平行四边形练习题及答案.docx
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平行四边形练习题及答案
平行四边形练习题及答案
20.1平行四边形的判定
一、选择题
1．四边形ABCD，从
（1）AB∥CD；
（2）AB=CD；（3）BC∥AD；（4）BC=AD这四个条件中任选两个，其中能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）
A．3种B．4种C．5种D．6种
2．四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为一组对边边长，c，d为另一组对边边长且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形是（）
A．任意四边形B．平行四边形
C．对角线相等的四边形D．对角线垂直的四边形
3．下列说法正确的是（）
A．若一个四边形的一条对角线平分另一条对角线，则这个四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形
C．一组对边相等的四边形是平行四边形
D．有两个角相等的四边形是平行四边形
二、填空题
4．在□ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的两动点，点E从点A向D运动，点F从C向B运动，点E的速度m与点F的速度n满足_______关系时，四边形BFDE为平行四边形．
5．如图1所示，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，连结EF，若再增加一个条件_______，就可以推出BE=DF．
图1图2
6．如图2所示，AO=OC，BD=16cm，则当OB=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．
三、解答题
7．如图所示，四边形ABCD中，对角线BD=4，一边长AB=5，其余各边长用含有未知数x的代数式表示，且AD⊥BD于点D，BD⊥BC于点B．问：
四边形ABCD是平行四边形吗？
为
什么？
四、思考题
8．如图所示，在□ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AF=CE，则线段DE与BF的长度相等吗？
参考答案
一、1．B点拨：
可选择条件
（1）（3）或
（2）（4）或
（1）
（2）或（3）（4）．
故有4种选法．
2．B点拨：
a2+b2+c2+d2=2ab+2cd即（a-b）2+（c-d）2=0，
即（a-b）2=0且（c-d）2=0．所以a=b，c=d，即两组对边分别相等，
所以四边形为平行四边形．
3．B点拨：
熟练掌握平行四边形的判定定理是解答这类题目的关键．
二、4．相等点拨：
利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来确定．
5．AE=CF点拨：
本题答案不惟一，只要增加的条件能使四边形EBFD是平行四边形即可．
6．8点拨：
根据对角线互相平分的四边形为平行四边形来进行判别．
三、7．解：
如图所示，四边形ABCD是平行四边形．理由如下：
在Rt△BCD中，根据勾股定理，得BC2+BD2=DC2，
即（x-5）2+42=（x-3）2，解得x=8．
所以AD=11-8=3，BC=x-5=3，DC=x-3=8-3=5，
所以AD=BC，AB=DC．所以四边形ABCD是平行四边形．
点拨：
本题主要告诉的是线段的长度，故只要说明AD=BC，AB=DC即可，本题也可在Rt△ABD中求x的值．
四、8．解：
线段DE与BF的长度相等；连结BD交AC于O点，连结DF，BE，
如图所示．在ABCD中，DO=OB，AO=OC，又因为AF=EC，
所以AF-AO=CE-OC，即OF=OE，所以四边形DEBF是平行四边形，所以DE=BF．
点拨：
本题若用三角形全等，也可以解答，但过程复杂，学了平行四边形性质后，要学会应用．
20.2矩形的判定
一、选择题
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）
A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相垂直
2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（）
①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．
A．1B．2C．3D．4
3．下列命题中，正确的是（）
A．有一个角是直角的四边形是矩形B．三个角是直角的多边形是矩形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D．有三个角是直角的四边形是矩形
二、填空题
4．如图1所示，矩形ABCD中的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm，则矩形的对角线的长为_____．
DEC
FAB
图1图2
5．若四边形ABCD的对角线AC，BD相等，且互相平分于点O，则四边形ABCD是_____形，若∠AOB=60°，那么AB：
AC=______．
6．如图2所示，已知矩形ABCD周长为24cm，对角线交于点O，OE⊥DC于点E，OF⊥AD于点F，OF-OE=2cm，则AB=______，BC=______．
三、解答题
7．如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H两点，试说明四边形EFGH是矩形．
四、思考题
8．如图所示，△ABC中，CE，CF分别平分∠ACB和它的邻补角∠ACD．AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB，AC于M，N两点，则四边形AECF是矩形吗？
为什么？
参考答案
一、1．C点拨：
A与B都是平行四边形的性质，而D是一般矩形与平行四边形都不具有的性质．
2．B点拨：
③是矩形的判定定理；④中对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故④能判定矩形，应选B．
