快速傅里叶变换计算衍射光强的分布.docx
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快速傅里叶变换计算衍射光强的分布
快速傅里叶变换计算衍射的光强分布.4
0.引言4
1.空域连续函数的离散及延拓.5
2.离散傅里叶变换与傅里叶变换的关系.5
3.快速傅里叶变换计算衍射光强.11
3．1单缝衍射13
3．2圆孔衍射.14
4.光强分布曲线.15
4.1单缝衍射的光强分布曲线15
4.2圆孔衍射的光强分布17
5.结论20
参考文献21
附录21
1.用MATLAB^件模拟单缝衍射和光强分布曲线的程序21
2.用MATLAB^件模拟圆孔衍射和光强分布曲线的程序22
致谢24
河西学院本科生毕业论文（设计）题目审批表错误！
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河西学院本科生毕业论文诚信声明
本人郑重声明：
所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
作者签名：
二O一三年五月二十六日（打印）
河西学院本科生毕业论文开题报告
论文题目
快速傅里叶变换计算衍射的光强分布
学生姓名
所属学院
物理与机电工程学院
专业
年级
指导教师
所在单位
河西学院
职称
开题日期
选题的根据：
衍射现象是波动光学中的重要知识，光的衍射的定义指出光的衍射是一种区别于几何光学规律
的光的传播现象•在现代光学发展的今天，学习如何计算衍射的光强分布是必要的综述有关本选题的研究动态和自己的见解：
光的衍射的研究是在十七世纪意大利物理学家和天文学家F.M.格里马尔迪首先发现光遇
障碍物时将偏离直线传播，他把此现象起名为衍射”胡克和R.玻意耳分别观察到现称之为牛顿环
的干涉现象•之后托马斯扬在公兀1817年提出了光是横波的假说，法国的土木工程师菲涅尔以此为基础，在1818年提交了一篇应征巴黎科学院悬赏征求阐述光折射现象的论文，在这篇文章中，他提出了一整套高度完善的波动说理论阐明了这一现象。
1965年,由库利一图基（Cooley—Tukey）提出的PFT技术彻底改变了这种状况，计算机的普及应用为这种快速计算方法的推广创造了良好的条件因此、利用FFT技术计算衍射的方法
逐渐被广泛采用•然而，必须指出•由于快速傅里叶变换只是离散博里叶变换的一种快速算法，对离散傅里叶变换理论进行研究后很快就能发现，只有当被变换的函数是在频域有限区域存在的带限函数”时、连续函数的傅里叶变换才能由离散傅里叶变换表述•否则，由于频谱的混叠效应，离散傅里叶变换只是连续函数傅里叶变换的一种近似•不幸的是，衍射计算问题中所遇到的函数基本上都不是带限函数、因此利用快速博里叶变换对衍射所作的计算也
是一种近似•只有了解离散傅里叶变换与傅里叶变换的关系，通过合适的离散、较好地将频谱混叠的影响控制在允许的误差范围才能使用这种计算方法得到较好的结果.
主要内容及其主要的研究方法：
本文将要介绍光的衍射现象，根据理论解释，计算衍射光强的分布，让一束光经扩束器或不经扩
束器直接投射到一狭缝（或圆孔）上，在狭缝（或圆孔）后面放置一个透镜，那么在透镜的焦平面
上放置的屏幕上将产生明暗相间的条纹（明暗相间的圆环）•利用傅里叶变换计算分析光在屏幕上的
衍射现象的特点及光强分布情况，并用MATLAB软件仿真模拟衍射现象•
论文进度安排和采取的主要措施：
完成期限：
2013.3――2013.6
主要措施：
1.依据快速傅里叶变换计算衍射的的光强分布。
2.在研究单缝衍射的基础上进行研究圆孔衍射。
3.在计算的基础上用MATLAB分别模拟仿真了单缝和圆孔衍射现象，及衍射的光强分布。
4.在整个研究过程中，发现问题、解决问题、最终得岀结论。
主要参考资料和文献：
[1]姚启钧.光学教程[M].北京：
高等教育出版社，2008:
106-109.
[2]陈聪、李定国.基于快速傅里叶变换的衍射现象的数值仿真[J].大学物理2004,9:
47-62
[3]李俊昌、熊秉衡.信息光学理论与计算[M].科学出版社[M].2009:
93-110
[4]董克剑.利用MATLAB模拟光的衍射现象[J].物理教师,2008,29（5）,30-32.
