小学数学速算与巧算方法例解小升初.docx

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小学数学速算与巧算方法例解小升初

小学数学速算与巧算方法例解

速算与巧算

在小学数学中，关于整数、小数、分数的四则运算，怎么样才能算得既快又准确呢？

这就需要我们熟练地掌握计算法则和运算顺序，根据题目本身的特点，综合应用各种运算定律和性质，或利用和、差、积、商变化规律及有关运算公式，选用合理、灵活的计算方法。

速算和巧算不仅能简便运算过程，化繁为简，化难为易，同时又会算得又快又准确。

一、“凑整”先算

　　1.计算：

（1）24+44+56

（2）53+36+47

　　解：

（1）24+44+56=24+（44+56）

　　　　　　=24+100=124

　　这样想：

因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来.

（2）53+36+47=53+47+36

　　　　　　=（53+47）+36=100+36=136

　　这样想：

因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来.

　　2.计算：

（1）96+15

（2）52+69

　　解：

（1）96+15=96+（4+11）

　　　　　　=（96+4）+11=100+11=111

　　这样想：

把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算.

（2）52+69=（21+31）+69

　　　　　　=21+（31+69）=21+100=121

　　这样想：

因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算.

　　3.计算：

（1）63+18+19

（2）28+28+28

　　解：

（1）63+18+19

　　　　=60+2+1+18+19

　　　　=60+（2+18）+（1+19）

　　　　=60+20+20=100

　　这样想：

将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.

（2）28+28+28

　　　　=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6

　　　　=30+30+30-6=90-6=84

　　这样想：

因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.

　　二、改变运算顺序：

在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变

　　计算：

（1）45-18+19

（2）45+18-19

　　解：

（1）45-18+19=45+19-18

　　　　=45+（19-18）=45+1=46

　　这样想：

把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.

（2）45+18-19=45+（18-19）

　　　　=45-1=44

　　这样想：

加18减19的结果就等于减1.

三、计算等差连续数的和

　　相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：

　　1，2，3，4，5，6，7，8，9

　　1，3，5，7，9

　　2，4，6，8，10

　　3，6，9，12，15

　　4，8，12，16，20等等都是等差连续数.

　　1.等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：

（1）计算：

1+2+3+4+5+6+7+8+9

　　=5×9中间数是5

　　=45共9个数

（2）计算：

1+3+5+7+9

　　=5×5中间数是5

　　=25共有5个数

　　（3）计算：

2+4+6+8+10

　　=6×5中间数是6

　　=30共有5个数

　　（4）计算：

3+6+9+12+15

　　=9×5中间数是9

　　=45共有5个数

　　（5）计算：

4+8+12+16+20

　　=12×5中间数是12

　　=60共有5个数

　　2.等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成：

（1）计算：

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

　　=（1+10）×5=11×5=55

　　共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.

（2）计算：

　　3+5+7+9+11+13+15+17

　　=（3+17）×4=20×4=80

　　共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17.

　　（3）计算：

　　2+4+6+8+10+12+14+16+18+20

　　=（2+20）×5=110

　　共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.

四、基准数法

（1）计算：

23+20+19+22+18+21

　　解：

仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.

　　23+20+19+22+18+21

　　=20×6+3+0-1+2-2+1

　　=120+3=123

　　6个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推.

（2）计算：

102+100+99+101+98

　　解：

方法1：

仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算.

　　102+100+99+101+98

　　=100×5+2+0-1+1-2=500

　　方法2：

仔细观察，可将5个数重新排列如下：

（实际上就是把有的加数带有符号搬家）

　　102+100+99+101+98

　　=98+99+100+101+102

　　=100×5=500

　　可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是5.　

