等腰三角形性质定理提高知识讲解.docx

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等腰三角形性质定理提高知识讲解

等腰三角形性质定理（提高）

责编：

杜少波

【学习目标】

1.了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的轴对称性

2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识.

3.掌握等腰三角形的下列性质：

等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一.

4.会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图.

【要点梳理】

要点一、等腰三角形的定义

1.等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角

叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角^

如图所示，在4ABC中，AB=AC,则它叫等腰三角形，其中ARAC为腰，BC为底边，/A是顶角，/B、/C是底角.

2.等腰三角形的作法

已知线段a,b（如图）.用直尺和圆规作等腰三角形ABC使AB=AC=b,BC=a.

作法：

1.作线段BC=a;

2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧,两弧相交于点A；

3.连接AB,AC.

△ABC为所求作的等腰三角形.

3.等腰三角形的对称性

（1）等腰三角形是轴对称图形

（2）/B=/C

（3）BD=CDAD为底边上的中线.

（4）/ADB=ZADC=90°,AD为底边上的高线.

结论：

等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线）所在的直线是它的对称轴

4.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三

条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴.

要点诠释：

（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45。

，等腰三角形的底角只能为锐角，不

能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.ZA=180。

一2/B,ZB=/C=180J/」.

（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些，能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.

（3）等边三角形与等腰三角形的关系：

等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.

等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据

要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是3aa,面积是3aa2.

【高清课堂：

389301等腰三角形的性质及判定，知识要点】

要点二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1:

等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”

推论：

等边三角形的各个内角都等于60°.

性质2:

等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”.

2.等腰三角形的性质的作用

证明两条线段或两个角相等的一个重要依据.

3•尺规作图：

已知底边和底边上的高

已知线段a,h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BOa,BC边上的高线为h.

作法：

1.作线段BC=a.

4.作线段BC的垂直平分线I,交BC与点D.

5.在直线I上截取DA=h，连接AB,AC.^ABC就是所求作的等腰三角形

【典型例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论

【高清课堂：

389301等腰三角形的性质及判定：

例2

（1）】

▼1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30。

，则顶角的度数为（）

A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°

【答案】D;

【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角,然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答.

（1）顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60。

；

①②

（2）顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意；

（3）顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°,故此题应选D.

【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的

关键，本题易出现的错误是忽视了顶角为120。

这种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形.

举一反三：

【高清课堂：

389301等腰三角形的性质及判定：

例2

（2）】

【变式1】已知等腰三角形的周长为13,一边长为3,求其余各边.

【答案】

解：

（1）3为腰长时，则另一腰长也为3,底边长=13—3—3=7;

（2）3为底边长时，则两个腰长的和=13—3=10,则一腰长=1x10=5.

这样得两组：

①3,3,7②5,5,3.

而由构成三角形的条件：

两边之和大于第三边可知：

3+3<7,故不能组成三角形，应舍去.

•••等腰三角形的周长为13,一边长为3,其余各边长为5,5.

【变式2】等腰三角形有一个外角是100。

，这个等腰三角形的底角是.

【答案】50°或80°.

解：

①若100。

的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，

则此顶角为：

180°-100°=80°,

则其底角为：

（180°-80°）+2=50°;

②若100。

的外角是此等腰三角形的底角的邻角，

则此底角为：

180°-100°=80°;

故这个等腰三角形的底角为：

50°或80°.

故答案为：

50°或80°.

类型二、等腰三角形的操作题

▼2、（2016?

顺义一模）我们把过三角形的一个顶点，且能将这个三角形

个等腰三角形的线段称为该三角形的等腰线段

例如：

如右图，RtAABC,取AB边的中点D,线段CD就是△ABC的等腰

（1）请分别画出下列三角形的等腰线段；

（2）例如，在^EFG中，/G=2/F,若^EFG有等腰线段，请直接写出/F的度数的取值范围.

【思路点拨】

（1）利用三角形的等腰线段的定义画图；

（2）分类讨论等腰线段，从而求得/F的度数.

【答案与解析】解：

（1）三角形的等腰线段如图所示,

（2）设/F=x,则/G=2x,如图2,线段EM是等腰线段，.「△EMG是等腰三角形，

EM=EG,ME=MF,

/F=/MEF=x,/EMG=/G=2x,.••2x<90°,

x<45;

如图3,GN为等腰线段，NF=NG,GN=GE,

/F=/NGF=x，/E=/ENG,/EGN=x,/ENG=2x,

.・./E=2x,

.・x+2x+2x=180°,x=36,

F的度数的取值范围为0°

【总结升华】本题考查了作图-复杂作图：

复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图.也考查了等腰三角形的性质.