[5]王竞争等.基于MATLAB的光的干涉和衍射现象的模拟研究[J].延边大学学报,2009,35⑷,319-322.
⑹喻力华、赵维义.圆孔衍射光强分布的数值计算[J].大学物理2010,1,20
（1）,17-19
指导教师意见：
签名：
年月日
教研室意见
负责人签名：
年月日
学院意见
负责人签名：
年月曰
快速傅里叶变换计算衍射的光强分布
摘要：
本文利用快速傅里叶变换计算了光的单缝和圆孔衍射的光强分布，根据计算结果利用
MATLAB软件仿真模拟了单缝和圆孔衍射现象.分析表明，衍射图样取决于缝宽或孔径的大小，它
反映了障碍物和光波之间限制和扩展的辩证关系，限制范围越小，扩张现象愈显著；在哪个方向上限制，就在该方向上扩展.且在处理实际问题时应合理选择两种算法S—FFT，D—FFT．
关键词：
离散傅立叶；快速傅里叶变换；衍射光强的分布；快速卷积算法
Abstract:
ByusingfastFouriertransform,thispapercalculatesthelightintensitydistributionofthesingle-slitandcircularaperturediffraction.And,accordingtothecalculationresultssimulatesthesingleslitandcircularaperturediffractionphenomenonbyusingMATLABsoftware.Thesimulationanalysisshowedthatthediffractionpatterndependsonthesizeofslitorthewidthofaperture.Itreflectsthedialecticalrelationshipofrestrictionsandextensionsbetweenobstaclesandlight.Andthesmallerlimitrang,themoreremarkableexpansionphenomenon;itextendsinthedirectionwhichisthedirectionofrestrictions,andindealingwithpracticalproblems,itshouldbeareasonablechoicetousetwokindsofalgorithms,S-FFTandD-FFT.
Keywords:
discreteFouriertransform;fastFouriertransform;thelightintensitydistributionofdiffraction;fastconvolutionalgorithm
0.引言
1965年,由库利一图基（Cooley—Tukey）提出的PFT技术彻底改变了这种状况，计算机的普及应用为这种快速计算方法的推广创造了良好的条件因此、利用FFT技术计
算衍射的方法逐渐被广泛采用．然而，必须指出．由于快速傅里叶变换只是离散博里叶变换的一种快速算法，对离散傅里叶变换理论进行研究后很快就能发现，只有当被变换的函数是在频域有限区域存在的“带限函数”时、连续函数的傅里叶变换才能由离散傅里叶变换表述．否则，由于频谱的混叠效应，离散傅里叶变换只是连续函数傅里叶变换的一种近似．不幸的是，衍射计算问题中所遇到的函数基本上都不是带限函数、因此利用快速博里叶变换对衍射所作的计算也是一种近似．只有了解离散傅里叶变换
与傅里叶变换的关系，通过合适的离散、较好地将频谱混叠的影响控制在允许的误差范围才能使用这种计算方法得到较好的结果.
为了能够正确使用FPT计算衍射p在具体阐述计算方法之前，有必要对二维空间函数的取样、延拓及离散傅里叶变换与傅里叶变换的关系进行研究.
1.空域连续函数的离散及延拓
函数作二维离散傅里叶变换时，要求是被变换函数是二维空间的周期离散函数.由
于实际需要作博里叶变换的函数通常是在空域无限大平面上均有定义的连续函数，于是，必须将函数截断在有限的区域进行取样及延拓通常的取样方法是、先将函数的主要部分通过坐标变换放在第一象限、并沿平行于坐标轴的方向将函数截断在一个
LxLy的矩形区域内；然后.取样周期为Tx二LxNx，Ty二Ly.Ny,从坐标原点开始将函数离散为LxLy从个点的二维离散分布值、图1（a）、（b）描述了上述过程（图中用黑点标注出取样点落在函数定义区域上的位置，用小圆圈表示取样为零的位置）.图1（c）是二维周期延拓结果.
