全国三卷详细解析.docx
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全国三卷详细解析
．选择题
1、已知集合A{1,0,1,2},B{x|x21}，则AB（）
A.{1,0,1}
B.B.{0,1}
C.C.{1,1}
D.D.{0,1,2}
答案：
A
解答：
2
B{x|x21}{x|1x1}，所以AB{1,0,1}.
2.若z（1i）2i，则z（）
A.1i
B.1i
C.1i
D.1i
答案：
D
解答：
3.《西游记》《三国演义》
水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅
读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数
与该校学生总数比值的估计值为（）
A.0.5
B.0.6
C.0.7
D.0.8
答案：
C
解答：
9080600.7
1000.7
4.（12x2）（1x）4的展开式中x3的系数为（）
A.12
B.16
C.20
D.24
答案：
A
解答：
由题意可知含x3的项为1C431x32x2C1413x12x3，所以系数为12.
5.已知各项均为正数的等比数列
an的前4项和为15，且a53a34a1，则a3（）
A.16
C.4
D.2
答案：
C
解答：
设该等比数列的首项a1，公比q，由已知得，a1q43a1q24a1，
23因为a10且q0，则可解得q2，又因为a1（1qq2q3）
2即可解得a11，则a3a1q24.
6.已知曲线yaexxlnx在点（1，ae）处的切线方程为y2x
A.ae,b1
B.ae,b1
C.ae1,b1
D.ae1,b1
答案：
D
解析：
令f（x）aexxlnx，则f（x）aexlnx1，f
（1）ae1
15，
b，则（）
2，得a1e1.e
f
（1）ae2b，可得b1.故选D.
7.函数y
2x3
2x
2x
在[6,6]的图像大致为
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
2x3
∵yf（x）2x2x2x，∴
f（x）
2（
x）3
2x3
f（x），∴f（x）为奇函数，
2x
2x
f（x）
2x2x
2
排除选项C.又∵f（4）24
24
43
243
8，
根据图像进行判断，可知选项B符合题意
24
24
8.如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（）
A.，且直线，是相交直线
B.，且直线，是相交直线
C.，且直线，是异面直线
D.，且直线，是异面直线
答案：
解析：
因为直线，都是平面内的直线，且不平行，即直线，是相交直线，设正方形
的边长为
得
，则由题意可得：
，根据余弦定理可
：
，
，所以，故选B.
9.执行右边的程序框图，如果输出为，则输出的值等于（）
答案：
C
解析：
第一次循环：
；
第二次循环：
；
第三次循环：
；
第四次循环：
；
答案:
A解析：
由双曲线的方程
2x
2y
0
y
2x
PFO
中|PO|
|PF|
4
2
可得一
条渐近线方程为
2；
在
过点P做
PH
垂
直OF
因为tanPOF=
2
PO
3
2得
到
2;
所以
1
SPFO
3
6
32
224;故选A;
11.f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0,）单调递减，则（）若
132
A.f（log3）f（22）f（23）
4
123
B.f（log31）f（23）f（22）
4
321
C.f（22）f（23）f（log3）
4
231
D.f（23）f（22）f（log3）
4
答案：
C
解析:
f（22）f（23）f（log341）
4；故选C.
12.设函数f（x）sinx
0，已知f（x）在0，2有且仅有5个零点，下述四
个结论：
○3f（x）在0,单调递增
10
○4的取值范围是12,29
○5,10
其中所有正确结论的编号是
A.○1○4B.○2○3
答案：
D
解析：
根据题意，画出草图，由图可知2x1,x2，
24
x1
5
x1
由题意可得，
5
，解得5，
6
29
x2
x2
5
25
所以24
2
29
解得
12
29，故○4对；
5
5
5
10
令x
得
x
3
0，∴
图像中y轴右侧第一个最值点为最大值点，故○1对；
5
2
10
∵2x1,
x2，
f（x）在
0,2
有2个或3个极小值点，故○2错；
∵12
29，
11
49
49，故○3对.
5
10
25
10
51002
.填空题
14.记Sn为等差数列an的前n项和，若a10，a23a1，则SS150
答案：
4
解析：
10a1a10
∴S10
222a19d210d
4.
S5
5a1a52a14d5d
2
15.设F1
22
、F2为椭圆C：
xy1的两个焦点，
M为C上一点且在第一象限，若MF1F2
3620
为等腰三角形，则M的坐标为
答案：
解析：
已知椭圆C：
xy1可知，a6，c4，由M为C上一点且在第一象限，故等腰三
3620
角
形
MF1F2
中MF1F1F2
8，
MF2
2aMF14,sin
F1F2M
822215,yMMF2sin
F1F2M15，
84
22
代入C：
xy1可得xM3.故M的坐标为（3,15）.
3620M
16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型。
如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中点，ABBC6cm，AA14cm,3D打印机所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，则作该模型所需原料的质量为g.
答案：
118.8
解答：
1213
S四边形EFGH4642312cm，V664123132cm.
EFGH23
mV0.9132118.8g.
三．解答题
17.为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：
将200只小鼠随机分成
A,B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔溶度相同。
经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据实验数据分别得到如下直方图：
记C为事件“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到P（C）的估计值为.
（2）分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
答案：
见解析
18.