举一反三：

【变式】直角三角形纸片ABC中，/ACB=90°,ACCBC如图，将纸片沿某条直线折叠，

使点A落在直角边BC上，记落点为D,设折痕与ARAC边分别交于点E、F,

探究：

如果折叠后的△CDF与4BDE均为等腰三角形，那么纸片中的/B的度数是多少？

写出你的计算过程,并画出符合条件的折叠后的图形.

类型三、等腰三角形性质的综合应用

C3、如图，在^ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交

AC于F.

求证：

AF=EF.

【思路点拨】根据点D是BC的中点，延长AD到点H,得到△ADC△HDB,利用全等三角

形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF等，然后用等角对等边证明AE=EF.

【答案与解析】

证明：

延长AD到H使DH=AD,连接BH.

.「AD是BC边上的中线,

BD=CD

在△ADC^△HDB中，

BD=DC

1/BDH=/CDA,AD=HD

..△AD隼△HDB

1=/H,BH=AC

•••BE=AC,

BE=BH,

・./3=/H,

1=/3

又,一/2=/3,

1=/2,

•.AF=EF

【总结升华】证明不在同一个三角形的两条线段相等，而它们所在的三角形不全等，可以利用辅助线将它们转移到同一个三角形中，然后通过等腰三角形来证明^

举一反三：

【变式】如图，已知AD是4ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.

求证：

AC=BF.

【答案】

证明：

延长AD至点G,使DG=AD,连接BG.

AD为中线,BD=CD.

在△ACD和4GBD中，

AD=DG,

/ADC"GDB,CD=BD,

BG=AC,G=/CAD.

•,AE=EF,

.CAD=.AFE.

又••；BFD=/AFE,:

G=/BFD.

BF=BG=AC.

B作B已AD于点E.求证：

…「。

…-、…一上

▼4、如图，AC=BC,ZACB=90,/A的平分线AD交BC于点D,过点

=1AD.

【答案与解析】

证明：

如图，延长BEAC交于点F.

・・/1=/2,AE=AE,/AEB=/AE已90°,

・•.△AEB^△AEF7（ASA）.

BE=FE=—BF.

・・/3=90°-ZF=/2,BC=AC,

Rt△BC阵Rt△ACD（ASA

BF=AD,BE=-AD.

【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决.

举一反三:

【变式】如图1,在△ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，点E在AD上.

（1）求证：

BE=CE;

（2）如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BFLAC,垂足为F,/BAC=45°,原题设其它条件不变.求证：

△AEF^^BCF.

证明：

（1）;AB=AC,D是BC的中点，

ZBAE=ZEAC,在△ABE和△ACE中，

AB=AC

一一

{/BAE=/EAC,

AE=AE

△ABEZ△ACE（SAS）,BE=CE;

（2）•••/BAC=45°,BF±AF,△ABF为等腰直角三角形，AF=BF,

AB=AC,点D是BC的中点，AD±BC,

•••/EAF+ZC=90°,BF±AC,

•••/CBF+ZC=90°,/EAF=ZCBF,

在△AEF和△BCF中，

—EAF=/CBF

«AF=BF

/AFE=NBFC=90’

△AE三△BCF（ASA）.

❾12日……、一上.………]

▼5、如图，△ABC是等边二角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边二角形CDE,使

点E、A在直线DC的同侧，连接AE.

求证：

AE//BC.

【思路点拨】根据等边三角形性质推出BC=AC,CD=CE,/ABC=ZBCA=ZECD=60°,求出/BCD=/ACE,根据SAS证△ACE^△BCD,推出/EAC=ZDBC=ZACB,根据平行线的判定推出即可.

【答案与解析】

证明：

.「△ABC和△DEC是等边三角形，

BC=AC,CD=CE,/ABC=ZBCA=ZECD=60°,

•••/BCA-ZDCA=ZECD-/DCA,即/BCD=ZACE,

;在△ACE和△BCD中

AC=BC

«NACE=NBCD,

CD=CE

，J

△ACEZ△BCD（SAS）,/EAC=ZB=60°=ZACB,AE//BC.

【思路点拨】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，关键是求出△ACE9△BCD,主要考查学生的推理能力.

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