图1.空域连续函数的离散及延拓⑶
2.离散傅里叶变换与傅里叶变换的关系
很明显，函数经截断及离散处理后无论在空域还是在频域均会引入误差•现以z
方向的博里叶变换为例进行研究，以后再将结果推广到二维空间•图2示出于某一给
定的y，函数沿s方向进行离散傅里叶变换的过程•图中，左边为一列空域的原函数图像，右边一列图像是它们的频谱的模，符号厶”表示它们为傅里叶变换对•例如，
图2（a1）为空域的原函数g（x,y），图2（a2）为它的频谱G（fx,y）的模’G（fx,y|）
对未经截断函数的取样，等于用图2（b1）的梳状函数、工X乘以图2（a1）的原函数,
数学表达式为
Q0
gTx（x,y）二g（x,y）、（x）二g（x,y）'（x-nTx）
（1）
n二・：
:
由于梳状函数-（x,y）为周期Tx的：
函数，可以表为博里叶级数:
Tx；2
/c、
2
L/txXxp
-jk——x
T
1
dx
Tx
被信号gx,y调制的结果（见图2（c1））.
A幻
1
£
山“黔r（他V）
佩
3）
i
1
tI如（QI
i
k」
\dI
3）
A
（H）
图2.函数的离散傅里叶变换过程⑶
上式表明，取样信号已经不是原信号，而是无穷多个截波信号
1oO「
一送expjkTxk^joo〔
2二
Tx
现在，通过博里叶变换来考察信号经取样后的频谱与原信号频谱的关系对上式作
博里叶变换得
^0
严1=
2兀
（g（x,yL送
exp
jkX
皿Tx—
3
ITx丿
exp（-jxx）dx
1二:
:
Gtxfx,y=「TxX,yexp-j2二fxXdx
=z~L〕”g（x,y）exp—j2兀fx-
TxkR*1II
（5）
k
xu,y
结果表眼在取样信号频谱Gtxfx,y中除了包含原信号频谱Gfx,y夕卜，还包含了无穷多个被延拓的频谱、延拓的周期为1Tx（见图2（c2））•并且、由于原函数的频谱宽度大于延拓的周期1Tx，相邻的频谱曲线产生了混叠.
根据傅里叶变换中频域的卷积定律，图2（c2）也可以通过原函数的频谱函
数G（fx,yX图2（a2））与梳状函数的频谱函数也Tx（fx）（2（b2））的卷积求出：
（6）
Gtxfx,y二Gfx,y：
Txfx
为强调这个关系，图2（c2）的纵坐标由这个卷积表达式标注
由此可见、连续函数经过周期为Tx的无穷「•序列取样离散后，其频谱与原函
数频谱相比有两点区别：
（1）频谱发生了周期为1Tx的周期延拓如果原函数的频谱宽度大于1Tx时,则产生
频谱混叠，引入失真.
（2）离散信号频谱Gtxfx,y的幅度是原函数频谱Gfx,y的iTx倍.
然而.上面对连续函数被无穷序列取样离散的后的频谱研究只是一个理论结果、因为实际上不可能作取样点为无限多的数值计算•并是，由于离散傅里叶变换事实上讨论的是在空域及频域均是周期离散函数的傅里叶变换问题•还要将离散函数截断及延拓才能满足要求因此，将空域非周期的离散函数（图2（c1））先通过下述矩形宙函数图
2（d1））截断：
1（-Tx/2cxcLx-Tx.2）
rTx=*卫，
得到具有从Nx个点的的离散分布（图2（e1））:
（8）
gTxrx,y二gx,y、我xlx
然后，再将截断后的部分进行周期为Lx的延拓，形成图2（g1）的周期离散序列：
gTxrkX,y二gTxrkxkLx,y,k二0,_1,_2，…（6）
按照傅里叶变换理论，空域中矩形窗函数图今2（d1）与离散序列图2（c1）的乘积的
频谱函数、可表为矩形函数的频谱函数RLxfx（图2（d2））与图2（c1）的频谱函数图2（c2）
的卷积：
GTxrfx,y=Gfx,y“'Txfx1Rlxfx（9）
对应的频谱函数曲线示于图2（e2）.
由图可见由于矩形宙函数的频谱Rlxfx具有较大的起伏变化的伤瓣，卷积运算的结果佼图2（c2）的频谱曲线形状产生了失真（为说明问既图中略有夸大）•将图2（c2）与图2（a2）比较不难发现，现在得到的是带有畸变的原函数频谱的周期延拓曲线，延拓周期为1Tx.
