双曲线的渐近线和离心率问题.docx
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双曲线的渐近线和离心率问题
第30练双曲线得渐近线与离心率问题
[题型分析·高考展望]双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也就是高考热点,其性质就是考
查得重点,尤其就是离心率与渐近线、考查形式除常考得解答题外,也会在填空题中考查,一般为中等难度、熟练掌握两种性质得求法、用法就是此类问题得解题之本、
常考题型精析
题型一双曲线得渐近线问题
例1
（1）（2015·重庆）设双曲线错误!
－错误!
=1（a>0,b>0）得右焦点就是Ｆ，左,右顶点分别就是A１,A2，过F作A1A2得垂线与双曲线交于B,C两点,若A1B⊥A2Ｃ,则该双曲线得渐近线得斜率为＿＿、
（２）（２014·江西）如图，已知双曲线Ｃ:
错误!
-y2=１（a>０）得右焦点为F、点A,B分别在Ｃ得两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA（Ｏ为坐标原点）、
1求双曲线Ｃ得方程;
2过C上一点P（x0,ｙ０）（y0≠0）得直线ｌ:
＼f（x０x,a2）－y０y＝１与直线ＡF相交于点Ｍ，与直线x＝＼f（3,2）相交于点N、证明:
当点P在C上移动时，错误!
恒为定值,并求此定值、点评
（1）在求双曲线得渐近线方程时要掌握其简易求法、由y＝±bｘ?
错误!
±错误!
=0?
ａ
错误!
-错误!
＝０,所以可以把标准方程错误!
-错误!
＝1（ａ>0,b>0）中得“１”用“0”替换即可得出渐近线方程、
（２）已知双曲线渐近线方程：
y=错误!
ｘ,可设双曲线方程为错误!
－错误!
=λ（λ≠0）,求出λ即得双曲线方程、
变式训练1（２014·山东改编）已知a>ｂ>０，椭圆C１得方程为＼f（x2,a2）+＼ｆ（y2，ｂ2）=１,双曲线Ｃ2得方程为错误!
－错误!
=１，Ｃ1与C2得离心率之积为错误!
，则Ｃ2得渐近线方程为_＿_＿＿___＿＿__＿_＿___＿__＿、
题型二双曲线得离心率问题
例2
（1）（2０1５·湖北改编）将离心率为ｅ1得双曲线C1得实半轴长ａ与虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m>0）个单位长度，得到离心率为ｅ2得双曲线C2,则下列命题正确得就是__＿_
①对任意得ａ,b,ｅ１>e２；
②当a>b时，e１>ｅ2;当a3对任意得a,ｂ，e14当a>b时,e1e2、
（2）已知O为坐标原点,双曲线错误!
-错误!
＝1（a>０，b>０）得右焦点为F,以OF为直径作圆交双曲线得渐近线于异于原点得两点Ａ、B,若（错误!
＋错误!
）·错误!
＝0,则双曲线得离心
率e为、
点评在研究双曲线得性质时,实半轴、虚半轴所构成得直角三角形就是值得关注得一个重要内容；双曲线得离心率涉及得也比较多、由于e=错误!
就是一个比值，故只需根据条件得到
关于a、b、c得一个关系式，利用b2＝c2－ａ2消去ｂ,然后变形求ｅ，并且需注意e>1、同时注意双曲线方程中x,y得范围问题、
变式训练2（２014·湖南）如图,O为坐标原点,椭圆C1:
错误!
＋错误!
=1（a>b>0）得左、右焦
点分别为F１、F2,离心率为e１;双曲线C2:
错误!
-错误!
=1得左、右焦点分别为F３、Ｆ４，离
心率为e２、已知e1e2=错误!
，且F２Ｆ4=错误!
