全国高考文科数学试题解析几何.docx

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全国高考文科数学试题解析几何

高考文科数学真题分类汇编:

解析几何

H1直线的倾斜角与斜率、直线的方程

6．[2014· 福建卷] 已知直线 l 过圆 x2＋（y－3）2＝4 的圆心，且与直线 x＋y＋1＝0 垂直，

则 l 的方程是（）

A．x＋y－2＝0B．x－y＝2＝0C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0

20．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点 P（2，2），圆 C：

x2＋y2－8y＝0，过点 P 的动直线 l

与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点．

（1）求 M 的轨迹方程；

（2）当|OP|＝|OM|时，求 l 的方程及△POM 的面积．

x2y2

21．[2014· 重庆卷] 如图 1-5，设椭圆a2＋b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，

|F F |2

.

（1）求该椭圆的标准方程．

（2）是否存在圆心在 y 轴上的圆，使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个

交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？

若存在，求出圆的方程；若不存在，请说

明理由．

图 1-5

H2两直线的位置关系与点到直线的距离

18．[2014· 江苏卷] 如图 1-6 所示，为保护河上古桥 OA，规划建一座新桥 BC，同时设

立一个圆形保护区．规划要求：

新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心 M 在线段

OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m．经测

量，点 A 位于点 O 正北方向 60 m 处，点 C 位于点 O 正东方向 170 m 处（OC 为河岸），tan

4

3

（1）求新桥 BC 的长．

（2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？

图 1-6

22．[2014· 全国卷] 已知抛物线 C：

y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，直线 y＝4 与 y 轴的交点

5

4

（1）求 C 的方程；

与

（2）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分线 l′ C 相交于 M，N 两点，

且 A，M，B，N 四点在同一圆上，求 l 的方程．

x2y2

21．[2014· 重庆卷] 如图 1-5，设椭圆a2＋b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，

|F F |2

.

（1）求该椭圆的标准方程．

（2）是否存在圆心在 y 轴上的圆，使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个

交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？

若存在，求出圆的方程；若不存在，请说

明理由．

图 1-5

H3圆的方程

17．[2014· 湖北卷] 已知圆 O：

x2＋y2＝1 和点 A（－2，0），若定点 B（b，0）（b≠－2）和常

数 λ 满足：

对圆 O 上任意一点 M，都有|MB|＝λ|MA|，则

（1）b＝________；

（2）λ＝________．

20．[2014· 辽宁卷] 圆 x2＋y2＝4 的切线与 x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当

该三角形面积最小时，切点为 P（如图 1-5 所示）．

图 1-5

（1）求点 P 的坐标；

（2）焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P，且与直线 l：

y＝x＋ 3交于 A，B 两点，若△PAB 的

面积为 2，求 C 的标准方程．

20．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点 P（2，2），圆 C：

x2＋y2－8y＝0，过点 P 的动直线 l

与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点．

（1）求 M 的轨迹方程；

（2）当|OP|＝|OM|时，求 l 的方程及△POM 的面积．

H4直线与圆、圆与圆的位置关系

5．[2014· 浙江卷] 已知圆 x2＋y2＋2x－2y＋a＝0 截直线 x＋y＋2＝0 所得弦的长度为 4，

则实数 a 的值是（）

A．－2B．－4C．－6D．－8

6．[2014· 安徽卷] 过点 P（－ 3，－1）的直线 l 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则直线 l 的倾

斜角的取值范围是（）

⎛π ⎤

6

⎛ π ⎤

3

⎡ π ⎤

6

⎡ π ⎤

3

（

7．[2014· 北京卷] 已知圆 C：

 x－3）2＋（y－4）2＝1 和两点 A（－m，0），B（m，0）（m＞0）．若

圆 C 上存在点 P，使得∠APB＝90°，则 m 的最大值为（）

A．7B．6C．5D．4

⎧⎪x＋y－7≤0，

11．[2014· 福建卷] 已知圆 C：

（x－a）2＋（y－b）2＝1，平面区域Ω ：

⎨x－y＋3≥0，若圆

⎪⎩y≥0.

心 C∈Ω ，且圆 C 与 x 轴相切，则 a2＋b2 的最大值为（）

A．5B．29C．37D．49

21．[2014· 福建卷] 已知曲线 Γ 上的点到点 F（0，1）的距离比它到直线 y＝－3 的距离小

2.

