高中数学求函数值域的7类题型和16种方法.doc

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求函数值域的7类题型和16种方法

一、函数值域基本知识

1．定义：

在函数中，与自变量x的值对应的因变量y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2．确定函数的值域的原则

①当函数用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；

②当函数用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；

③当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；

④当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。

一般地，常见函数的值域：

1.一次函数的值域为R.

2.二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，

3.反比例函数的值域为.

4.指数函数的值域为.

5.对数函数的值域为R.

6.正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.

三、求解函数值域的7种题型

题型一：

一次函数的值域（最值）

1、一次函数：

当其定义域为，其值域为；

2、一次函数在区间上的最值，只需分别求出，并比较它们的大小即可。

若区间的形式为或等时，需结合函数图像来确定函数的值域。

题型二：

二次函数的值域（最值）

1、二次函数，当其定义域为时，其值域为

2、二次函数在区间上的值域（最值）

首先判定其对称轴与区间的位置关系

（1）若,则当时，是函数的最小值，最大值为中较大者；当时，是函数的最大值，最大值为中较小者。

（2）若,只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值。

特别提醒：

①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②若给定的区间形式是等时，要结合图像来确函数的值域；

③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。

例1：

已知的定义域为，则的定义域为。

例2：

已知，且，则的值域为。

题型三：

一次分式函数的值域

1、反比例函数的定义域为，值域为

2、形如：

的值域：

（1）若定义域为时，其值域为

（2）若时，我们把原函数变形为，然后利用（即的有界性），便可求出函数的值域。

例3：

函数的值域为；若时，其值域为。

例4：

当时，函数的值域。

（2）已知，且，则的值域为。

例5：

函数的值域为；若，其值域为。

题型四：

二次分式函数的值域

一般情况下，都可以用判别式法求其值域。

但要注意以下三个问题：

①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在；③分子、分母必须是既约分式。

例6：

；

例7：

；

例8：

；

例9：

求函数的值域

解：

由原函数变形、整理可得：

求原函数在区间上的值域，即求使上述方程在有实数解时系数的取值范围

当时，解得：

也就是说，是原函数值域中的一个值…①

当时，上述方程要在区间上有解，

即要满足或解得：

……②

综合①②得：

原函数的值域为：

题型五：

形如的值域这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域。

例10：

求函数在时的值域

题型六：

分段函数的值域：

一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。

如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。

例11：

例12：

题型七：

复合函数的值域

对于求复合函数的值域的方法是：

首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。

例13：

例14：

四、函数值域求解的十六种求法

（1）直接法（俗名分析观察法）：

有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。

即从自变量的范围出发，推出的取值范围。

或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。

注意此法关键是定义域。

例1：

已知函数，，求函数的值域。

例2：

求函数的值域。

例3：

求函数的值域。

例4：

求函数的值域。

（2）配方法：

二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。

对于形如或类的函数的值域问题，均可使用配方法。

例1．求函数的值域。

分析与解答：

因为，即，，于是：

，。

例2．求函数在区间的值域。

分析与解答：

由配方得：

，

当时，函数是单调减函数，所以；

当时，函数是单调增函数，所以。

所以函数在区间的值域是。

（3）最值法：

对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。

例1求函数y=3-2x-x2的值域。

解：

由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。

函数y在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2的最大值为4，最小值为0。

　　∴函数的值域是［0,2］

例2：

求函数，的值域。

例3：

求函数的值域。

（4）反函数法（逆求或反求法）：

利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

即通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围。

对于形如的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。

例1：

求函数的值域。

解：

由解得，

∵，∴，∴

∴函数的值域为。

（5）分离常数法：

分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

小结：

已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。

例1：

求函数的值域。

解：

∵，

∵，∴，

∴函数的值域为。

（6）换元法（代数/三角）：

对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域。

当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

对形如的函数，令；形如的函数，令；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令.

例1：

求函数的值域。

解：

令（），则，

∴

∵当，即时，，无最小值。

∴函数的值域为。

例2．求函数的值域。

分析与解答：

令，则。

，

当时，，值域为

例3．求函数的值域。

分析与解答：

由=，令，

因为，，则=，

于是，，

，所以。

（7）判别式法：

把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域。

对形如（、不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y的范围，即值域。

值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论。

注意：

主要适用于定义在R上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论。

例1：

求函数的值域。

解：

由变形得，

当时，此方程无解；

当时，∵，∴，

解得，又，∴

∴函数的值域为

（8）函数单调性法：

确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

例如，.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题。

例1：

求函数的值域。

解：

∵当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，

∴函数在定义域上是增函数。

∴，

∴函数的值域为。

例2．求函数在区间上的值域。

分析与解答：

任取，且，则

，因为，所以：

，

当时，，则；

当时，，则；而当时，

于是：

函数在区间上的值域为。

构造相关函数，利用函数的单调性求值域。

例3：

求函数的值域。

分析与解答：

因为，而与在定义域内的单调性不一致。

现构造相关函数，易知在定义域内单调增。

，，，，

又，所以：

，。

（9）基本不等式法

利用基本不等式求函数值域,其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值。

利用基本不等式，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件①;②为定值；③取等号成立的条件.三个条件缺一不可。