-1、
（1）求C1，C2得方程;
（2）过F1作Ｃ1得不垂直于y轴得弦AB,M为AB得中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,
求四边形AＰBＱ面积得最小值、
题型三双曲线得渐近线与离心率得综合问题
２
x
例3（2014·福建）已知双曲线E：
2-＼f（ｙ2,b2）＝1（a>0，ｂ>0）得两条渐近线分别为la
１:
ｙ＝2x,ｌ2:
y＝－2ｘ、
（1）求双曲线Ｅ得离心率;
（2）如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线ｌ1,l２于A，Ｂ两点（A,B分别在第一、四象限），
且△OAＢ得面积恒为８、试探究:
就是否存在总与直线l有且只有一个公共点得双曲线E？
若存在,求出双曲线E得方程;若不存在,请说明理由、
点评解决此类问题:
一就是利用离心率公式,渐近线方程,斜率关系等列方程组、二就是数形
结合，由图形中得位置关系，确定相关参数得范围、
变式训练3（2014·浙江）设直线x-3y+m＝0（m≠0）与双曲线＼f（x2,a2）－错误!
=1（ａ>0，b>0）得两条渐近线分别交于点A,B、若点P（m,0）满足PA=ＰＢ，则该双曲线得离心率就是_＿＿_
高考题型精练
1、（２015·课标全国Ⅰ改编）已知M（x0,ｙ0）就是双曲线Ｃ:
错误!
－y2=1上得一点,F1,F2就是C
得两个焦点，若错误!
·错误!
<0，则y0得取值范围就是＿__
2、（２01５·镇江模拟）已知０<θ<错误!
则双曲线Ｃ1:
错误!
－错误!
＝１与C2:
错误!
－错误!
=1得＿相等、（填序号）
①实轴长；②虚轴长;③离心率;④焦距、
２
3、已知双曲线x2－错误!
=1（a>０,b>0）得两条渐近线均与圆C:
x２＋ｙ2－6ｘ＋５＝0相切，a
且双曲线得右焦点为圆Ｃ得圆心,则该双曲线得方程为＿___＿＿___＿＿＿__、4、以椭圆错误!
＋错误!
＝1得右焦点为圆心，且与双曲线错误!
-错误!
=1得渐近线相切得圆得方程就是___＿＿__＿＿＿_＿＿__＿、
５、已知双曲线错误!
－错误!
=１（ａ>0,b>0）以及双曲线错误!
-错误!
=1得渐近线将第一
象限三等分,则双曲线错误!
-错误!
＝1得离心率为_＿_＿
6、（2015镇·江模拟）已知双曲线C:
x2
ａ2
-＼ｆ（y2,b2）=1（a>0,b>0）得左,右焦点分别为
F1，F2，
过F2作双曲线C得一条渐近线得垂线,垂足为H,若F2Ｈ得中点M在双曲线C上,则双曲线Ｃ
得离心率为__＿_＿___、
２
7、已知抛物线ｙ２=8x得准线过双曲线＼f（x2,ａ2）－错误!
=1（ａ>０,b>0）得一个焦点,且双
曲线得离心率为2,则该双曲线得方程为＿＿＿、
８、已知双曲线C得中心在原点,且左,右焦点分别为F１,F2,以F１F2为底边作正三角形,若双曲线C与该正三角形两腰得交点恰为两腰得中点,则双曲线C得离心率为___＿_＿＿_、
x2y2
9、已知F1，Ｆ2分别就是双曲线a2-b2=1（a>0,b>0）得左，右焦点,过点Ｆ２与双曲线得一条渐近线平行得直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点Ｍ在以线段F1F２为直径得圆外,则
双曲线离心率得取值范围就是＿＿＿、
１0、过双曲线＼f（ｘ2,ａ２）－yb2=1（a>０,ｂ>0）得左焦点F作圆ｘ２+y２＝错误!
a２得切线,切点
为Ｅ,直线EF交双曲线右支于点P，若错误!
=错误!
（错误!
＋错误!
）,则双曲线得离心率就是
ｙ2
１１、已知双曲线a2-错误!
=1（a>０,b>0）得一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近a
线得距离为错误!
、
（1）求此双曲线得方程;
（2）设P为双曲线上一点,Ａ,B两点在双曲线得渐近线上,且分别位于第一、二象限,若错误!