（1）求曲线 Γ 的方程．

（2）曲线 Γ 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A，直线 y＝3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M，

N.以 MN 为直径作圆 C，过点 A 作圆 C 的切线，切点为 B.试探究：

当点 P 在曲线 Γ 上运动（点

P 与原点不重合）时，线段 AB 的长度是否发生变化？

证明你的结论．

xx

6．[2014· 湖南卷] 若圆 C1：

2＋y2＝1 与圆 C2：

2＋y2－6x－8y＋m＝0 外切，则 m＝（）

A．21B．19C．9D．－11

9．[2014· 江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋2y－3＝0 被圆（x－2）2＋（y＋1）2

＝4 截得的弦长为________．

16．、[2014·全国卷] 直线 l1 和 l2 是圆 x2＋y2＝2 的两条切线．若 l1 与 l2 的交点为（1，3），

则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于________．

1）x

12．[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设点 M（x0， ，若在圆 O：

2＋y2＝1 上存在点 N，使得∠OMN

＝45°，则 x0 的取值范围是（）

⎡11⎤⎡

，

20．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点 P（2，2），圆 C：

x2＋y2－8y＝0，过点 P 的动直线 l

与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点．

（1）求 M 的轨迹方程；

（2）当|OP|＝|OM|时，求 l 的方程及△POM 的面积．

14．[2014· 山东卷] 圆心在直线 x－2y＝0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴

所得弦的长为 2 3，则圆 C 的标准方程为________．

14．[2014· 重庆卷] 已知直线 x－y＋a＝0 与圆心为 C 的圆 x2＋y2＋2x－4y－4＝0 相交于

A，B 两点，且 AC⊥BC，则实数 a 的值为________．

9．[2014· 四川卷] 设 m∈R ，过定点 A 的动直线 x＋my＝0 和过定点 B 的动直线 mx－y

－m＋3＝0 交于点 P（x，y），则|PA|＋|PB|的取值范围是（）

A．[ 5，25 ]B．[ 10，25 ]C．[ 10，45 ]D．[2 5，45 ]

x2y2

21．[2014· 重庆卷] 如图 1-5，设椭圆a2＋b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，

|F F |2

.

（1）求该椭圆的标准方程．

（2）是否存在圆心在 y 轴上的圆，使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个

交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？

若存在，求出圆的方程；若不存在，请说

明理由．

图 1-5

（2）是否存在直线 l，使得 l 与 C1 交于 A，B 两点，与 C2 只有一个公共点，且|OA＋OB|

H5椭圆及其几何性质

20．[2014· 安徽卷] 设函数 f（x）＝1＋（1＋a）x－x2－x3，其中 a>0.

（1）讨论 f（x）在其定义域上的单调性；

（2）当 x∈[0，1]时，求 f（x）取得最大值和最小值时的 x 的值．

19．[2014· 北京卷] 已知椭圆 C：

x2＋2y2＝4.

（1）求椭圆 C 的离心率；

（2）设 O 为原点，若点 A 在直线 y＝2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA⊥OB，求线段 AB 长

度的最小值．

x2y25

20．[2014· 广东卷] 已知椭圆 C：

a2＋b.

（1）求椭圆 C 的标准方程；

（2）若动点 P（x0，y0）为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的

轨迹方程．

x2y2

a1b1

y2x2⎛2 3⎫

a2b2

为顶点的四边形是面积为 2 的正方形．

（1）求 C1，C2 的方程．

→→

＝|AB| ？

证明你的结论.

图 1-5

x2y2

17．[2014·江苏卷] 如图 1-5 所示，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2 分别是椭圆a2＋b2

＝1（a>b>0）的左、右焦点，顶点 B 的坐标为（0，b），连接 BF2 并延长交椭圆于点 A，过点 A

作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连接 F1C.

⎛41⎫

（2）若 F1C⊥AB，求椭圆离心率 e 的值．

图 1-5

x2y2

14．[2014· 江西卷] 设椭圆 C：

a2＋b2＝1（a>b>0）的左右焦点分别为 F1，F2，过 F2 作 x

轴的垂线与 C 相交于 A，B 两点，F1B 与 y 轴相交于点 D.若 AD⊥F1B，则椭圆 C 的离心率

等于________．

20．[2014· 辽宁卷] 圆 x2＋y2＝4 的切线与 x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当

该三角形面积最小时，切点为 P（如图 1-5 所示）．

图 1-5

（1）求点 P 的坐标；

（2）焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P，且与直线 l：

y＝x＋ 3交于 A，B 两点，若△PAB 的

面积为 2，求 C 的标准方程．

x2y23

9．[2014· 全国卷] 已知椭圆 C：

 2＋b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为 F1， 2，离心率为 3

，

过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点．若

1B 的周长为 43，则 C 的方程为（）

x2y2x2x2y2x2y2

323128124

x2y2

20．[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F1，F2 分别是椭圆 C：

a2＋b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦

点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直．直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.

