小学数学教师招聘考试专业知识.docx

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小学数学教师招聘考试专业知识

数学教师招聘考试专业知识复习

一、复习要求（由于招考题目仅为高考知识，所以本内容以均为高考知识点）

1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；

2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；

3、理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；

4、理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关

系；

5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

二、学习指导

1、集合的概念：

（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；

（2）集合的分类：

①按元素个数分：

有限集，无限集；

②按元素特征分；数集，点集。

如数集{y|y=x

2}，表示非负实数集，点集{（x，

y）|y=x

2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；

（3）集合的表示法：

①列举法：

用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，⋯}；

②描述法。

2、两类关系：

（1）元素与集合的关系，用或表示；

（2）集合与集合的关系，用，，=表示，当AB时，称A是B的子集；

当AB时，称A是B的真子集。

3、集合运算

（1）交，并，补，定义：

A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，

CUA=｛x|x∈U，且xA｝，集合U表示全集；

（2）运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）

∪（CUB），

CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。

4、命题：

（1）命题分类：

真命题与假命题，简单命题与复合命题；

（2）复合命题的形式：

p且q，p或q，非p；

（3）复合命题的真假：

对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中

1

有一个为假时，其为假。

对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中

有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。

（3）四种命题：

记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆

命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。

其中互为逆否的两个命题

同真假，即等价。

因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。

5、充分条件与必要条件

（1）定义：

对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，

q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条

件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；

（2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题

是结论，其次，结论要分四种情况说明：

充分不必要条件，必要不充分条件，充

分且必要条件，既不充分又不必要条件。

从集合角度看，若记满足条件p的所有

对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合B，则当AB时，p是q的充

分条件。

BA时，p是q的必要条件。

A=B时，p是q的充要条件；

（3）当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。

6、反证法是中学数学的重要方法。

会用反证法证明一些代数命题。

7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。

学会用集合的思

想处理数学问题。

函数

一、复习要求

7、函数的定义及通性；

2、函数性质的运用。

二、学习指导

1、函数的概念：

（1）映射：

设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一

元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：

A→B，f表示对应法则，

b=f（a）。

若A中不同元素的象也不同，则称映射为单射，若B中每一个元素都有

原象与之对应，则称映射为满射。

既是单射又是满射的映射称为一一映射。

（2）函数定义：

函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为

定义域，象集C={f（x）|x∈A}为值域。

定义域，对应法则，值域构成了函数的三

要素，从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。

逆过

2

来，值域也会限制定义域。

求函数定义域，通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。

要熟记基本初

等函数的定义域，通过四则运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义

域的交集。

复合函数定义域，不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数对

应法则的要求。

理解函数定义域，应紧密联系对应法则。

函数定义域是研究函数

性质的基础和前提。