=
错误!
，求△AOB得面积、
12、（2０１5·盐城模拟）已知双曲线错误!
-错误!
＝１（a>0,ｂ>0）得右焦点为F（c,0）、
（1）若双曲线得一条渐近线方程为y＝x且ｃ=2,求双曲线得方程;
（２）以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限得交点为A,过A作圆得切线，
斜率为-3，求双曲线得离心率、
答案精析
第３0练双曲线得渐近线与离心率问题
常考题型典例剖析
例1（１）±1
解析双曲线错误!
－错误!
=1得右焦点Ｆ（c,0）,左,右顶点分别为A1（－a,0），A2（a,0）,易
求
Ｂ错误!
C错误!
则
kＡ２C＝错误!
，kA1B=错误!
又Ａ1B与A2C垂直,
则有kA1Ｂ·kＡ2Ｃ=-1,即错误!
·错误!
＝-1,
∴错误!
=1,∴ａ２=b2,即a=b,
∴渐近线斜率ｋ=±b=±1、
a
（2）解①设F（c，0）,因为b=1,所以c＝错误!
直线ＯB得方程为y=-错误!
x,
直线ＢF得方程为ｙ＝＼f（1,a）（x-c）,
解得B（＼f（c,2）,-＼f（ｃ，2a））．
又直线ＯA得方程为ｙ＝错误!
x，
则A（ｃ,＼f（c,ａ）），kＡＢ=错误!
＝错误!
、又因为AB⊥OB,所以错误!
·（-错误!
）＝-1,解得a2＝3,
故双曲线C得方程为＼f（ｘ2,３）-ｙ2=1、
②由①知ａ＝＼r（３）,则直线l得方程为错误!
-y０y＝１（y0≠0），即y＝错误!
、因为直线AF得方程为x＝2,
所以直线l与AF得交点为Ｍ（2,错误!
）;
3
直线l与直线x=32得交点为
3
N（2，
＼f（３，２）x0-3
3y０
）．
则错误!
=错误!
＝错误!
=错误!
·错误!
、
因为P（x0，y0）就是C上一点，则＼f（x2０，3）－y错误!
＝1,
MF2
代入上式得２=＼f（4,3）·错误!
NF２
＝错误!
·错误!
=错误!
即所求定值为错误!
=错误!
=错误!
、
变式训练1x±２y＝0
ｃ１c2
解析由题意知e1=,e２＝c2,
1aａ
∴e1·e２＝＼f（c1，ａ）·错误!
＝错误!
=错误!
、又∵a2=b2+ｃ错误!
c错误!
＝a2+b2，∴c错误!
＝a2-b２，
∴错误!
＝错误!
=1-（错误!
）4,
即1－（错误!
）4=错误!
解得错误!
＝±错误!
∴错误!
=错误!
、令错误!
－错误!
＝0，解得bx±ａｙ＝0,∴x±＼r
（2）y＝0、
例2
（1）④（２）＼r
（2）
解析（１）由题意e1＝＼r（＼f（a2＋b2,ａ2））＝错误!
;双曲线Ｃ２得实半轴长为a+ｍ,虚半轴长为b＋ｍ,
２2
＼f（ａ+m２+b＋m22
离心率e2=a+m2）＝错误!
、
ｂ＋mｂ
因为-＝＼f（ma-b,aa+ｍ），且a>0,ｂ>0,m>0，a≠b，a＋ma
所以当ａ>b时,错误!
>0,即错误!
>错误!
、
又错误!
>0,错误!
>0,
所以由不等式得性质依次可得错误!
2>错误!
2,１＋错误!
2>1+错误!
２,所以错误!
>错误!
，即
ｍa－ｂ
e2>e1；同理，当aaa+m
综上,当a>b时,e1e2、
（2）如图,设OF得中点为Ｔ，由（错误!
+错误!
）·错误!
＝0可知AT⊥OF,
又A在以OF为直径得圆上,∴A错误!
