1990考研数学三真题和详解.docx
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1990考研数学三真题和详解
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题（本题满分
15分,每小题
3分.把答案填在题中横线上.）
（1）
极限lim（n3
nnn）
_________.
n
（2）
设函数f（x）有连续的导函数,f
（0）0,f（0）b,若函数
f（x）
asinx,
x
0,
F（x）
x
A,
x
0
在x
0处连续,则常数A=___________.
（3）
曲线y
x2
与直线y
x2所围成的平面图形的面积为
_________.
x1
x2
a1,
（4）
x2
x3
a2,
若线性方程组
x4
有解,则常数a1,a2,a3,a4应满足条件________.
x3
a3,
x4
x1
a4
（5）一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为80,则该射手的命
中率为________.
81
二、选择题（本题满分
15分,每小题
3分.每小题给出的四个选项中
只有一项符合题目要求
把所选项前的字母填在题后的括号内
.）
（1）
设函数f（x）
x
tanxesinx,则f（x）是
（
）
（A）
偶函数
（B）
无界函数
（C）
周期函数
（D）单调函数
（2）
设函数f（x）对任意x均满足等式f（1
x）
af（x）,且有f（0）
b,其中a,b为非零常
数,则
（
）
（A）
f（x）在x
1处不可导
（B）
f（x）在x
1处可导,且f
（1）
a
（C）
f（x）在x
1处可导,且f
（1）b
（D）
f（x）在x
1处可导,且f
（1）
ab
（3）
向量组
1,
2,
s线性无关的充分条件是
（
）
（A）
1,
2,
s均不为零向量
（B）
1,
2,
s中任意两个向量的分量不成比例
（C）
1,
2,
s中任意一个向量均不能由其余
s1个向量线性表示
（D）
1,2,,s中有一部分向量线性无关
（4）设
A,B为两随机事件,且B
A,则下列式子正确的是
（）
（A）
PAB
PA
（B）
（C）
PBA
PB
（D）
（5）设随机变量X
和Y相互独立,其概率分布为
PABPA
PBAP（B）PA
m
-1
1
m
-1
1
PX
m
1
1
PY
m
1
1
2
2
2
2
则下列式子正确的是
（
）
（A）
X
Y
（B）
PX
Y
0
（C）
P
X
Y
1
（D）
PX
Y
1
2
三、计算题（本题满分
20分,每小题
5分.）
（1）
求函数I（x）
x
lnt
dt在区间[e,e2]上的最大值.
t2
e
2t
1
（2）
计算二重积分
xey2
dxdy,其中D是曲线y
4x2和y
9x2在第一象限所围成的区
D
域.
（3）
求级数
（x
3）n
的收敛域.
n1
n2
（4）
求微分方程
y
ycosx（lnx）esinx的通解.
四、（本题满分9分）
某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入
R（万元）与电台广告费用x1（万元）及报纸广告费用x2（万元）之间的关系有如下经验公式:
R1514x132x28x1x22x1210x22.
（1）在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；
（2）若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.
五、（本题满分6分）
设f（x）在闭区间[0,c]上连续,其导数f（x）在开区间（0,c）内存在且单调减少；
f（0）
0,试应用拉格朗日中值定理证明不等式
:
f（a
b）
f（a）
f（b）
其中常数
a、b
满足条件
0
a
ba
b
c.
六、（本题满分
8分）
已知线性方程组
x1x2x3x4x5a,
3x1
2x2
x3
x4
3x5
0,
x2
2x3
2x4
6x5
b,
5x1
4x2
3x3
3x4
x5
2,
（1）a、b为何值时,方程组有解?
（2）方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系；
（3）方程组有解时,求出方程组的全部解.
七、（本题满分
5
分）
已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得Ak
0,试证明矩阵EA可逆,并写出其逆
矩阵的表达式（E为n阶单位阵）.
八、（本题满分
6
分）
设A是n阶矩阵,1和2是A的两个不同的特征值,X1,X2是分别属于
1和2的特征
向量.试证明X1
X2不是A的特征向量.