解答:
（1）依题意得
a0.20.150.7a0.35
，解得.
0.05b0.150.150.2a1b0.1
（2）0.152
0.230.340.250.160.0574.05
0.053
0.140.1550.360.270.1585.7
得到甲离子残留百分比的平均值为,，乙离子残留百分比的平均值为
（1求B;
（2）ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围
若
答案：
（1）3
（2）见解析
解析：
sinAsinsinBsinAsinAsinsinBsinA
因为
2；结合正弦定理2,得
Bcos
2
BBB1B
sinB2sincossin,B
22,即22；得到263；
19.图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，
.将其沿折起使得与重合，连结，如图2.
（1）证明：
图2中的四点共面，且平面平面；
（2）求图2中的二面角的大小.
答案：
见解析解析：
证明：
（1）由题意知，，，又，平面，
又平面，平面平面.
（2）分别取，的中点为，，连结，，则，
四边形为棱形，且60，
，
又平面，
，即平面，
以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
，
设平面的一个法向量为,
，令，则,
得到，
平面的一个法向量为，
故二面角的大小为.
20.已知函数f（x）2x3ax2b.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）是否存在a,b，使得f（x）在区间[0,1]的最小值为1且最大值为1若存在，求出a,b的所有值；若不存在，说明理由.
答案：
见解析
解析：
（1）f'（x）6x22ax6x（xa）
3
）单调递增.
当a0时，f'（x）6x20，此时f（x）在（
此时
f（x）min
f（0）b
1,f（x）maxf
（1）2ab1，∴
a0,b
1，满足题意
当a
0时，若
a1，即a
3
3，则f（x）在[0,1]单调递减，
此时
f（x）min
f
（1）2a
b1,f（x）maxf（0）b1，∴
a4,b
1，满足题意.
a
若
1，即0
a3，则
aa
f（x）在[0,]单调递减，在[,1]单调递增.
∵f（0）b,f
（1）b2a
y1上的动点.过D作C的两条切线,切点分别是
2
A,B,
1）证明：
直线AB过定点;
（2）若以E（0,5）为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE2
的面积.
答案：
见解析；
解答：
11
（1）当点D在（0,）时，设过D的直线方程为yk0x，与曲线C联立化简得
22
22
x22k0x10，由于直线与曲线相切，则有4k0240，解得k01，
111
并求得A,B坐标分别为（1,21）,（1,12），所以直线AB的方程为y12；
当点D横坐标不为0时，设直线AB的方程为ykxm（k0），由已知可得直线
ykxm
联立①，②并消去x可得yy1yy2
x1
x2
x2x1，
设A（x1,y1），B（x2,y2），根据韦达定理有，
x1x22k，x1x22m，
x2由已知可得曲线C为抛物线等价于函数f（x）x的图像，
2
则有f（x）x，则抛物线在A（x1,y1）上的切线方程为yy1x1（xx1）①，
同理，抛物线在B（x2,y2）上的切线方程为yy2x2（xx2）②，
由已知可得两条切线的交点在直线y
1
1上，则有
2
1x12
2
1x2
22
22
x2x1，
x1
x2
化简得，
（x1x21）（x2
x1）
x2x1，∵
k
0，∴x1
x2，
2x1x2
即x1x2
1
1，即为
2m11，解得
m
1
，经检验
1
m满足条件，
2x1x2
4m
2
2
所以直线
AB的方程为
ykx1过定点（0,
1
），
2
2
1综上所述，直线AB过定点（0,1）得证.
1
（2）由
（1）得直线AB的方程为ykx1，
2
11当k0时，即直线AB方程为y，此时点D的坐标为（0,），
22
51
以E（0,）为圆心的圆与直线AB相切于F（0,）恰为AB中点，22
11
此时SADBEABED233；
22
当k0时，直线AB方程与曲线方程联立化简得x22kx10，
2
x1x22k，x1x21，y1y22k1，
21
则AB中点坐标为H（k,k2），
k2
解得，k1，
由对称性不妨取k1，则直线方程为yx1，
2
1
求得D的坐标为（1,），AB4，
2
2222
x2（y1）21（1x1,1y2），（x1）2y21（2x
1,0y1），所以
综上所述，四边形ADBE的面积为3或42.
四．选做题（2选1）
22.如图，在极坐标系Ox中，A（2,0）,B（2,）,C（2,3）,D（2,）,弧AB,BC,CD所在圆的圆心分别是（1,0），（1,），（1,），曲线M1是弧AB,曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD.
1）分别写出M1,M2,M3的极坐标方程；
答案：
见解答
解答：
（3,23），（3,56）
答案：
见解析
解析：
（1）根据柯西不等式，[（x1）2（y1）2（z1）2]3（x1y1z1）24
222451
故（x1）2（y1）2（z1）2，当且仅当x1y1z1，即x，yz
333
2224
时，（x1）2（y1）2（z1）2取最小值;
（2）方法一：
根据柯西不等式，[（x2）2（y1）2（za）2]3（x2y1za）2
21
（a2）231，证得a3或a
3
方法二：
令m（x2,y1,za），n
有mnx2y1zamn
1.
（1,1,1），
（x2）2（y1）2（za）23
3或a1
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