又A在直线y=bｘ上,
a
∴ａ=ｂ,∴e=＼r
（2）、
变式训练２解
（1）因为e1e2=错误!
，所以错误!
·错误!
＝错误!
即a４－b４=错误!
a4，因
此a2＝2ｂ2,从而F2（b，０），F4（３b,0）,于就是错误!
ｂ－b=F２F4＝错误!
－1,所以b=1,a2=2、故C１,C2得方程分别为错误!
+y2=1,错误!
－y２=1、
（2）因AB不垂直于y轴,且过点F1（-1,0）,故可设直线AＢ得方程为x=my-1、
由错误!
得（ｍ2+2）y2－2my－1=0、易知此方程得判别式大于0、设A（x1,ｙ1）,B（x2,ｙ2）,则y１,y２就是上述方程得两个实根,所以ｙ1＋ｙ2=错误!
y1y2＝错误!
、
因此x1＋x2＝m（ｙ1＋y2）-2＝＼f（-4，m２+２）,
-2
于就是AB得中点为M（-22，错误!
），
ｍ2+2
ｍ
故直线PQ得斜率为－2,PQ得方程为y＝－＼f（ｍ,2）x、由错误!
得（2－m2）x2＝４,
所以2-m２＞0,且x2=错误!
y2＝错误!
，
从而PＱ=2＼r（x２+y２）＝２错误!
、
设点A到直线PQ得距离为ｄ,
则点B到直线PＱ得距离也为d，
所以２ｄ＝错误!
、
因为点A，Ｂ在直线mx＋2y＝0得异侧,
所以（mx１+2y1）（mx2+2y2）＜０,
于就是|mx1＋2y1｜＋|mx2+2y2|
＝|mx1+2y１－mx2-2ｙ2|,
2m2＋2|y1-y2｜从而2ｄ=、
m2＋4
又因为|y1-ｙ2｜=错误!
＝＼f（２２·1＋m2，m2＋2）,
所以2d=错误!
、
１
故四边形ＡPBQ得面积S＝2·PＱ·2ｄ＝错误!
=2错误!
·错误!
、而0<2－m2≤２，故当m＝0时,S取得最小值2、
综上所述,四边形APＢＱ面积得最小值为2、
例3解
（1）因为双曲线E得渐近线分别为y＝２x,y=-2x,所以错误!
=2,
所以错误!
=2,故c=错误!
ａ,
从而双曲线Ｅ得离心率e=错误!
＝错误!
、
（2）方法一由（１）知,双曲线Ｅ得方程为错误!
-错误!
=1、设直线l与x轴相交于点C、
当ｌ⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则OC＝a，AB=4a、
又因为△OAB得面积为８,
所以＼ｆ（1，2）O·Ｃ·ＡB＝８,
因此错误!
a·４a＝8,解得ａ=2,
此时双曲线E得方程为＼ｆ（x2,4）－错误!
=１、若存在满足条件得双曲线E，
则E得方程只能为错误!
-错误!
＝1、
以下证明:
当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:
错误!
－错误!
＝1也满足条件
设直线l得方程为y＝kx＋ｍ,依题意,
得k>2或k<-2,则Ｃ（－错误!
0）.
记A（x１,y1）,B（x2,ｙ2）.
由错误!
得y1=错误!
同理,得ｙ２＝错误!
、
１
由S△ＯAB=2|ＯC｜·|ｙ1-y2｜,得
错误!
|－错误!
|·|错误!
－错误!
｜=8，
即m2=4|4-k2|=4（k2-4）．
由错误!
得（4-k2）x2－2kmx－m2－１６=0、
因为4-k２<０,
所以Δ＝4ｋ2ｍ2+4（4-ｋ２）（m2＋1６）
=－16（４k2-m2－16）.
又因为ｍ２=4（k2－４）,
所以Δ＝０，即l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与ｌ有且只有一个公共点得双曲线E,且E得方程为错误!
-错误!
＝１、方法二由
（1）知,双曲线Ｅ得方程为错误!
－错误!