九、（本题满分
4
分）
从0,1,2,
9十个数字中任意选出三个不同数字
试求下列事件的概率：
A1
{三个数字中不含0和5}；A2
{三个数字中不含0或5}.
十、（本题满分5分）
一电子仪器由两个部件构成,以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位:
千小时）,已知
X和Y的联合分布函数为:
F（x,y）
1-e0.5x
e0.5y
e0.5（xy）,
若x0,y0,
0,
其他.
（1）
问X和Y是否独立?
（2）
求两个部件的寿命都超过
100小时的概率.
十一、（本题满分7分）
某地抽样调查结果表明
考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布,平均成绩为72
分,96
分以上的占考生总数的
2.3%,试求考生的外语成绩在
60分至84分之间的概率.
[附表]
x
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
（x）
0.5000.6920.8410.933
0.977
0.9940.999
表中
（x）是标准正态分布函数.
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题（本题满分15分,每小题3分.）
（1）【答案】2
【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子n3nnn.
lim（
n3n
nn）lim（n
3
n
n
n）（
n
3nnn）
n
1
n
n
3n
n
n
n
3
n
n
n
lim
n
3
n
n
n
n
再分子分母同时除以
n,有
原式lim
4
.
n
3
1
1
1
n
n
因为lima
0,其中a为常数,所以原式
4
2.
n
n
11
（2）【答案】ba
【解析】由于
F（x）在x
0处连续,故AF（0）
limF（x）.
x
0
limF（x）为“0”型的极限未定式
又f（x）在点0处导数存在,所以
x
0
0
f（x）
asinx
limf（x）
acosx
A
lim
b
a.
x
0
x
x0
1
【相关知识点】函数
y
f（x）在点x0连续：
设函数y
f（x）在点x0的某一邻域内有定义,
如果lim
f（x）
f（x0）,则称函数f（x）在点x0连续.
xx0
（3）
【答案】41
y
2
【解析】先解出两条曲线在平面的交点
即令x2
x
2,
解得x
1和x
2,故所围成的平面图形如右图所示
:
所求面积为
S
2
x
2
x2
dx
1
1x2
1x3
2
41.
x
2x
1O
2
2
3
1
2
（4）
【答案】a1
a2
a3
a4
0
【解析】由于方程组有解
r（A）r（A）,对A作初等行变换,
第一行乘以
1加到第四行上,有
1
1
0
0
a1
1
1
0
0
a1
01
1
0
a2
0
1
1
0
a2
0
0
1
1
a3
0
0
1
1
a3
1
0
0
1
a4
0
1
0
1a1
a4
第二行加到第四行上
再第三行乘以
1加到第四行上,有
110
0
a1
1100
a1
011
0
a2
110
a2
.
001
1
a3
1
1
a3
001
1a1a2
a4
0a1
a2
a3
a4
为使r（A）
r（A）,常数a1,a2,a3,a4应满足条件:
a1a2a3
a4
0.
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设A是m
n矩阵,线性方程组
Ax
b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广
矩阵A
Ab的秩,即是r（A）
r（A）（或者说,b可由A的列向量
1,
2,
n线表出,
亦等同于
1,
2,
n与1,2,
n,b是等价向量组）.
设A是m
n矩阵,线性方程组
Axb,则
（1）有唯一解
r（A）
r（A）
n.
（2）有无穷多解
（3）无解
r（A）r（A）n.
r（A）1r（A）.b不能由A的列向量1,2,,n线表出.
（5）【答案】2
3
【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p,则进行
四次独立的射击,设事件Y为“射手命中目标的次数”
80
的二项分
Y服从参数n4,p
81
布,由二项分布的概率公式
事件“四次均不中”的概率为
（1
p）4
它是至少命中一次的对
立事件.依题意
（1p）4
180
1p
1
p
2.
81
3
3
本题的另一种分析方法是用随机变量
X表示独立地进行射击中命中目标的次数
p表
示一次射击的命中率,则XB（4,p）,依题意
4
1
P
X
01
PXk
k
1
81
即（1p）4
1
p
2.