3

4

（2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|＝5|F1N|，求 a，b.

x2y23

21．[2014· 山东卷] 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：

 2＋b2＝1（a>b>0）的离心率为，

4 10

5

（1）求椭圆 C 的方程．

（2）过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点（A，B 不是椭圆 C 的顶点）．点 D 在椭圆 C 上，

且 AD⊥AB，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点．

（i）设直线 BD，AM 的斜率分别为 k1，k2，证明存在常数 λ 使得 k1＝λk2，并求出λ的

值；

（ii）求△OMN 面积的最大值．

x2y21

20．[2014· 陕西卷] 已知椭圆ab2＝1（a＞b＞0）经过点（0， 3），离心率为2，左、右焦

点分别为 F1（－c，0），F2（c，0）．

（1）求椭圆的方程；

1

y

（2）若直线 l：

 ＝－2x＋m 与椭圆交于 A，B 两点，与以 F1F2 为直径的圆交于 C，D 两点，

|AB|5 3

|CD|4

图 1-5

x2y26

a                                          3

20．[2014· 四川卷] 已知椭圆 C：

 2＋b2＝1（a＞b＞0）的左焦点为 F（－2，0），离心率为.

（1）求椭圆 C 的标准方程；

（2）设 O 为坐标原点，T 为直线 x＝－3 上一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P，Q.当四

边形 OPTQ 是平行四边形时，求四边形 OPTQ 的面积．

x2y2

18．[2014· 天津卷] 设椭圆a2＋b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，

2 |F1F2|.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的圆经过点 F1，经过点 F2 的直

线 l 与该圆相切于点 M，|MF2|＝2 2，求椭圆的方程．

H6双曲线及其几何性质

x2y2

8．[2014· 重庆卷] 设 F1，F2 分别为双曲线a2－b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲

线上存在一点 P 使得（|PF1|－|PF2|）2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为（）

A. 2B. 15C．4D. 17

10．[2014· 北京卷] 设双曲线 C 的两个焦点为（－ 2，0），（ 2，0），一个顶点是（1，0），

则 C 的方程为________．

x2y2x2y2

8．[2014· 广东卷] 若实数 k 满足 0

A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等

8．[2014· 湖北卷] 设 a，b 是关于 t 的方程 t2cos θ ＋tsin θ ＝0 的两个不等实根，则过

x2y2

cos2θsin2θ

＝1 的公共点的个数为（   ）

A．0B．1C．2D．3

x2y2

17．[2014· 浙江卷] 设直线 x－3y＋m＝0（m≠0）与双曲线a2－b2＝1（a＞0，b＞0）的两条

渐近线分别交于点 A，B.若点 P（m，0）满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．

x2y2

9．[2014· 江西卷] 过双曲线 C：

ab2＝1 的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线

相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A，O 两点（O 为坐标原点），则双曲

线 C 的方程为（）

x2y2x2y2x2y2x2y2

4127988124

x2y2

11．[2014· 全国卷] 双曲线 C：

a2－b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为 2，焦点到渐近线的距

离为 3，则 C 的焦距等于（）

A．2B．22C．4D．42

x2y2

4．[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 已知双曲线a2－ 3 ＝1（a＞0）的离心率为 2，则 a＝（）

5

22

x2y2

15．[2014· 山东卷] 已知双曲线ab2＝1（a>0，b>0）的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物线

x2＝2py（p>0）的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c，且|FA|＝c，则双曲线的

渐近线方程为________．

x2

4

x2y2

6．[2014· 天津卷] 已知双曲线ab2＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线 l：

y＝2x

＋10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为（）

x2y2x2y23x23y23x23y2

5202052510010025

H7抛物线及其几何性质

10．[2014· 四川卷] 已知 F 为抛物线 y2＝x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的

→→

17 2

8

1

4

A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2

11．[2014· 广东卷] 曲线 y＝－5ex＋3 在点（0，－2）处的切线方程为________．

22．[2014· 湖北卷] 在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F（1，0）的距离比它到 y 轴的

距离多 1.记点 M 的轨迹为 C.

（1）求轨迹 C 的方程；

（2）设斜率为 k 的直线 l 过定点 P（－2，1），求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个

公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围．

14．[2014·湖南卷] 平面上一机器人在行进中始终保持与点 F（1，0）的距离和到直线 x＝

－1 的距离相等．若机器人接触不到过点 P（－1，0）且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是

________．

20．[2014· 江西卷] 如图 1-2 所示，已知抛物线 C：

x2＝4y，过点 M（0，2）任作一直线与

C 相交于 A，B 两点，过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D（O 为坐标原点）．

（1）证明：

动点 D 在定直线上．

（2）作 C 的任意一条切线 l（不含 x 轴），与直线 y＝2 相交于点 N1，与

（1）中的定直线相交

于点 N2.证明：

|MN2|2－|MN1|2 为定值，并求此定值．

焦点，点 M 为 AB 的中点，PF＝3FM.