此外，有时需要合理地添项和拆项和两边平方等技巧,添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,比如求函数的值域。

例1求函数的值域.

解:

当且仅当时成立.故函数的值域为.

此法可以灵活运用,对于分母为一次多项式的二次分式,当然可以运用判别式法求得其值域,但是若能变通地运用此法,可以省去判别式法中介二次不等式的过程.

例2：

求函数的值域：

.

解：

当且仅当时，即时等号成立，

，所以元函数的值域为.

例3.求函数的值域。

解：

原函数变形为：

当且仅当

即当时，等号成立

故原函数的值域为：

例4.求函数的值域。

解：

当且仅当，即当时，等号成立。

由可得：

故原函数的值域为：

（10）函数有界性法：

利用某些函数有界性求得原函数的值域。

对于对形如，由于正余弦函数都是有界函数，值域为[-1，1]，利用这个性质可求得其值域。

例1：

求函数的值域。

解：

由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得

，

∵，∴（，），

∴，∴，s

∴函数的值域为

形如可解出Yr范围,从而求出其值域或最值。

例2．求函数的值域

解：

由得

例3：

求函数的值域。

例4：

求函数的值域。

（11）数型结合法：

如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域，如由可联想到两点与连线的斜率或距离。

例1：

求函数y=|x+1|+|x-2|的值域。

解法1：

将函数化为分段函数形式：

，画出它的图象，由图象可知，函数的值域是{y|y3}。

解法2（几何法或图象法）：

∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+]。

如图

）

例2．求函数的值域。

　　点拨：

将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

　　解：

原函数变形为

作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。

设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,

KC=。

　　由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。

当A、K、C三点共线时取等号。

∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。

例3．求函数的值域。

解析：

令，，则，，，原问题转化为：

当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。

由图1知：

当经过点时，；

当直线与圆相切时，。

所以，值域为

例4.求函数的值域。

解：

将函数变形为

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。

即

由图可知：

（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有

即

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有

综上所述，可知函数的值域为

注：

求两距离之和时，通常需要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。

（12）复合函数法：

对函数，先求的值域充当的定义域，从而求出的值域的方法。

例1、求函数的值域

（复合函数法）设，

则

例2：

求函数的值域。

（13）非负数法

根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。

例1、

（1）求函数的值域。

（2）求函数的值域。

解析：

（1），

故所求函数的值域为。

（2），原函数可化为，即，当时，，，，解得

又，所以，

故所求函数的值域为。

（不等式性质法）

例2：

求下列函数的值域：

（1）y=；

（2）y=；（3）y=

（4）y=10-；

（2）y=；（3）y=

（14）导数法

若函数在内可导,可以利用导数求得在内的极值,然后再计算在,点的极限值.从而求得的值域.

例1：

求函数在内的值域.

分析:

显然在可导，且.由得的极值点为.

..

所以,函数的值域为.

（15）“平方开方法”

求函数值域的方法有很多种，如：

“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.

1.适合函数特征

设（）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：

（1）的值总是非负，即对于任意的，恒成立；

（2）具有两个函数加和的形式，即（）；

（3）的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即

（，为常数），

其中，新函数（）的值域比较容易求得.

2.运算步骤

若函数（）具备了上述的三个特征，则可以将先平方、再开方，从而得到（，为常数）.然后，利用的值域便可轻易地求出的值域.例如，则显然.

3.应用四例

能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧.

例1求函数（，）的值域.

解：

首先，当时，；

其次，是函数与的和；

最后，

可见，函数满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.对根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得的值域为.于是，的值域为.

例2求函数（，，）的值域.

解：

显然，该题就是例1的推广，且此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.对根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得的值域仍为.于是，的值域也仍为.

例3求函数（）的值域.

解：

参照例1的验证步骤，显然，此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.易知，的值域为.于是，的值域为.

例4求函数（）的值域.

解：

参照例1的验证步骤，显然，此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.易知，的值域为.于是，的值域为.

