几种特殊类型积分因子的求法.docx
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几种特殊类型积分因子的求法
运用积分因子方法求解几种特殊类型微分方程
方小，数学与计算机科学学院
摘要：
针对满足某些条件的微分方程，着重研究如何直接地、有效地求出其积分因子的方法,从而方便快捷地求出其通解•
引言：
方程取形式M（x,y）dx•N（x,y）dy=0时的求解问题教材中主要介绍了五种类型的初等解法，实际上作为基础的还是恰当微分方程，其他类型均可借助积
分因子化为这种类型，掌握一些特殊类型的积分因子求法及部分特殊结构微分方程的积分因子的求法，从而大提高解微分方程的效率和可操作性•
一.几种特殊类型结构的微分方程M（x,y）dx，N（x,y）dy=0的积分因子的求法
1•常见一阶微分方程几种运用积分因子转化成恰当微分方程
可分离变量方程=f（x）（y）很容易求得积分因子为■-
dx
求（xy-x）dx（xyx-y-1）dy=0的积分因子
x（y-1）dx（x-1）（y1）dy=0
积分因子为
1
J（x,y）-
P2（x）q1（y）（x-1）（y-1）
方程两边乘以上积分因子得:
dy=0
x-1y-1
两边积分得原方程的通解为
xyln（xT）（yT）2二C
1.2线性微分方程
设f（x,y）及三连续'试证方程dy_f（x,ygo为线性微分方程它有仅依赖于x的积分因子•
证明：
设方程dy-f（x,y）dx=0是线性微分方程.即存在g（x）,h（x）使得
f（x,y）二yg（x）h（x）
这样
M二-f（x,y）二-yg（x）-h（x）,N=1,
.:
M:
N
—g（x）「g（x）,
.:
y；x
N
所以，方程具有积分因子
C-g（x）dx
.二=e
这即证明了方程有仅依赖于x的积分因子.
例2:
解方程:
（ycosx-ysinx）dx（ysinxxc°sx）dy=0
解：
•.M=ycosx-xsinx,N=ysinxxcosx
:
N：
:
M
=y
于是积分因子为
ydyy
u=e二e
•••通解为
ey（xcosxysinx-sinx）=C
”__n-（n-Jp（x）dx）
1.3伯努利微分方程方程的积分因子是'=ye
证明:
设伯努利方程为
少=p（x）yq（x）yn
dxp（）yq（）y5式0,1）
改写为
dy_p（x）ydx_q（x）yndx二0,
乘以y
』得
y』dy-p（x）y1』dx_q（x）dx=0
1_n1_o
d（y）一（1一n）p（x）ydx—（1-n）q（x）dx=0,
再乘以
_（1』）p（x）dxe
11-（1-n）fp（x）dx
[d（y）-（1-n）p（x）ydx]-e
_（1_n）p（x）dx
」dx]=0.
1_n_（1_n[p（s）dx
d[ye]—d[.（1-n）q（x）e
这是全微分方程，因此所求积分因子是
■—」n_]p（x）dx）
ye
例求3•y二（cosx—sinx）y2的积分因子及通解dx
解：
积分因子
/、.np（x）dx/菽
（x,y）=yeye
原方程两边同乘以y°e，并化为对称式为
y2e"dyy°e*dx=（cosx-sinx）e»dx
凑微分为：
d（—e^yJ）=d（e亠sinx）
两边同时求积分得：
e^sinxe"^y=C
1.4齐次微分方程M（x,y）dx•N（x,y）dy=0当xM•yN=0时有积分因子
xMyN
证明由于
切（x,y）=^xM+yNxM+yN
则有
.:
MNN
（xMyN）-M（xNy）
；：
（」M）_：
：
yjy；:
y
訶一（xMyN）2
MN
yNMN-yM*—
dycy
-（xM+yN）2
J
同理，
由上面两个式子可推出
:
M:
N:
N:
M
yNyMxMxN
cycyexex
从而得到
：
:
x
因此方程M（x,y）dxN（x,y）dy=0当xM■yN=0时有积分因子
-1
xMyN
例（y2「3x2）dy2xydx0
解此为齐次方程，故有积分因子
J=1（PxQy）=1（2x2yy3_3x2y）=1（y3_x2y）
乘以积分因子，原方程化为
■2222』32
[2x（y-x）]dx[（y-3x）（y-xy）]dy=O
yy2-0
1y3-0
这是一个全微分方程，它的通解为
x2xdx0220y-x
222
Iny-In（y-x）Iny=C其中C为常数
2、具有特殊结构的一阶微分方程M（x,y）dx•N（x,y）dy=0的积分因子的求法
2.1方程M（x）N（y）dxP（x）Q（y）=0有积分因子：
1
N（y）P（x）
显然,直接验证可得
=1
旷N（y）P（x）
为上式的积分因子.
