>0，∴h′（x）>0，

∴h（x）在（0，＋∞）上单调递增，

∴h（x）>h（0）＝0，即ex>x＋1，

∴g（x）在（0,1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，

∴g（x）≥g

（1）＝e－2，∴a≤e－2，

∴实数a的取值范围是（－∞，e－2]．