离散傅里叶变换是对空域及领域均为周期离散函数的变换，因此，图2（e2）的曲线
还将被周期为1Tx的梳状函数（图2（f1））取样.其结果是一个周期为Nx的频域的离散函数〔图2（g2））.在频域进行上面频谱函数与梳状函数的乘积取样时，就对应着它们在空域原函数的卷积运算.图2（e1）与图2（f1）的函数在空域卷积运算的结果成为一周期为Nx的空域离散函数图2（g1））.
空域及领域离散函数均以Nx为周期，我们只要分别知道一个周期内的离散值或样本点使可以了解离散函数全貌•离散傅里叶变换或其快速算法FFT，便是完成从空域
到频域、以及从频域到空域的这Nx个样本点的汁算方法.
至此，我们已经知道，离散傅里叶变换是博里叶变换的一种近似计算只要能
够将衍射的计算表为卷积的形式，并了解离散傅里叶变换与博里叶变换间的定量关系,
采取合适的措施抑制晌曳便能对衍射问题求解.将菲涅耳衍射积分的卷积形式
中的二次项展开后得
设UoXo,yo为物平面光波复振幅；根据第（10）式，经距离d的衍射到达观测平面的
光波复振幅Ux,y可由下形式的菲涅耳衍射积分表出
式中j=-1，'为光波波长，k=2二■.
若利用快速傅里叶变换FFT进行计算-----式.物平面取样宽度为.-：
Lo，取样数为NN,
取样间距为YoYLo「N，（12）式可写为：
（14）
（15）
（⑹
式中，.ix=.iy是离散傅里叶变换后对应的空域取样间距.为确定这个数值，根据前面对离散傅里叶变换的讨论，（13）式的计算结果将是取值范围1：
x0的NN点的离教值•即:
昱n_
■d=x0_L0
或者，
—扎dn
lL=
AL°
因此
L■dex-y二
NALo
对（10）式两边作博里叶变换并利用空域卷积定律得：
FUx,y卜F{u°（xo,yof{^^xp^x2+y2）］}}
令fX,fy是频域坐标可以定义菲涅耳衍射传递函数为：
3•快速傅里叶变换计算衍射光强
光是一种电磁波，按ejwt的规律随时间传播，电光源发粗的是一组球面波，设光
源位于坐标原点处，以速度v在电容率为；的介质中传播，当光到达半径为r的求面时,
光的场强E是r,t的函数，可以表示为：
（18）
E（r,t）=E（r）exp[jwt—丄]1=E（rJexp〔j（wt—krN
.I"」
其中k鼻=三称为波数，Er，t为光矢量•点光源从原点出发的球面波，能量密度为:
以v表示单位时间内光矢量所在空间的体积，则单位时间内通过整个球面的能量为
-k*
ErEo
v
式中Eo是与光源振动有关的常数，k•是与介质有关的常数，则
-k*r
Er,tEoexp〔jwt「kr
r
（21）
（22）
为简便，只考虑某时刻的振动，含时间的项ejwt可省去。
在光学系统中，光从出射光
瞳射出，取光瞳坐标为x0,y0，观察平面的坐标为x,y，两坐标系相平行，原点在它们的公共垂线上，相距为zo见图（3）
光瞳面上任意一点sxo,yo到观察面上的某点px,y的距离为：
r=lx-X。
f+（y-yof+z2】2（23）
由（22）式知，光是从s点以球面波—如果s点振幅为Ex,y,r
则在P点光的矢量为：
Ex,yXo,y°e"（24）
r
为计算球面上p点的光的场强，需要选取包含s点在内的小面元dxodyo，则
■1k
E（x,y）=k!
.!
.EXo,yo-e_jrdxodyo（25）
r
为便于计算，设光瞳与观察点面相距很远，取r=R,r的近似值为：
r=农_Xof+（y_yoj+z2}2
=R2+x：
+y：
—2xx°—2yy°】2
22
X。
yoXX。
yyo
二R_
2RR
在远场衍射的情况下，即R>-:
时
_kx2y2《i
2R
且Rz，则
（27）
Ex,y二.Exo,yoexp[jkXXoyyo]dsz
式（27）为远场近似情况下的衍射的公式.那么级光源在p点的Ex,y是光瞳函数
EXo,y。
的二维傅里叶变换式.