3．D点拨：
选项D是矩形的判定定理．
二、4．8cm
5．矩；1：
2点拨：
利用对角线互相平分来判定此四边形是平行四边形，再根据对角线相等来判定此平行四边形是矩形．由矩形的对角线相等且互相平分，可知△AOB是等腰三角形，又因为∠AOB=60°，所以AB=AO=
6．8cm；4cm
三、7．解：
在□ABCD中，因为AD∥BC，所以∠DAB+∠CBA=180°，1AC．2
又因为∠HAB=11∠DAB，∠HBA=∠CBA．22
所以∠HAB+∠HBA=90°，所以∠H=90°．
同理可求得∠HEF=∠F=∠FGH=90°，
所以四边形EFGH是矩形．
点拨：
由于“两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直”，所以很容易求出四边形EFGH的四个角都是直角，从而求得四边形EFGH是矩形．
四、8．解：
四边形AECF是矩形．理由：
因为CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，所以∠ACE=111∠ACB，∠ACF=∠ACD．所以∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°．222
又因为AE⊥CE，AF⊥CF，所以∠AEC=∠AFC=90°，所以四边形AECF是矩形．
点拨：
本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论．还可以通过证其为平行四边形，再证有一个角为直角得出结论．
20.3菱形的判定
一、选择题
1．下列四边形中不一定为菱形的是（）
A．对角线相等的平行四边形B．每条对角线平分一组对角的四边形
C．对角线互相垂直的平行四边形D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形
2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）．
A．1种B．2种C．3种D．4种
3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）
A．8cm和
cmB．4cm和
．8cm和
．4cm和
二、填空题
4．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）
图1图2
5．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）
6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：
∠ABC=1：
2，则BD=_____，菱形的面积是______．
7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．
三、解答题
8．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？
说明理由．
四、思考题
9．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？
试说明理由．
参考答案
一、1．A点拨：
本题用排除法作答．
2．D点拨：
根据菱形的判定方法判断，注意不要漏解．
3．C点拨：
如图所示，若∠ABC=60°，则△ABC为等边三角形，
所以AC=AB=11×32=8（cm），AO=AC=4cm．42
因为AC⊥BD，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
所以
cm．
cm），
二、4．AB=BC点拨：
还可添加AC⊥BD或∠ABD=∠CBD等．
5．点D在∠BAC的平分线上（或AE=AF）
6．12cm；
cm2
点拨：
如图所示，过D作DE⊥AB于E，
因为AD∥BC，所以∠BAD+∠ABC=180°．
又因为∠BAD：
∠ABC=1：
2，所以∠BAD=60°，
因为AB=AD，所以△ABD是等边三角形，所以BD=AD=12cm．所以AE=6cm．
在Rt△AED中，由勾股定理，得AE2+ED2=AD2，62+ED2=122，所以ED2=108，所以
，所以S菱形ABCD=12×
cm2）．
7．4；
点拨：
如图所示，因为DE垂直平分AB，
又因为DA=AB，所以DA=DB=4．所以△ABD是等边三角形，所以∠BAD=60°，
由已知可得AE=2．在Rt△AED中，AE+DE=AD，即2+DE=4，所以DE=12，
所以
***-*****1ACBD=ABDE，即AC
22
三、8．解：
四边形ABCD是菱形，因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，
所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD是菱形．
点拨：
根据已知条件，不难得出四边形ABCD为平行四边形，又AB=BC，即一组邻边相
等，由菱形的定义可以判别该四边形为菱形．
四、9．解：
四边形PCOD是菱形．理由如下：
因为PD∥OC，PC∥OD，所以四边形PCOD是平行四边形．
又因为四边形ABCD是矩形，所以OC=OD，
所以平行四边形PCOD是菱形．
20.4正方形的判定
一、选择题
1．下列命题正确的是（）
A．两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形
B．两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形
D．一组邻边相等的平行四边形是正方形
2．矩形四条内角平分线能围成一个（）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
二、填空题
3．已知点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，要使四边形ADEF是正方形，还需要添加条件_______．
4．如图1所示，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线L的距离分别是1和2，则正方形ABCD的边长是_______．
图1图2图3
