高中文科数学立体几何知识点总结.docx

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高中文科数学立体几何知识点总结

l

l//m

立体几何知识点整理（文科）

ml//m

一．直线和平面的三种位置关系：

α

l

1.线面平行

方法二：

用面面平行实现。

l

//

l//α

l符号表示：

2.线面相交

l

β

l

α

A

α

方法三：

用平面法向量实现。

符号表示：

3.线在面内n

l

若n为平面的一个法向量，

nl且l,则l//。

l

α

α

符号表示：

二．平行关系：

1.线线平行：

l

方法一：

用线面平行实现。

l//

ll//m

m

3.面面平行：

方法一：

用线线平行实现。

l//l'

α

l

βm

l'

m'

m

m//

l,m

m'

且相交

//

方法二：

用面面平行实现。

l',m'

且相交

l//

β

ll//mγ

mm

α

方法二：

用线面平行实现。

方法三：

用线面垂直实现。

l//

若l,m，则l//m。

m////

方法四：

用向量方法：

l,m

且相交

β

l

m

若向量l和向量m共线且l、m不重合，则l//m。

α

2.线面平行：

方法一：

用线线平行实现。

1/11

l

A

α

C

B

方法三：

用向量方法：

若向量l和向量m的数量积为0，则lm。

三．垂直关系：

三．夹角问题。

4.线面垂直：

（一）异面直线所成的角：

方法一：

用线线垂直实现。

（1）范围：

（0,90]

lAC

l

AB

AB

AB

AC

AC,

A

l

（2）求法：

方法一：

定义法。

步骤1：

平移，使它们相交，找到夹角。

P

n

AθO

α

方法二：

用面面垂直实现。

步骤2：

解三角形求出角。

（常用到余弦定理）

余弦定理：

β

l

ml

a

c

m

lm,l

cos

2

a

2

b

2ab

c

2

θ

b

α

（计算结果可能是其补角）

5.面面垂直：

方法二：

向量法。

转化为向量

方法一：

用线面垂直实现。

C

的夹角

βl

l

θ

（）计算结果可能是其补角：

l

A

B

α

ABAC

ABAC

cos

方法二：

计算所成二面角为直角。

（二）线面角

6.线线垂直：

（1）定义：

直线l上任取一点P（交点除外），作

方法一：

用线面垂直实现。

m

l

l

m

lm

PO于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内

的射影，PAO（图中）为直线l与面所成的角。

α

P

方法二：

三垂线定理及其逆定理。

PO

P

θ

AO

α

AO

l

α

lOAlPA

l

（2）范围：

[0,90]

2/11

0ll//

当时，或

当90时，l

n1

n2

θ

（3）求法：

方法一：

定义法。

步骤1：

作出线面角，并证明。

步骤2：

解三角形，求出线面角。

步骤一：

计算

cos

nn

12

nn

12

nn

12

（三）二面角及其平面角

步骤二：

判断与

nn的关系，可能相等或

12

（1）定义：

在棱l上取一点P，两个半平面内分别作

者互补。

l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为

四．距离问题。

二面角—l—的平面角。

1．点面距。

方法一：

几何法。

m

P

lP

n

AO

（2）范围：

[0,180]

步骤1：

过点P作PO于O，线段PO即为所求。

步骤2：

计算线段PO的长度。

（直接解三角形；等

（3）求法：

体积法和等面积法；换点法）

方法一：

定义法。

2．线面距、面面距均可转化为点面距。

步骤1：

作出二面角的平面角（三垂线定理），并证明。

3．异面直线之间的距离

步骤2：

解三角形，求出二面角的平面角。

方法一：

转化为线面距离。

方法二：

截面法。

m

步骤1：

如图，若平面POA同时垂直于平面和，

n

则交线（射线）AP和AO的夹角就是二面角。

如图，m和n为两条异面直线，n且

步骤2：

解三角形，求出二面角。

m//，则异面直线m和n之间的距离可转化为直

βP

线m与平面之间的距离。

θ

A

方法二：

直接计算公垂线段的长度。

O

α

方法三：

公式法。

方法三：

坐标法（计算结果可能与二面角互补）。

3/11

如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，BaAm

d

n

m//m'，则异面直线m和n之间的距离为：

c

C

m'