　　加法中的巧算

　　1.什么叫“补数”？

　　两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。

　　如：

1+9=10，3+7=10，

　　2+8=10，4+6=10，

　　5+5=10。

　　又如：

11+89=100，33＋67=100，

　　22+78=100，44+56=100，

　　55+45=100，

　　在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。

　　对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？

一般来说，可以这样“凑”数：

从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。

　　如：

87655→12345，46802→53198，

　　87362→12638，…

　　下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。

　　2.互补数先加。

例1巧算下面各题：

　　①36+87+64②99+136＋101

　　③1361＋972＋639＋28

　　解：

①式=（36＋64）＋87

　　=100＋87=187

　　②式=（99＋101）＋136

　　=200+136=336

　　③式=（1361＋639）＋（972＋28）

　　=2000+1000=3000

　　3.拆出补数来先加。

　　例2①188＋873②548＋996③9898＋203

　　解：

①式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略）

　　＝200+861=1061

　　②式=（548-4）＋（996＋4）

　　=544+1000=1544

　　③式=（9898＋102）＋（203-102）

　　=10000+101=10101

　　4.竖式运算中互补数先加。

　　如：

　　二、减法中的巧算

　　1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。

　　例3①300-73-27

　　②1000-90-80-20-10

　　解：

①式=300-（73＋27）

　　＝300-100=200

　　②式=1000-（90＋80＋20＋10）

　　＝1000-200＝800

　　2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。

　　例4①4723-（723＋189）

　　②2356-159-256

　　解：

①式=4723-723-189

　　＝4000-189=3811

　　②式=2356-256-159

　　＝2100-159

　　=1941

　　3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。

　　例5①506-397

　　②323-189

　　③467＋997

　　④987-178-222-390

　　解：

①式=500＋6-400+3（把多减的3再加上）

　　=109

　　②式=323-200+11（把多减的11再加上）

　　=123+11＝134

　　③式=467＋1000-3（把多加的3再减去）

　　＝1464

　　④式=987-（178＋222）-390

　　＝987-400-400+10=197

　　三、加减混合式的巧算

　　1.去括号和添括号的法则

　　在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“＋”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“+”变“-”，“-”变“+”，即：

　　a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d

　　a-（b＋a＋d）＝a-b-c-d

　　a-（b-c）＝a-b+c

例6①100＋（10＋20＋30）

　　②100-（10＋20+3O）

　　③100-（30-10）

　　解：

①式=100＋10＋20＋30

　　=160

　　②式=100-10-20-30

　　=40

　　③式=100-30＋10

　　＝80

例7计算下面各题：

　　①100＋10＋20＋30

　　②100-10-20-30

　　③100-30＋10

　　解：

①式=100＋（10+20+30）

　　=100＋60=160

　　②式=100-（10＋20+30）

　　＝100-60=40

　　③式=100-（30-10）

　　=100-20=80

　　2.带符号“搬家”

例8计算325＋46-125＋54

　　解：

原式=325-125＋46+54

　　＝（325-125）+（46＋54）

　　=200+100＝300

　　注意：

每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46，-125，+54.而325前面虽然没有符号，应看作是+325。

　　3.两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉

例9计算9+2-9＋3

　　解：

原式=9-9＋2+3=5

　　4.找“基准数”法

　　几个比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”。

例10计算78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85

　　＝640

1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式：

　　5×2=10

　　25×4=100

　　125×8=1000

例1计算①123×4×25

　　②125×2×8×25×5×4

　　解：

①式=123×（4×25）

　　=123×100＝12300

　　②式=（125×8）×（25×4）×（5×2）

　　=1000×100×10=1000000

　　2.分解因数，凑整先乘。

　　例2计算①24×25

　　②56×125

　　③125×5×32×5

　　解：

①式=6×（4×25）

　　=6×100=600

　　②式=7×8×125=7×（8×125）

　　=7×1000=7000

　　③式=125×5×4×8×5=（125×8）×（5×5×4）

　　=1000×100=100000

　　3.应用乘法分配律。

　　例3计算①175×34＋175×66

　　②67×12+67×35＋67×52+6

　　解：

①式=175×（34+66）

　　=175×100=17500

　　②式=67×（12＋35＋52＋1）

　　＝67×100＝6700

　　（原式中最后一项67可看成67×1）

　　例4计算①123×101②123×99

　　解：

①式=123×（100＋1）=123×100＋123

　　＝12300＋123=12423

　　②式=123×（100-1）

　　=12300-123=12177

　　4.几种特殊因数的巧算。

例5一个数×10，数后添0；

　　一个数×100，数后添00；

　　一个数×1000，数后添000；

　　以此类推。

　　如：

15×10=150

　　15×100=1500

　　15×1000＝15000

例6一个数×9，数后添0，再减此数；

　　一个数×99，数后添00，再减此数；

　　一个数×999，数后添000，再减此数；…

　　以此类推。

　　如：

12×9＝120-12＝108

　　12×99＝1200－12＝1188

　　12×999＝12000-12=11988

例7一个偶数乘以5，可以除以2添上0。

　　如：

6×5＝30

　　16×5＝80

　　116×5=580。

例8一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”。

　　如2222×11＝24442

　　2456×11＝27016

例9一个偶数乘以15，“加半添0”.