例5求函数的值域

解：

（平方法）函数定义域为：

平方法）函数定义域为：

（16）一一映射法

原理：

因为在定义域上x与y是一一对应的。

故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

例1.求函数的值域。

解：

∵定义域为

由得

故或

解得

故函数的值域为

（17）其他方法

其实，求解函数值域的方法，只不过是从解题过程中，对关键环节或典型步骤的一种称呼。

实际上，其解法也远非上面总结的16种方法，还有倒数法等。

此外我们还要明白：

多种方法的配合使用，以及一题采用多种方法，在不断积累过程中，体会不同方法的长短，和练就根据实际问题选择较为简捷方法的能力。

例1.求函数的值域。

解：

令，则

（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：

注：

先换元，后用不等式法

例2.求函数的值域。

解：

令，则

∴当时，

当时，

此时都存在，故函数的值域为

注：

此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。

例3.求函数的值域

解：

（图象法）如图，值域为

例4.求函数的值域

解（复合函数法）：

令，则

由指数函数的单调性知，原函数的值域为

例5.求函数的值域

解（三角代换法）：

设

小结：

（1）若题目中含有，则可设

（2）若题目中含有

则可设，其中

（3）若题目中含有，则可设，其中

（4）若题目中含有，则可设，其中

（5）若题目中含有，则可设。

其中

例6、求函数的值域

解法一：

（逆求法）

解法二：

（复合函数法）设，

则

解法三：

（判别式法）原函数可化为

1）时不成立

2）时，

综合1）、2）值域

解法四：

（三角代换法）设，则

原函数的值域为

小结：

已知分式函数，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数的单调性去解。

注：

此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

五、与函数值域有关的综合题

例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为λ（λ<1）,画面的上、下各留8cm的空白，左右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？

如果要求λ∈［］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？

解设画面高为xcm,宽为λxcm,则λx2=4840,设纸张面积为Scm2,

则S=（x+16）（λx+10）=λx2+（16λ+10）x+160,

将x=代入上式得S=5000+44（8+）,

当8=,即λ=<1）时S取得最小值

此时高x==88cm,　宽λx=×88=55cm[来源:

学科网][来源:

Zxxk.Com]

如果λ∈［］，可设≤λ1<λ2≤,

则由S的表达式得[来源:

学,科,网Z,X,X,K]

又≥,故8－>0,

∴S（λ1）－S（λ2）<0,∴S（λ）在区间［］内单调递增

从而对于λ∈［］,当λ=时，S（λ）取得最小值

答画面高为88cm,宽为55cm时，所用纸张面积最小如果要求λ∈［］,当λ=时，所用纸张面积最小

例2已知函数f（x）=,x∈［1,+∞

（1）当a=时，求函数f（x）的最小值

（2）若对任意x∈［1,+∞,f（x）>0恒成立，试求实数a的取值范围

解

（1）当a=时，f（x）=x++2[来源:

学科网]

∵f（x）在区间［1，+∞上为增函数，

∴f（x）在区间［1，+∞上的最小值为f

（1）=

（2）解法一在区间［1，+∞上，

f（x）=>0恒成立x2+2x+a>0恒成立

设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞[来源:

学科网ZXXK]

∵y=x2+2x+a=（x+1）2+a－1递增，[来源:

学,科,网]

∴当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时，函数f（x）>0恒成立，

故a>－3

解法二f（x）=x++2,x∈［1,+∞

当a≥0时，函数f（x）的值恒为正；

当a<0时，函数f（x）递增，故当x=1时，f（x）min=3+a,

当且仅当f（x）min=3+a>0时，函数f（x）>0恒成立，故a>－3[来源:

Z#xx#k.Com]

例3设m是实数，记M={m|m>1},f（x）=log3（x2－4mx+4m2+m+）

（1）证明当m∈M时，f（x）对所有实数都有意义；反之，若f（x）对所有实数x都有意义，则m∈M

（2）当m∈M时，求函数f（x）的最小值

（3）求证对每个m∈M,函数f（x）的最小值都不小于1

（1）证明先将f（x）变形f（x）=log3［（x－2m）2+m+］,

当m∈M时，m>1,∴（x－m）2+m+>0恒成立，

故f（x）的定义域为R

反之，若f（x）对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+>0,令Δ＜0,即16m2－4（4m2+m+）＜0,解得m>1,故m∈M

（2）解设u=x2－4mx+4m2+m+,

∵y=log3u是增函数，∴当u最小时，f（x）最小

而u=（x－2m）2+m+,

显然，当x=m时，u取最小值为m+,

此时f（2m）=log3（m+）为最小值

（3）证明当m∈M时，m+=（m－1）++1≥3,

当且仅当m=2时等号成立

∴log3（m+）≥log33=1