函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。

其中解析式是最常见的表现

形式。

求已知类型函数解析式的方法是待定系数法，抽象函数的解析式常用换元

法及凑合法。

求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，

基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函

数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便。

在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题，它的一种典型处

理方法就是建立函数解析式，借助于求函数值域的方法。

2、函数的通性

（1）奇偶性：

函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利

用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如

f（x）（f（x）≠0）。

f，1

（x）f（x）0

f（x）

奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称。

函数的奇偶性是定义域上的普遍性质，定义式是定义域上的恒等式。

利用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤。

（2）单调性：

研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域

的子集。

判断函数单调性的方法：

①定义法，即比差法；②图象法；③单调性的运算

性质（实质上是不等式性质）；④复合函数单调性判断法则。

函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式。

函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，

如比较大小，解抽象函数不等式等。

（3）周期性：

周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要

手段。

求周期的重要方法：

①定义法；②公式法；③图象法；④利用重要结论：

若

3

函数f（x）满足f（a-x）=f（a+x），f（b-x）=f（b+x），a≠b，则T=2|a-b|。

（4）反函数：

函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一，在求反函数

之前首先要判断函数是否具备反函数，函数f（x）的反函数f

-1（x）的性质与f（x）

性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f

-1（x）的

问题化归为函数f（x）的问题是处理反函数问题的重要思想。

设函数f（x）定义域为A，值域为C，则

f

-1[f（x）]=x，x∈A

f[f

-1（x）]=x，x∈C

8、函数的图象

函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在

解题过程中，充分发挥图象的工具作用。

图象作法：

①描点法；②图象变换。

应掌握常见的图象变换。

4、本单常见的初等函数；一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，

对数函数。

在具体的对应法则下理解函数的通性，掌握这些具体对应法则的性质。

分段函数是重要的函数模型。

对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用赋值法（变量

代换法）解题。

联系到具体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口。

应用题是函数性质运用的重要题型。

审清题意，找准数量关系，把握好模型

是解应用题的关键。

5、主要思想方法：

数形结合，分类讨论，函数方程，化归等。

数列

一、复习要求

9、等差数列及等比数列的定义，通项公式，前n项和公式及性质；

2、一般数列的通项及前n项和计算。

二、学习指导

1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法

则就是函数的对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：

第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表

示。

研究数列，首先研究对应法则——通项公式：

an=f（n），n∈N+，要能合理地

由数列前n项写出通项公式，其次研究前n项和公式Sn：

Sn=a1+a2+⋯an，由Sn定

4

义，得到数列中的重要公式：

Sn1

1

n。

a

SSn2

nn1

一般数列的an及Sn,，除化归为等差数列及等比数列外，求Sn还有下列基本

题型：

列项相消法，错位相消法。

2、等差数列

（1）定义，{an}为等差数列an+1-an=d（常数），n∈N+2an=an-1+an+1（n≥2，

n∈N+）；

（2）通项公式：

an=an+（n-1）d，an=am+（n-m）d；

前n项和公式：

n（n1）n（aa）

1n

n；

1

Snad

22

（3）性质：

an=an+b，即an是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差；

Sn=ann是n的不含常数项的二次函数；

2+bn，即S

k

若{an}，{bn}均为等差数列，则{an±nn},{

a},{kan+c}（k，c为常数）均

k

i1

为等差数列；

当m+n=p+q时，am+an=ap+aq，特例：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=⋯；

当2n=p+q时，2an=ap+aq；

当n为奇数时，S2n-1=（2n-1）an；S

奇=

n1a

2

中，S

偶=

n1a

2

中。

3、等比数列

（1）定义：

a

n

a

n

1

=q（q为常数，an≠0）；ann-1an+1（n≥2，n∈N+）；2=a

2=a

（2）通项公式：

an=a1qn=amq

n-1，an-m;