D

b

dc

2abab

22

2

cos

五．空间向量

（一）空间向量基本定理

A

A

1

C

D

C

1

若向量a,b,c为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量p，都存在唯一的有序实数对

B

B

1

x、y、z，使得pxaybzc。

（二）三点共线，四点共面问题

7.A，B，C三点共线

OAxOByOC，且xy1

当

1

xy时，A是线段BC的

2

A，B，C三点共线ABAC

8.A，B，C，D四点共面

OAxOByOCzOD，且xyz1

当

1

xyz时，A是△BCD的

3

A，B，C，D四点共面ABxACyAD

（三）空间向量的坐标运算

2.已知空间中A、B两点的坐标分别为：

A（x,y,z），B（x2,y2,z2）则：

111

AB;dA,BAB

3.若空间中的向量a（x1,y1,z1），（2,y,z）

bx

22

则abab

4/11

abcosab

六．常见几何体的特征及运算

（一）长方体

9.长方体的对角线相等且互相平分。

10.若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为、、，则

222

cos+cos+cos

α

β

γ

α

β

γ

若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、、，则

222

cos+cos+cos

11.若长方体的长宽高分别为a、b、c，则体对角线长为，表面积为，体积为。

（二）正棱锥：

底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。

（三）正棱柱：

底面是正多边形的直棱柱。

（四）正多面体：

每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。

（只有五种正多面体）

（五）棱锥的性质：

平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。

正棱锥的性质：

各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。

（六）体积：

V棱柱

V

棱锥

（七）球

4.定义：

到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。

5.设球半径为R，小圆的半径为r，小圆圆心为O1，球心O到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关

系是。

6.球面距离：

经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。

7.球的表面积公式：

体积公式：

高考题典例

考点1点到平面的距离

5/11

例1如图，正三棱柱

ABCABC的所有棱长都为2，D为

111

CC中点．

1

（Ⅰ）求证：

AB⊥平面

1

ABD；（Ⅱ）求二面角

1

AADB的大小；

1

（Ⅲ）求点C到平面

ABD的距离．

1

解答过程（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．

△ABC为正三角形，AO⊥BC．

正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面

BCCB，

11

A

A

1

AO⊥平面

BCCB．连结

11

BO，在正方形

1

BBCC中，O，D分别为

11

F

BC，CC

1

的中点，

BO⊥BD，

1

AB⊥BD．

1

O

C

D

C

1

在正方形

ABBA中，

11

AB⊥AB，

11

AB⊥平面

1

ABD．

1

B

B

1

（Ⅱ）设

AB与

1

AB交于点G，在平面

1

ABD中，作

1

GF⊥AD于F，连结

1

AF，由（Ⅰ）得

AB⊥平面

1

ABD．

1

AF⊥AD，∠AFG为二面角

1

AADB的平面角．

1

在

△中，由等面积法可求得45

AAD

AF，

1

5

又

1

AGAB，sin210

2

AG

∠

AFG

1

2

AF454

5

．

所以二面角

AADB的大小为arcsin10

1

4

．

（Ⅲ）

△中，

ABD

1

，，，△1．

BDA1D5A1B22SABD6S

△

BCD

1

在正三棱柱中，

A到平面

1

BCCB的距离为3．

11

设点C到平面

ABD的距离为d．

1

由

VV，得

ABCDCABD

11

11

S3Sd

△△

BCDABD

33

1

，

d

3S2

△

BCD

S

△

ABD

1

2

．

点C到平面

ABD的距离为2

1

2

．

考点2异面直线的距离

例2已知三棱锥SABC，底面是边长为42的正三角形，棱

SC的长为2，且垂直于底面.E、D分别为BC、AB的中点，求

6/11

CD与SE间的距离.

解答过程：

如图所示，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，

EF为BCD的中位线，EF∥CD,CD∥面SEF,CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的

距离.又线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEF

的距离，设其为h，由题意知，BC42,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点，

CD

1

26,EFCD6,DF2,SC

2

2

VSCEF

1

3

1

2

EF

DF

SC

1

3

1

2

6

2

2

23

3

2CE2

在RtSCE中，SESC23

2CF2

在RtSCF中，SFSC424230

1

又EF6,S3由于VCSEFVSCEFSSEFh

SEF

3

，即

1

3

3

23

h，解得

3

h

23

3

23

故CD与SE间的距离为.

3

考点3直线到平面的距离

例3．如图，在棱长为2的正方体

AC中，G是

1

AA的中点，求BD到平面

1

GB1D的距离.

1

思路启迪：

把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.