＝1、
设直线l得方程为x＝my+ｔ,A（x1,ｙ１）,Ｂ（x2,y2）．
１
依题意得－2由错误!
得y１=错误!
，
同理,得ｙ2=＼f（－2t，1+2m）、设直线l与ｘ轴相交于点C，则Ｃ（t，０）.由S△ＯAB=错误!
·OC·|y1-y2|＝８,得错误!
｜ｔ|·错误!
＝8、
所以t2＝4|1-4m2|＝4（1－4m2）.
由错误!
得（4m2-1）ｙ2+8ｍty＋4（ｔ2－ａ2）＝0、
因为4m2－1＜０，直线l与双曲线Ｅ有且只有一个公共点当且仅当Δ=64m2ｔ2-16（4m２－１）（t２－ａ2）＝0,
即4m2a2+ｔ2－ａ2=０,
即4m２a２+4（1-4m2）-a2＝0,
即（1－4m2）（a2-4）＝0，
所以ａ２＝4，
因此，存在总与ｌ有且只有一个公共点得双曲线E,
且E得方程为错误!
－错误!
＝1、
变式训练3错误!
解析双曲线＼ｆ（x２,a2）－错误!
＝１得渐近线方程为ｙ＝±错误!
x、
由错误!
得A（错误!
错误!
）,
由错误!
得B（错误!
错误!
）,
所以AB得中点C得坐标为（错误!
错误!
）.
设直线l：
ｘ－3ｙ＋m＝0（ｍ≠０），
因为PA＝PＢ,所以PC⊥l,
所以kＰC＝－3，化简得a2=４ｂ２、
在双曲线中，c2=a２＋b2＝5b2,
ｃ所以e=a=＼f（＼r（５）,２）、
常考题型精练
1、错误!
解析由题意知a＝错误!
b＝１,c=错误!
，
∴Ｆ1（-错误!
０）,F2（错误!
０），
∴错误!
=（-错误!
－x0,-y0）,错误!
=（错误!
－x0,-y０）.
∵错误!
·错误!
<０,∴（-错误!
－x0）（错误!
-x0）＋y错误!
<０,
即x错误!
－3+y错误!
<0、
∵点M（ｘ0,y0）在双曲线上,
∴错误!
－y错误!
=1,即ｘ错误!
=2＋2ｙ错误!
，
∴2+2y错误!
－3＋y错误!
<0，∴－错误!
、
2.③
解析双曲线C１:
e错误!
=错误!
＝错误!
双曲线Ｃ２：
e错误!
=错误!
=１+ｔan2θ=错误!
∴C1,C2得离心率相等．
３、错误!
-错误!
=１
x2
解析∵双曲线x2－错误!
=1得渐近线方程为y＝±错误!
x，ａ2
圆C得标准方程为（x－３）2＋ｙ2＝４,
∴圆心为Ｃ（3,０）.
又渐近线方程与圆Ｃ相切,
即直线bx－ａｙ=0与圆C相切,
∴错误!
＝２，∴5b2＝４a2、①
x2又∵xa2-错误!
=１得右焦点Ｆ2（错误!
０）为圆心C（3,0）,
a
∴ａ2＋b２=９、②
由①②得ａ2＝5,b２＝4、
∴双曲线得标准方程为＼ｆ（ｘ2，5）－y=1、
４
4．x2＋y2-1０ｘ＋９＝0
解析由于右焦点（5，0）到渐近线4x-3ｙ=０得距离d＝＼f（20,５）＝4,
所以所求得圆就是圆心坐标为
（5,0）,半径为4得圆.即圆得方程为x2＋y2-1０x＋9=０、
5、错误!
或2
x2y２
解析由题意,可知双曲线２－2=1得渐近线得倾斜角为30°或60°,则＼ｆ（b,ａ）＝错误!
或a２ｂ2
3、
则e=错误!
＝错误!
=错误!
＝错误!
＝错误!
或2、6、错误!
解析取双曲线得渐近线y=错误!
x,则过Ｆ２与渐近线垂直得直线方程为y＝-错误!
（x-c）,可解
得点H得坐标为错误!