na

1

q1

前n项和公式：

n；

a（1q）aaq

n

S1n

1

q1

1q1q

（3）性质

当m+n=p+q时，aman=apaq，特例：

a1an=a2an-1=a3an-2=⋯，

当2n=p+q时，anpaq，数列{kan}，{2=a

2=a

k

a}成等比数列。

i

i1

4、等差、等比数列的应用

（1）基本量的思想：

常设首项、公差及首项、公比为基本量，借助于消元思

想及解方程组思想等；

（2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算；

5

三角函数

一、复习要求

10、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；

2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；

3、三角函数的图象及性质。

二、学习指导

1、角的概念的推广。

从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及

大于360

0的角。

这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定

（通常把角的始边放在x轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同）。

为了把握

这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以

表示成k·360

0+α的形式，特例，终边在x轴上的角集合{α|α=k·1800，k∈

Z}，终边在y轴上的角集合{α|α=k·180

0+900，k∈Z}，终边在坐标轴上的角的

集合{α|α=k·90

0，k∈Z}。

在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再

确定大小。

弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特

殊角的弧度制。

在弧度制下，扇形弧长公式=|α|R，扇形面积公式

S

1

2

R

1

2

R

2，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

||

2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角

数。

三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。

重视用数学定义解

题。

22

设P（x，y）是角α终边上任一点（与原点不重合），记

r，则

|OP|xy

y

sin，

r

x

cos，

r

y

tan，

x

x

cot。

y

k与α之间函数值关利用三角函数定义，可以得到

（1）诱导公式：

即t

2

系（k∈Z），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；

（2）同角三角函数关系式：

平方关系，倒数关系，商数关系。

3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，

6

2

对公式要熟练地正用、逆用、变用。

如倍角公式：

cos2α=2cosα-1=1-2sin

2

α，

1cos21cos2

22，可以作为降幂公式使用。

变形后得

cos,sin

22

三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准

备。

4、三角函数的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种函数所没有的

周期性。

周期性的定义：

设T为非零常数，若对f（x）定义域中的每一个x，均有

f（x+T）=f（x），则称T为f（x）的周期。

当T为f（x）周期时，kT（k∈Z，k≠0）也

为f（x）周期。

三角函数图象是性质的重要组成部分。

利用单位圆中的三角函数线作函数图

象称为几何作图法，熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。

5、本章思想方法

（1）等价变换。

熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；

（2）数形结合。

充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解

题；

（3）分类讨论。

平面向量

一、复习要求

11、向量的概念；

2、向量的线性运算：

即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数

量积等的定义，运算律；

3、向量运算的运用

二、学习指导

1、向量是数形结合的典范。

向量的几何表示法——有向线段表示法是运用

几何性质解决向量问题的基础。

在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以

给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。

向量运算中的基本图形：

①向量加减法则：

三角形或平行四边形；②实数与

向量乘积的几何意义——共线；③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终

点共线等。

7

12、向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运

算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。

每一种运算都可以有

三种表现形式：

图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下：

运算图形语言符号语言坐标语言

OA+OB=OC

记OA=（x1,y

1），

OB-OA=ABOB=（x1,y

2）

则OA+OB=（x1+x2,y1+y2）

加法与减法

OB-OA=（x2-x

1,y2-y1）

OA+AB=OB

实数与向量

AB=λa记a=（x,y）

的乘积

λ∈R

则λa=（λx,λy）

两个向量

的数量积

a·b=|a||b|

记a=（x1,y

1）,b=（x2,y2）

cos则a·b=x1x2+y1y2

13、运算律

加法：

a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）

实数与向量的乘积：

λ（a+b）=λa+λb；（λ+μ）a=λa+μa，λ（μ

a）=（λμ）a

两个向量的数量积：

a·b=b·a；（λa）·b=a·（λb）=λ（a·b），

（a+b）·c=a·c+b·c

说明：

根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积

的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如（a±

8

b）

2=

2

a2abb

2

14、重要定理、公式

（1）平面向量基本定理；如果

e+e2是同一平面内的两个不共线向量，那么

1

对于该平面内任一向量a，有且只有一对数数λ1，λ2，满足a=λ1e1+λ

2e2，

称λ1e1λ+λ2e2为e1，e2的线性组合。

根据平面向量基本定理，任一向量a与有序数对（λ1,λ2）一一对应，称（λ1,

λ2）为a在基底{e1，e2}下的坐标，当取{e1，e2}为单位正交基底{i，j}时

定义（λ1，λ2）为向量a的平面直角坐标。

向量坐标与点坐标的关系：

当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，

即若A（x，y），则OA=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐

标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则AB=（x2-x1,y2-y1）

（2）两个向量平行的充要条件

符号语言：

若a∥b，a≠0，则a=λb

坐标语言为：

设a=（x1,y1），b=（x2,y2），则a∥b（x1,y1）=λ（x2,y2），即

x

1

y

1

x

y

2

2

，或x1y2-x2y1=0

在这里，实数λ是唯一存在的，当a与b同向时，λ>0；当a与b异向时，

λ<0。

|a|

|λ|=

，λ的大小由a及b的大小确定。

因此，当a，b确定时，λ的符号与

|b|

大小就确定了。

这就是实数乘向量中λ的几何意义。

（3）两个向量垂直的充要条件

符号语言：

a⊥ba·b=0

坐标语言：

设a=（x1,y

1）,b=（x2,y2），则a⊥bx1x2+y1y2=0

（4）线段定比分点公式

9

如图，设P1PPP2

1

则定比分点向量式：

OPOP1OP2

11

定比分点坐标式：

设P（x,y），P1（x1,y1），P2（x2,y2）

则

x

y

x

1

1

y

1

1

x

y

2

2

特例：

当λ=1时，就得到中点公式：

1

OP12，

（OPOP）

2

x

1

y

1

xx

12

2

yy

12

2

实际上，对于起点相同，终点共线三个向量OP，OP1，OP2（O与P1P2不共

线），总有OP=uOP1+vOP2，u+v=1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示

第三个向量，且系数和为1。

（5）平移公式：

①点平移公式，如果点P（x，y）按a=（h，k）平移至P’（x’，y’），则

x'