81
3
【相关知识点】二项分布的概率公式：
若Y
B（n,p）,则PY
k
Cnkpk（1
p）nk,k
0,1,,n.
二、选择题（本题满分15分,每小题3分.）
（1）【答案】（B）
【解析】由于limxesinx
e,而limtanx
所以,
x
2
x
2
2
limxtanxesinx
故f（x）无界.
x
2
2
或考察f（x）在xn2n
（n
1,2,）的函数值,有limf（xn）
limxne2
可见
4
n
n
f（x）是无界函数.应选（B）.
以下证明其他结论均不正确.
由f
sin
f
e
sin
e4
4
4,知（A）不正确；
4
4
4
由f0,f0,而f00,知（D）不正确.
44
证明（C）不正确可用反证法.
设gxtanxesinx,于是gx的定义域为Dx|xk,k0,1,2,,
2
且gx的全部零点为xnn,n0,1,2,.若fxxgx以TT0为周期,则
有
xTgxTxgx,xD.
令x0,有TgT0,即gT0.从而Tk,其中k为某一正数.于是2k也是
xgx的周期.代入即得,对xD有
x2kgx2kx2kgxxgx.
这表明2kgx0在xD上成立,于是gx0在xD上成立,导致了矛盾.故
fx
xgx不可能是周期函数.
【相关知识点】极限的四则运算法则
:
若limf（x）
A,limg（x）
B,则有limf（x）g（x）AB.
x
x0
xx0
xx0
（2）【答案】（D）
【解析】通过变量代换
tx
1
f（1x）
af（x）将f（x）在
x1
的可
或按定义由关系式
导性与f（x）在x
0
的可导性联系起来.
令
tx
1
则f（t）af（t
1）.由复合函数可导性及求导法则,
知f（t）在
t
1
可导,且
f（t）t1
af（t1）（t1）t
1
af（0）
ab,
因此,应选（D）.
【相关知识点】复合函数求导法则
:
如果ug（x）在点x可导,而y
f（x）在点u
g（x）可
导,则复合函数y
f
g（x）在点x可导,且其导数为
dy
（u）g（x）或
dy
dy
du
f
dx
du
.
dx
dx
（3）【答案】（C）
【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.
（A）（B）（D）均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组
1,2,,
s线性无关,可以
推导出（A）（B）（D）
选项,但是不能由（A）（B）（D）
选项中的任意一个推导出向量组
1,2,,s
线性无关.
例如:
（1,0）,（0,1）,（1,1）显然有（1,0）
（0,1）（1,1）
（0,0）
该向量组线性相关.但
（A）（B）（D）均成立.
根据“
1,
2,
s线性相关的充分必要条件是存在某
i（i
1,2,,s）可以由
1,
i1,
i1,
s线性表出.”或由“1,
2,,s线性无关的充分必要条件是任意一个
i（i
1,2,
s）均不能由1,i1,i1,
s线性表出.”故选（C）.
（4）【答案】A
【解析】由于BA,所以ABA,于是有PABPA.故本题选A.
对于B选项,因为BA,所以事件B发生,则事件A必然发生,所以PABPB,
而不是PABPA,故B错.
对于C选项,因为B
A,由条件概率公式PBA
P（AB）
当B,A是相互独立的事
P（A）
件时,才会有PBA
PB；所以C错.
对于D选项,因为B
A,所以事件B发生事件A不发生是个不可能事件,故
PBA0,所以（D）错.
（5）【答案】（C）
【解析】由离散型随机变量概率的定义,有
PXYPX
1,Y1PX1,Y1
P
X
1}P{Y
1PX1}P{Y1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
.
2
故本题选（C）.而（B）、（D）选项是错误的.
对于（A）选项,题目中只说了随机变量
X和Y相互独立,且他们的概率分布相同
但是二
者是不同的事件,并不能说事件
X与事件Y是同一事件.故（A）错.
三、计算题（本题满分20分,每小题
5分.）
（1）【解析】在x
[e,e2]上,
I（x）
x
2
lnx
1
lnx
2
0,故函数I（x）在[e,e2]上单
2x
x1
调增加,最大值为I（e2）.
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