则Ｆ2H得中点M得坐标为错误!
代入双曲线方程错误!
-错误!
＝1可
2２2a2+c２2
得22-错误!
＝1,整理得c2=２ａ2,即可得e=错误!
＝错误!
、4ａ2c2
２
7.x
=１
解析由y2=8ｘ,2p=8,p＝４,∴其准线方程为x＝－２
即双曲线得左焦点为（-2,0）,c=2,
又e=2,∴a＝1,b2=c2－a２＝3,故双曲线得方程为ｘ２－＼f（y2,3）=１、
８、＼r（3）＋１
解析设以F1Ｆ2为底边得正三角形与双曲线C得右支交于点M,则在Ｒt△MＦ1F2中,可得Ｆ
１F2=2c,ＭＦ1＝＼r（3）ｃ，ＭF2＝ｃ,由双曲线得定义有MF1－MF2＝2a，即３c－c=2ａ,所
以双曲线C得离心率e＝错误!
=错误!
＝错误!
+１、
9.（2,＋∞）
解析双曲线＼ｆ（x2,a2）-错误!
=1（a>0,b>0）得渐近线方程为y＝±错误!
ｘ，设直线方程为y=错误!
（x-ｃ）,与y=－错误!
ｘ联立求得Ｍ错误!
因为M在圆外,所以满足错误!
·错误!
>０,可得-错误!
c2＋错误!
2>０,解得e＝错误!
>2、
＼r（10）
1０、2
解析设双曲线得右焦点为F1,连结PF1、
由错误!
＝错误!
（错误!
+错误!
）知,Ｅ就是FP得中点.
又O就是ＦF1得中点,
∴OE∥PF1,且ＯE＝错误!
PF１,易知OE⊥FP,∴PF1⊥FＰ,∴PF2+PF错误!
1＝ＦＦ
错误!
PF1=a,PF=2a＋PＦ1=3a,
∴9a２+a2=（2c）2,∴＼f（ｃ，a）=＼f（＼ｒ（10），2）、
11.解
（1）依题意得错误!
解得错误!
故双曲线得方程为错误!
-x2＝１、
（2）由
（1）知双曲线得渐近线方程为ｙ＝±２x,设Ａ（m,２m）,B（-ｎ,２ｎ）,其中m>0,n>0,由错误!
＝错误!
得点P得坐标为错误!
、
将点P得坐标代入错误!
-x2＝1,整理得mn=1、
设∠AＯB＝2θ，∵tan错误!
＝２,
则tａｎθ=＼f（1,２）,从而ｓin2θ=＼f（4，5）、
又ＯA＝错误!
m，OＢ＝错误!
n，
∴S△AOB＝错误!
·OA·OB·ｓin2θ＝２mn=2、
b
1２.解
（1）∵双曲线得渐近线为ｙ＝±bx,∴a=b,
a
∴ｃ２＝a2+b2=2a2=4，∴ａ2＝ｂ2=２,
x2y2
∴双曲线方程为x-y＝1、
２２
（2）设点A得坐标为（x0,y0）,
∴直线AO得斜率满足错误!
·（－错误!
）=－1,∴ｘ0=错误!
y0、①
依题意,圆得方程为x2+ｙ2=c２,
将①代入圆得方程得3ｙ错误!
＋y错误!
＝c2，
即y０＝错误!
c,∴x0=错误!
c,
∴点A得坐标为错误!
，代入双曲线方程得
＼ｆ（1,４）ｃ２
＼ｆ（＼f（3,4）c2,ａ２）-2=1,即＼f（３,4）b2ｃ２－错误!
ａ２c2=a２b2、②
ｂ2
又∵a２＋b２＝ｃ2,∴将b2=c2－a2代入②式,整理得＼ｆ（3,4）c4－2a２c２＋a4=0，∴3错误!
4－8错误!
2＋4＝0，∴（３e2-２）（ｅ2－２）=0、∵ｅ＞１,∴e＝2,
∴双曲线得离心率为＼r
（2）、
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