.f（x）dx•■（y）dy
若（：
：
P）.（：
y）-（：
Q）（：
：
X）二Qf（x）-P“y）」「I-是方程的积分因子
解：
因为（：
：
P）.（：
：
y）-（9）（；:
x）
2
=6yx（2x6y）
=（x6y2）2（3yx）
22122
一（x6xy）（-—）-（3yxy）（——）
xy
1
=Q（-—）-P（）
xy
故有积分因子
dx
1
2
xy
于是原方程化为
（3x1y）dx-（xy）6）dy二0
（3x）dx-6dy[（1y）dx-（xy2）dy]=0
这是一个全微分方程，积分得出通解为
3lnx-6yxy=C
或3ylnx-6y2x=cy
2.2设函数f（u）,g（u）连续、可微且,则方程yf（xy）dx-xg（xy）dy=0有积分因子:
xy[f（xy）-g（xy）]
证明:
令沁二」,则原方程可化为
（1）式两边同乘以fT齐得
dx
g（J
du=0
显然
（2）为恰当方程，故
（1）有积分因子
」[f（」）_g（」）]”因而原方程有积分因子
故有积分因子
■'-12222
{xy[（x2y21）-（x2y2一1）]}
1
乘上—得
1
2x
2xy
^xy2dx丄dx-x2ydy
22x2
2（xy2dxx2ydy）2（空-包）=0
xy
二.针对满足某些条件的微分方程，运用积分因子方法求出通解
但是如果把它的左端分成几组，比如分成两组：
（M1dxN1dy）（M2dxN2dy）=0（3）
后,可分别求得各组的积分因子叫和^,也就是如果有J1/l2使
SM1叫Njdy二
j2M2」2N2dy二d」2
于是借助于7,常可求得Mdx•NdY=0的积分因子.为了说明这一点，先注意下一事实•
如果「是Mdx•NdY=0的一个积分因子，且％」Ndy二d，,
则」^1）也是Mdx•NdY=0的积分因子.此处C1）是，的任一连续函数.
事实上」3）Mdx"_（」）Ndy二（」）（」Mdx订：
Ndy）二（Jd」
其中①表示©的一个原函数•
据此知,对于任意的函数V）及7（\）、2：
：
（」2）都分别是⑶的第一组和第二组的积分因子.函数有着广泛选择的可能性.若能选择：
：
使
亠=U1C\）「f）则卩就既是（3）的第一组也是第二组的积分因子.因而也就
是Mdx•NdY=0的积分因子.
3
y2x
例:
解方程：
（3x）dx-
（1）dy=0
xy
解:
原方程改写为
3
（上dxdy）（3x2—）dy=0
xy
显然
丄i二x,鋼=xy,丄2二y,丄2二x‘y
为使x\xy）二y（x3y）,只须取丫"）二"2,「（"）=J
于是求得原方程的一个积分因子：
」二x（xy）二y（x3y）二x3y2
而以之乘方程的两端，便得
22^52、，，326
xy3xy）dx（xyxy）dy=0
于是
/\3z32
P（x,y）=0（x2y3+3x5y2）dx=—+—（取c=0）
•••通解为
（xy）3.（x3y）2
结论1:
设u（x,y）是方程M（x,y）dxN（x,y）dy=0的积分因子，从而求得可微方程
U（x,y）使dU=亠（Mdx•Ndy）/（x,y）=曲（U）时」i（x,y）也是方程的积分因子,
其中：
（t）是t的可微函数.
结论2:
设u（x,y）,U2（x,y）是方程M（x,y）dxN（x,y）dy=0的两个积分因子，且F=常
-2
数，则匚1二C（任意常数）是方程的通解•
^2
结论3:
假设当方程M（x,y）dx・N（x,y）dy=O为齐次方程时，且为恰当方程，则它的通解
可表示为xM（x,y）dx■yN（x,y）dy=c（c为任意常数）.
参考文献（顶格、宋体、小四号加粗）：
[1]刘广珠.高中生考试焦虑成因分析[J].陕西师大学报（哲社版），1995,24
（1）:
161-164.
（参考文献序号在文中采用右上标注的方式，用数字加方括号表示，如[1]，[2]，…，
序号应连续。
参考文献一律采用文后著录，所列参考文献撰写格式为：
序号顶格，宋体，
五号，单倍行距。
请注意标点符号。
）
例x2y3dx（x3y2-x）y4dy=0
解原方程化为y（x2y21）dxx（x2y2T）dy=0
因为（x2y21）-（x2y2-1）=2=0,
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