解答过程：

解析一BD∥平面

GB1D，

1

A

1

D

1

O

1

B

1

C

1

BD上任意一点到平面GB1D1的距离皆为所求，以下求

H

点O平面GB1D1的距离,

G

D

C

B1DAC，B1D1A1A，B1D1平面A1ACC1,

111

O

AB

又B1D1平面GB1D1平面A1ACC1GB1D1，两个平面的交线是O1G,

作OHO1G于H，则有OH平面GB1D1，即OH是O点到平面GB1D1的距离.

11

在O1OG中，S1OOAO222

O.

OG1

22

7/11

又

1126

SO1OGOHOGOHOH.

32,

1

223

即BD到平面GB1D1的距离等于

26

3

.

解析二BD∥平面

GB1D，

1

BD上任意一点到平面GB1D1的距离皆为所求，以下求点B平面GB1D1的距离.

设点B到平面

GB1D的距离为h，将它视为三棱锥

1

BGB的高，则

1D

1

1

VBV,由于S2236

，

GB

1DDGBBGBD

11111

2

114

V222,

D1GBB

1

323

h

4

6

26

3

即BD到平面

GB1D的距离等于

1

26

3

.

小结：

当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是

选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距

离.

考点4异面直线所成的角

例4如图，在Rt△AOB中，OABπ，斜边AB4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转

6

A得到，且二面角BAOC的直二面角．D是AB的中点．

（I）求证：

平面COD平面AOB；

D

（II）求异面直线AO与CD所成角的大小．

解答过程：

（I）由题意，COAO，BOAO，

z

A

E

BO

BOC是二面角BAOC是直二面角，

C

COBO，又AOBOO，CO平面AOB，

D

又CO平面COD．平面COD平面AOB．

（II）作DEOB，垂足为E，连结CE（如图），则DE∥AO，

CDE是异面直线AO与CD所成的角．

在Rt△COE中，COBO2，11

OEBO，

2

225

CECOOE．

x

C

O

B

y

8/11

又DE1AO3．在Rt△CDE中，tan515

CE

CDE

2

DE33

．

异面直线AO与CD所成角的大小为arctan15

3

．

小结：

求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：

①平移法：

在异面直线中的一条直

线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：

把空间

图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常

用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：

0.

2

考点5直线和平面所成的角

例5.四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD．已知∠ABC45，AB2，

BC22，SASB3．

S

（Ⅰ）证明SABC；（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小．

C

B

解答过程：

（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面

D

A

AB，得SO⊥底面ABCD．

S因为SASB，所以AOBO，

又∠ABC45，故△AOB为等腰直角三角形，

OAO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．

C

B

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，

D

A

故SA⊥AD，由ADBC22，SA3，AO2，

得SO1，SD11．△SAB的面积

2

11

2

SABSAAB．

2

1

22

连结DB，得△DAB的面积

1

SABAD

2

2

sin1352

设D到平面SAB的距离为h，由于

VV，得

DSABSABD

11

hSSOS，解得h2．

12

33

设SD与平面SAB所成角为，则sinh222

SD1111

．

所以，直线SD与平面SBC所成的我为arcsin22

11

．

小结：

求直线与平面所成的角时，应注意的问题是

（1）先判断直线和平面的位置关系；

（2）当直线和平

面斜交时，常用以下步骤：

①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，

9/11

③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值.

考点6二面角

例6．如图，已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，

C

BAP，直线CA和平面所成的角为30．（I）证明BC⊥PQ

45

P

A

Q（II）求二面角BACP的大小．

B

过程指引：

（I）在平面内过点C作CO⊥PQ于点O，连结OB．

因为⊥，PQ，所以CO⊥，

C

H

A

P

Q

又因为CACB，所以OAOB．

O

B

而BAO45，所以ABO45，AOB90，

从而BO⊥PQ，又CO⊥PQ，

所以PQ⊥平面OBC．因为BC平面OBC，故PQ⊥BC．

（II）由（I）知，BO⊥PQ，又⊥，PQ，

BO，所以BO⊥．过点O作OH⊥AC于点H，连结BH，由三垂线定理知，BH⊥AC．故

BHO是二面角BACP的平面角．

由（I）知，CO⊥，所以CAO是CA和平面所成的角，则CAO30，

不妨设AC2，则AO3，

3

OHAOsin30．

2

在Rt△OAB中，ABOBAO45，所以BO