5．如图2所示，四边形ABCD是正方形，点E在BC的延长线上，BE=BD且AB=2cm，则∠E的度数是______，BE的长度为____．
6．如图3所示，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE=1，F为AB上一点，AF=2，P为AC上一动点，则当PF+PE取最小值时，PF+PE=______．
三、解答题
7．如图所示，在Rt△ABC中，CF为∠ACB的平分线，FD⊥AC于D，FE⊥BC于点E，试说明四边形CDFE是正方形．
E
四、思考题CDA
8．已知如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的点，且AE=BF，请问：
（1）AF与DE相等吗？
为什么？
（2）AF与DE是否垂直？
说明你的理由．
参考答案
一、1．C点拨：
对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形一定是正方形，故选C．
2．D点拨：
由题意画出图形后，利用“一组邻边相等的矩形是正方形”来判定．
二、3．△ABC是等腰直角三角形且∠BAC=90°
点拨：
还可添加△ABC是等腰三角形且四边形ADEF是矩形或∠BAC=90°且四边形ADEF是菱形等条件．
4
点拨：
观察图形易得两直角三角形全等，由全等三角形的性质和勾股定理得
5．67.5°；
cm
点拨：
因为BD是正方形ABCD的对角线，
所以∠DBC=45°，AD=AB=2cm．
在Rt△BAD中，由勾股定理得AD2+AB2=BD2，即22+22=BD2，
所以
，所以
（cm），
又因为BE=BD，所以∠E=∠EDB=1（180°-45°）=67.5°．2
6
点拨：
如图所示，作F关于AC的对称点G．连结EG交AC于P，
则PF+PE=PG+PE=GE为最短．过E作EH⊥AD．
在Rt△GHE中，HE=4，HG=AG-AH=AF-BE=1，所以
，即
三、7．解：
因为∠FDC=∠FEC=∠BCD=90°，所以四边形CDFE是矩形，
因为CF平分∠ACB，FE⊥BC，FD⊥AC，所以FE=FD，所以矩形CDFE是正方形．
点拨：
本题先说明四边形是矩形，再求出有一组邻边相等，还可以先说明其为菱形，再求其一个内角为90°．
四、8．解：
（1）相等．理由：
在△ADE与△BAF中，AD=AB，∠DAE=∠ABF=90°，AE=BF，所以△ADE≌△BAF（S．A．S．），所以DE=AF．
（2）AF与DE垂直．理由：
如图，设DE与AF相交于点O．
因为△ADE≌△BAF，所以∠AED=∠BFA．又因为∠BFA+∠EAF=90°，
所以∠AEO+∠EAO=90°，所以∠EOA=90°，所以DE⊥AF．
20.5等腰梯形的判定
一、选择题
1．下列结论中，正确的是（）
A．等腰梯形的两个底角相等B．两个底角相等的梯形是等腰梯形
C．一组对边平行的四边形是梯形D．两条腰相等的梯形是等腰梯形
2．如图所示，等腰梯形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
则图中全等三角形有（）
A．2对B．3对C．4对D．5对
3．课外活动课上，老师让同学们制作了一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm，则两条对角线所用的竹条长度之和至少为（）
A．
cmB．30cmC．60cmD．
cm
二、填空题
4．等腰梯形上底，下底和腰分别为4，10，5，则梯形的高为_____，对角线为______．
5．一个等腰梯形的上底长为5cm，下底长为12cm，一个底角为60°，则它的腰长为____cm，周长为______cm．
6．在四边形ABCD中，AD∥BC，但AD≠BC，若使它成为等腰梯形，则需要添加的条件是__________（填一个正确的条件即可）．
三、解答题
7．如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，DE=AC，AD≠EC．
求证：
四边形ADCE是等腰梯形．
四、思考题
8．如图所示，四边形ABCD中，有AB=DC，∠B=∠C，且ADBC，四边形ABCD是等腰梯形吗？
为什么？
参考答案
一、1．D点拨：
梯形的底角分为上底上的角和下底上的角，因此在等腰梯形的性质和判别方法中必须强调同一底上的两个内角（指上底上的两个内角或下底上的两个内角），否则就会出现错误，因此A，B选项都不正确，而C选项中漏掉了限制条件另外一组对边不平行，若平行该四边形就形成了平行四边形了，因此应选D．
2．B点拨：
因为△ABC≌△DCB，△BAD≌△CDA，△AOB≌△DOC，
所以共有3对全等的三角形．
3．C点拨：
设该等腰梯形对角线长为Lcm，因为两条对角线互相垂直，所以梯形面积为12L=450，解得L=30，2
所以所用竹条长度之和至少为2L=2×30=60（cm）．
二、4．4
点拨：
如图所示，连结BD，过A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．易知△BAE≌△CDF，在四边形AEFD为矩形，所以BE=CF=3，AD=EF=4．
在Rt△CDF中，FC2+DF2=CD2，即32+DF2=52，
所以DF=4，在Rt△BFD中，BF2+DF2=BD2，即72+42=BD2，所以
5．7；31
点拨：
如图所示，过点D作DE∥AB交BC于E．
因为AD∥BC，AB∥DE，所以四边形ABED是平行四边形．
所以BE=AD=5（cm），AB=DE．
又因为AB=CD，所以DE=DC，
又因为∠C=60°，所以△DEC是等边三角形，
所以DE=DC=EC=7（cm），所以周长为5+12+7+7=31（cm）．
6．AB=CD（或∠A=∠D，或∠B=∠C，或AC=BD，或∠A+∠C=180°，或∠B+∠D=180°）
三、7．证明：
因为AB∥ED，所以∠BAD=∠ADE．
又因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD，所以∠CAD=∠ADE，
所以OA=OD．又因为AC=DE，所以AC-OA=DE-OD即OC=OE，所以∠OCE=∠OEC，
又因为∠AOD=∠COE，所以∠CAD=∠OCE．所以AD∥CE，