图 1-2

8． [2014· 辽宁卷] 已知点 A（－2，3）在抛物线 C：

y2＝2px 的准线上，记 C 的焦点为 F，

则直线 AF 的斜率为（）

431

342

22．[2014· 全国卷] 已知抛物线 C：

y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，直线 y＝4 与 y 轴的交点

5

4

（1）求 C 的方程；

与

（2）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分线 l′ C 相交于 M，N 两点，

且 A，M，B，N 四点在同一圆上，求 l 的方程．

10．[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F 为抛物线 C：

y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的

直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|＝（）

3

10．[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 已知抛物线 C：

y2＝x 的焦点为 F，A（x0，y0）是 C 上一点，

5

|AF|＝4x0，则 x0＝（）

A．1B．2C．4D．8

x2y2

15．[2014· 山东卷] 已知双曲线ab2＝1（a>0，b>0）的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物线

x2＝2py（p>0）的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c，且|FA|＝c，则双曲线的

渐近线方程为________．

11．[2014· 陕西卷] 抛物线 y2＝4x 的准线方程为________．

22．[2014· 浙江卷] 已知△ABP 的三个顶点都在抛物线 C：

x2＝4y 上，F 为抛物线 C 的

→

图 1-6

（1）若|PF|＝3，求点 M 的坐标；

（2）求△ABP 面积的最大值．

焦点，点 M 为 AB 的中点，PF＝3FM.

H8直线与圆锥曲线（AB 课时作业）

20．[2014· 安徽卷] 设函数 f（x）＝1＋（1＋a）x－x2－x3，其中 a>0.

（1）讨论 f（x）在其定义域上的单调性；

（2）当 x∈[0，1]时，求 f（x）取得最大值和最小值时的 x 的值．

19．[2014· 北京卷] 已知椭圆 C：

x2＋2y2＝4.

（1）求椭圆 C 的离心率；

（2）设 O 为原点，若点 A 在直线 y＝2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA⊥OB，求线段 AB 长

度的最小值．

22．[2014· 浙江卷] 已知△ABP 的三个顶点都在抛物线 C：

x2＝4y 上，F 为抛物线 C 的

→

图 1-6

（1）若|PF|＝3，求点 M 的坐标；

（2）求△ABP 面积的最大值．

x2y25

20．[2014· 广东卷] 已知椭圆 C：

a2＋b.

（1）求椭圆 C 的标准方程；

（2）若动点 P（x0，y0）为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的

轨迹方程．

8．[2014· 湖北卷] 设 a，b 是关于 t 的方程 t2cos θ ＋tsin θ ＝0 的两个不等实根，则过

x2y2

cos2θsin2θ

＝1 的公共点的个数为（   ）

A．0B．1C．2D．3

22．[2014· 湖北卷] 在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F（1，0）的距离比它到 y 轴的

距离多 1.记点 M 的轨迹为 C.

（1）求轨迹 C 的方程；

（2）设斜率为 k 的直线 l 过定点 P（－2，1），求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个

公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围．

14．[2014·湖南卷] 平面上一机器人在行进中始终保持与点 F（1，0）的距离和到直线 x＝

－1 的距离相等．若机器人接触不到过点 P（－1，0）且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是

________．

x2y2

17．[2014·江苏卷] 如图 1-5 所示，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2 分别是椭圆a2＋b2

＝1（a>b>0）的左、右焦点，顶点 B 的坐标为（0，b），连接 BF2 并延长交椭圆于点 A，过点 A

作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连接 F1C.

⎛41⎫

（2）若 F1C⊥AB，求椭圆离心率 e 的值．

图 1-5

x2y2

94

焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|＋|BN|＝________．

20．[2014· 辽宁卷] 圆 x2＋y2＝4 的切线与 x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当

该三角形面积最小时，切点为 P（如图 1-5 所示）．

图 1-5

（1）求点 P 的坐标；

（2）焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P，且与直线 l：

y＝x＋ 3交于 A，B 两点，若△PAB 的

面积为 2，求 C 的标准方程．

22．[2014· 全国卷] 已知抛物线 C：

y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，直线 y＝4 与 y 轴的交点

5

4

（1）求 C 的方程；

与

（2）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分线 l′ C 相交于 M，N 两点，

且 A，M，B，N 四点在同一圆上，求 l 的方程．

x2y2

20．[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F1，F2 分别是椭圆 C：

a2＋b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦

点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直．直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.

3

4

（2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|＝5|F1N|，求 a，b.

x2y2