3.1单缝衍射
衍射装置如图12所示，衍射物体为不透明屏匕上一条方向平行于轴，长度不限，宽度为ao的狭缝.用轴上单色点光源S和推直透镜C产生的平行光正入射照明，在透镜L的后焦面二上观察.在不考虑透镜L孔径大小的情况下，可认为光波在方向不受限制，
所以上述单缝衍射实际是一维的问题，只需要计算沿x方向的衍射.
所以透过衍射物体的复振幅为
A&）=B（©TG）=rect
（a。
丿
应用公式（26）,可以直接计算二平面衍射图形的复振幅Ex,y为此，首先计算A的傅里叶变换：
cO
af二_Aexo-j2「fd
rectexp]-j2「：
fd二a°sinca。
（30）
皿2。
丿
将ao'代人公式
^^TCA（"xp—j2兀△匕丿」l丸z丿
并利用公式ff，f=yf给出空间频率f,f与频率平面空间坐标x,y的关系，可得出单缝夫琅禾费衍射的复振幅分布为：
匚f\a。
ij'f+xZ+y2^.i'aoX；「y、（
E（x,y）=exp|jkf+_sincp、（32）
jM-l2f丿」l丸f丿0丿
最后，利用L（x,y）=E（x,yp=E（x,y）•E*（x,y），可算出观察面兀上衍射图形的幅照度分布为：
L（x,y）=£ysinc2年p三十。
。
®nc2"^附+（33）
九fB丿商丿i“丿0丿
3.2圆孔衍射
根据式：
Ex,y]：
iie»'yyi'dxidyl
Z
透镜焦平面上Px,y点光场振幅经过坐标变换后为
E（P,WACJ；『e呃啷弋PidPid®i
P
式中^=-是衍射方向与光轴的夹角，称为衍射角•在这里。
应用了sin，:
--
系•
计算这个积分，得到：
Jka^
因此Px,y点的光场强度为
I<0
2
[2Ji（①”
L①」
式中I。
=（兀a22（A"ff是光轴上P。
点的光强；①=ka日是圆孔边缘与中心点在同一
（34）
（35）
的近似关
（36）
（37）
二方向
上光线间的相位差
4.光强分布曲线
4.1单缝衍射的光强分布曲线
图5（a）是利用MATLAB实现的波长^=500nm，缝宽为0,2mm的衍射图样，得出了光强分布曲线图，图5（b）是缝宽为1mm的衍射图样，图5（c）是缝宽为2mm的衍射图样，从得到的衍射图样来看，光强的分布取决于缝宽和波长不同的缝宽得到的衍射光强的光强曲线图形有很大区别，利用计算机模拟衍射光强的分布快速便捷，和理论的误差相对也较小.
+
4-
*
斗
-+
*
丄丄」」一
-J1_J4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-3-2-1
01
23
图5（a）缝宽0.1mm单缝衍射图
图5（b）缝宽1mm的单缝衍射图
05101520253035404550
图5（c）缝宽2mm的单缝衍射图
模拟光斑能量与该分图光斑能量的相对误差.可以看出，当使用的1次FFT计算时，计算结果与实验比较相距甚远，利用Mx二My=2的计算结果与第1次计算相比较,求得相对误为79.1%，说明2次计算的结果都还不可信,有必要继续增加取样数.Mx=My-3的计算结果与Mx二My=2的计算结果相比，相对误差为67.8%说明取样数仍然未达要求.继续往后增加区域分割数再计算后发现，当Mx=My=4与
Mx二My=5的计算结果比较时，相对误差已经在6.5%，取样间隔已经接近合理.再往下增加取样数后，跟踪误差已经下降到0.1%以下将Mx二My=5的模拟光斑与实验相比不难看出，理论模拟已经非常接近实际.
4.2圆孔衍射的光强分布
构造透光圆孔如图5中衍射前图样所示，图6（a）（b）分别是圆孔衍射图样和衍射光强分布图及三维光强分布图，该实验中波长■=632.8nm，f=1m，r=10，从而很
好地得到了圆孔衍射的光强分布图及其三维图光强分布图.图6（c）、（d）■=632.8nm，
f=1m，r=15，模拟了衍射图样，得到了二维光强分布图和三维光强分布图.图6（e）（f）
分别是衍射图形及其二维光强分布图，三维光强分布图，该试验中使用•=6
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