而AD≠CE，故四边形ADCE是梯形．
又因为∠CAD=∠ADE，AD=DA，AC=DE，所以△DAC≌△ADE，所以DC=AE，
所以四边形ADCE是等腰梯形．
点拨：
证明一个四边形是等腰梯形时，应先证其是梯形而后再证两腰相等或同一底上的
两个角相等．
四、8．解：
四边形ABCD是等腰梯形．
理由：
延长BA，CD，相交于点E，如图所示，由∠B=∠C，可得EB=EC．
又AB=DC，所以EB-AB=EC-DC，即AE=DE，所以∠EAD=∠EDA．
因为∠E+∠EAD+∠EDA=180°，∠E+∠B+∠C=180°，所以∠EAD=∠B．
故AD∥BC．又ADBC，所以四边形ABCD是梯形．
又AB=DC，所以四边形ABCD是等腰梯形．
点拨：
由题意可知，只要推出AD∥BC，再由ADBC就可知四边形ABCD为梯形，再由AB=DC，即可求得此四边形是等腰梯形，由∠B=∠C联想到延长BA，CD，即可得到等腰三角形，从而使AD∥BC．
华东师大版数学八年级（下）
第20章平行四边形的判定测试
（答卷时间：
90分钟，全卷满分：
100分）
姓名一、认认真真选，沉着应战！
（每小题3分，共30分）
1.正方形具有菱形不一定具有的性质是（）
（A）对角线互相垂直（B）对角线互相平分（C）对角线相等（D）对角线平分一组对角
2.如图
（1），EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（）（A）
E
C1113（B）（C）（D）*****DF
BAFCDH
（1）
（2）（3）
3．在梯形ABCD中，AD∥BC，那么A:
B:
C:
D可以等于（）
（A）4：
5：
6：
3（B）6：
5：
4：
3（C）6：
4：
5：
3（D）3：
4：
5：
6
4．如图
（2），平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若ABCD的周长为48，DE＝5，DF＝10，则ABCD的面积等于（）
（A）87.5（B）80（C）75（D）72.5
5．A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD;②AB=CD;③BC∥AD;④BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）
（A）3种（B）4种（C）5种（D）6种
6．如图（3），D、E、F分别是ABC各边的中点，AH是高，如果ED5cm，那么HF的长为（）
（A）5cm（B）6cm（C）4cm（D）不能确定
7.如图（4）：
E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q
，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值是（）
（A）12
（B）（C）（D）3222
8．如图（5），在梯形ABCD中，AD∥BC，ABCD，C60，BD平分ABC，如果这个梯形的周长为30，则AB的长（）
（A）4（B）5（C）6（D）7
DP（5）
C（4）9．右图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．
已知其中每个菱形的边长为20cm，墙上悬挂晾衣架的两
个铁钉A、B之间的距离为20cm，则∠1等于（）A
C（A）90°（Ｂ）60°
（Ｃ）45°（Ｄ）30°
10．某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：
对于任意正数a、b，都有a+b≥2ab成立．某同学在做一个面积为3600cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来做对角线用的竹条至少需要准备xcm．则x的值是（）
（A）1202（B）602（C）120
（D）60
二、仔仔细细填，记录自信！
（每小题2分，共20分）
11．一个四边形四条边顺次是a、b、c、d，且a2b2c2d22ac2bd，则这个四边
形是_______________．
12．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从
（1）ABCD；
（2）AB∥CD；
（3）OAOC；（4）OBOD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如
（1）
（2）（5）ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：
ABC是菱形；D
ABC是菱形．D
13.如图，已知直线l把ABCD分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l所在位置需满足的条件是____________________.（只需填上一个你认为合适的条件）
lD
C
（第13题）（第16题）
14.梯形的上底长为6cm，过上底的一顶点引一腰的平行线，与下底相交，所构成的三角形
周长为21cm，那么梯形的周长为_________cm。
15.已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为3：
4，则菱形的面积为________.
16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC8cm，BD6cm，则此梯形的高为cm．
17.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B与∠C互余，AD=5,BC=13,M、N分别为AD、BC的中点，则MN的长为_________.
M
B
NC
（第17题）（第18题）（第19题）
18.如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为
矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于.
19.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=
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