y'

x

y

h

k

分别称（x，y），（x’，y’）为旧、新坐标，a为平移法则

在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中，已知两组坐标，一定可以求第三

组坐标

②图形平移：

设曲线C：

y=f（x）按a=（h，k）平移，则平移后曲线C’对应的

解析式为y-k=f（x-h）

当h，k中有一个为零时，就是前面已经研究过的左右及上下移

利用平移变换可以化简函数解析式，从而便于研究曲线的几何性质

（6）正弦定理，余弦定理

abc

正弦定理：

2R

sinAsinBsinC

余弦定理：

a

2=b2+c2-2cbcosA

b

2=c2+a2-2cacosB

c

2=a2+b2-2abcosc

10

定理变形：

cosA=

2

b

2

c

2bc

2

a

，cosB=

2

c

2

a

2ac

2

b

a

，cosC=

2

2

b

2ab

2

c

正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。

通过阅读课本，

理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。

5、向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。

利用向量可以证明线

线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题

的“程序性”特点。

不等式

一、复习要求

15、不等式的概念及性质；

2、不等式的证明；

3、不等式的解法；

4、不等式的应用。

二、学习指导

1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

不等式的基本性质有：

（1）对称性或反身性：

a>bb

（2）传递性：

若a>b，b>c，则a>c；

（3）可加性：

a>ba+c>b+c，此法则又称为移项法则；

（4）可乘性：

a>b，当c>0时，ac>bc；当c<0时，ac

不等式运算性质：

（1）同向相加：

若a>b，c>d，则a+c>b+d；

（2）正数同向相乘：

若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。

特例：

（3）乘方法则：

若a>b>0，n∈N+，则anbn；

11

（4）开方法则：

若a>b>0，n∈N+，则n

an；

b

（5）倒数法则：

若ab>0，a>b，则

11。

ab

掌握不等式的性质，应注意：

（1）条件与结论间的对应关系，如是“”符号还是“”符号；

（2）不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。

2、均值不等式；利用完全平方式的性质，可得a

2+b2≥2ab（a，b∈R），该

11

不等式可推广为a2+b2≥2|ab|；或变形为|ab|≤

2+b2≥2|ab|；或变形为|ab|≤

2

a

2

b

2

；

当a，b≥0时，a+b≥2ab或ab≤

2

ab.

2

在具体条件下选择适当的形式。

3、不等式的证明：

（1）不等式证明的常用方法：

比较法，公式法，分析法，反证法，换元

法，放缩法；

（2）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；

（3）证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。

4、不等式的解法：

解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一

步的变形都要恒等。

一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基

本题型。

利用序轴标根法可以解分式及高次不等式。

含参数的不等式应适当分类讨论。

5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。

在解决问题过程中，应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。

用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之

一。

研究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。

直线和圆的方程

一、复习要求

16、直线方程的五种表现形式，如何求直线方程；二元一次不等式的几

何意义及运用。

2、圆的方程三种形式，如何求圆的方程。

3、直线和圆位置关系的研究。

二、学习指导

2、曲线和方程是中学数学的两种常见研究对象。

借助于平面直角坐标系，

形和数可以得到高度的统一，它们最基本的对应关系是点和有序数对的一

12

一对应。

当点运动形成轨迹时，对应坐标便会满足一个方程。

当曲线C

和方程F（x，y）=0满足如下关系时：

①曲线C上点的坐标都是方程F（x，

y）=0的解；②以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上，则称曲

线C为方程F（x，y）=0表示的曲线；方程F（x，y）=