　　24×15

　　＝（24+12）×10

　　＝360

　　因为

　　24×15

　　＝24×（10+5）

　　＝24×（10＋10÷2）

　　=24×10+24×10÷2（乘法分配律）

　　＝24×10+24÷2×10（带符号搬家）

　　＝（24+24÷2）×10（乘法分配律）

例10个位为5的两位数的自乘：

十位数字×（十位数字加1）×100+25

　　如15×15=1×（1+1）×100+25=225

　　25×25=2×（2+1）×100+25=625

　　35×35=3×（3+1）×100+25=1225

　　45×45=4×（4+1）×100+25=2025

　　55×55=5×（5+1）×100+25=3025

　　65×65＝6×（6+1）×100+25=4225

　　75×75=7×（7+1）×100+25＝5625

　　85×85=8×（8+1）×100+25=7225

　　95×95＝9×（9+1）×100＋25＝9025

　　还有一些其他特殊因数相乘的简便算法，有兴趣的同学可参看《算得快》一书。

　　二、除法及乘除混合运算中的巧算

　　1.在除法中，利用商不变的性质巧算

　　商不变的性质是：

被除数和除数同时乘以或除以相同的数（零除外），商不变.利用这个性质巧算，使除数变为整十、整百、整千的数，再除。

例11计算①110÷5②3300÷25

　　③44000÷125

　　解：

①110÷5=（110×2）÷（5×2）

　　＝220÷10=22

　　②3300÷25＝（3300×4）÷（25×4）

　　＝13200÷100＝132

　　③44000÷125=（44000×8）÷（125×8）

　　＝352000÷1000＝352

　　2.在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”。

例12864×27÷54

　　＝864÷54×27

　　=16×27

　　=432

　　3.当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数。

　　例13①13÷9＋5÷9②21÷5-6÷5

　　③2090÷24-482÷24

　　④187÷12-63÷12-52÷12

　　解：

①13÷9+5÷9=（13＋5）÷9

　　=18÷9＝2

　　②21÷5-6÷5＝（21-6）÷5

　　＝15÷5=3

　　③2090÷24-482÷24＝（2090-482）÷24

　　＝1608÷24＝67

　　④187÷12-63÷12-52÷12

　　＝（187-63-52）÷12

　　＝72÷12=6

　　4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法：

如果“括号”前面是乘号，去掉“括号”后，原“括号”内的符号不变；如果“括号”前面是除号，去掉“括号”后，原“括号”内的乘号变成除号，原除号就要变成乘号，添括号的方法与去括号类似。

　　即a×（b÷c）=a×b÷c从左往右看是去括号，

　　a÷（b×c）＝a÷b÷c从右往左看是添括号。

　　a÷（b÷c）＝a÷b×c

例14①1320×500÷250

　　②4000÷125÷8

　　③5600÷（28÷6）

　　④372÷162×54

　　⑤2997×729÷（81×81）

　　解：

①1320×500÷250＝1320×（500÷250）

　　=1320×2＝2640

　　②4000÷125÷8＝4000÷（125×8）

　　＝4000÷1000＝4

　　③5600÷（28÷6）=5600÷28×6

　　=200×6=1200

　　④372÷162×54=372÷（162÷54）

　　＝372÷3＝124

　　⑤2997×729÷（81×81）＝2997×729÷81÷81

　　＝（2997÷81）×（729÷81）＝37×9

　　＝333

例1计算9＋99＋999＋9999＋99999

　　解：

在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.

　　9＋99＋999＋9999＋99999

　　＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）

　　＋（100000-1）

　　＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5

　　＝111110-5

　　＝111105.

例2计算199999＋19999＋1999＋199＋19

　　解：

此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如199＋1＝200）

　　199999＋19999＋1999＋199＋19

　　＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）

　　＋（19＋1）－5

　　＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5

　　＝222220-5

　　＝22225.

例3计算（1＋3＋5＋…＋1989）－（2＋4＋6＋…＋1988）

　　解法2：

先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是：

　　从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：

　　从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.

　　1990×497＋995—1990×497＝995.

例4计算389＋387＋383＋385＋384＋386＋388

　　解法1：

认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.

　　389＋387＋383＋385＋384＋386＋388

　　＝390×7—1—3—7—5—6—4—

　　＝2730—28

　　＝2702.

　　解法2：

也可以选380为基准数，则有

　　389＋387＋383＋385＋384＋386＋388

　　＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8

　　＝2660＋42

　　＝2702.

例5计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6

　　解：

认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.

　　（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6

　　＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6

　　＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运

　　＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）

　　＝4940＋1

　　＝4941.

例6计算54＋99×99＋45

　　解：

此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.

　　54＋99×99＋45

　　＝（54＋45）＋99×99

　　＝99＋99×99

　　＝99×（1＋99）

　　＝99×100

　　＝9900.

例7计算9999×2222＋3333×3334

　　解：

此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.

　　9999×2222＋3333×3334

　　＝3333×3×2222＋3333×3334

　　＝3333×6666＋3333×3334

　　＝3333×（6666＋3334）

　　＝3333×10000

　　＝33330000.

例81999＋999×999

　　解法1：

1999＋999×999

　　＝1000＋999＋999×999

　　＝1000＋999×（1＋999）

　　＝1000＋999×1000

　　＝1000×（999＋1）

　　＝1000×1000

　　＝1000000.

　　解法2：

1999＋999×999

　　＝1999＋999×（1000-1）

　　＝1999＋999000-999

　　＝（1999-999）＋999000

　　＝1000＋999000

　　＝1000000.

有多少个零.

　　总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有这样才能做到熟能生巧.