储油罐的变位识别与罐容表标定.docx
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储油罐的变位识别与罐容表标定
储油罐的变位识别与罐容表标定
摘要
本文是关于储油罐的变位识别与罐容表标定的文章。
加油站通常都有若干个储存燃油的地下储油罐,许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因,使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
本文利用微积分的知识，建立相关模型,通过mａｔlab编程求解,给出了重新标定罐容表的具体方法。
对于第一题,在无变位的情况下，建立合适的空间直角坐标系,算出横截面积与油位高度的关系，然后乘上桶的长度，即可得到储油量与油位高度的关系,这样就得到了无变位情况下的理想罐容表。
在倾斜变位的情况下，同样地,建立空间直角坐标系，以桶的底边母线为Y轴,分三段算出横截面积与油位高度和Y轴坐标的关系,然后利用mａtlab通过积分的方法编程计算倾斜变位情况下的理想罐容表。
通过计算可以得到无变位和倾斜变位的情况下理论值的平均误差分别为3.3％和3.9%,可以直接将无变位和倾斜变位的情况下的理想罐容表比较。
从图表可以看出倾斜变位的情况下理想曲线与实际存在误差,由理想值总是大于实际值可以得出误差为系统误差，通过ｍatｌab实现最小二乘拟合，得到更加精确的罐体变位后油位高度间隔为1ｃm的罐容表标定值。
对于第二题,将实际储油罐分成两个部分进行求解,即两端的球罐体和中间的圆柱体。
对于球罐体中的液体体积计算可以假设油液面在球冠体内是平齐的,高即为圆柱体和球冠体连接处的液面高,由于少算了左端球罐体内的油量而多算了右端球冠体内的油量,左右两个球罐体内的计算误差基本可以抵消，这样就可以很好的简化模型的计算，而中间的圆柱体内油量的计算可以参照第一小题的计算方法，这里不再赘诉。
将α、β分别从１°取到１0°，通过matｌaｂ软件编程计算出最优的α、β值，确定最符合实际值的参数以后即得到罐容表函数，然后以10厘米为间隔，给出罐容表标定值，再与进出油的实际值比较误差。
最后利用附件二中的数据对模型的可靠性进行了检验，检验结果表明模型较为合理。
关键词微积分 ｍatlab 拟合最小二乘法
一、问题重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐,并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后,由于地基变形等原因,使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位）,从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
题目给出了一种典型的储油罐，主体为圆柱体,两端为球冠体。
还分别给出罐体纵向倾斜变位的示意图和横向偏转变位的截面示意图。
请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响,利用小椭圆型储油罐（如图，两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=４.１度的纵向变位两种情况做了实验，实验数据由附件1给出。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1ｃm的罐容表标定值。
（２）对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为1０ｃm的罐容表标定值。
并且进一步利用附件２中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。
二、问题分析
第一题:
要研究罐体变位后对罐容表的影响，需要将无变位和变位情况下的罐容表作比较,因此需要作出两张罐容表。
在无变位的情况下,以椭圆桶左边椭圆的最低点为原点,母线方向为Ｙ轴方向，与母线垂直向上为Z轴方向，垂直纸面向外为Ｘ轴方向建立空间直角坐标系。
利用积分算出横截面积与油位高度的关系，然后乘上桶的长度,即可得到储油量与油位高度的函数关系，这样就可以得到无变位情况下的理想罐容表。
在倾斜变位的情况下，以同样的方法建立空间直角坐标系，如图:
此时的横截面积与油位高度和Y坐标有关,利用双重积分计算出储油量与油位高度的函数关系（积分时要油位高度要分三种情况）,得到倾斜变位情况下的理想罐容表。
通过matｌａb将两条曲线画在同一张图表上进行比较即可得到变位对罐容表的影响。
通过比较计算得出的变位理想罐容表和附件中给出的实际数值，发现存在一定的误差，可以通过mａtlab实现最小二乘拟合，给出更加符合实际的罐容表曲线,从而得到更加精确的变位后油位高度间隔为1ｃm的罐容表标定值。
第二题：
要得到实际储油罐变位后的罐容表,难点在于同时考虑纵向倾斜和横向偏转,还有就是储油罐两端的球冠体。
首先用和第一题一样的方法建立空间直角坐标系,然后将纵向倾斜和横向偏转分开考虑，横向偏转对计算造成的影响相对不大,只需通过一定的函数将有横向偏转的油位高度等效转化为无横向偏转的油位高度；对于纵向倾斜造成的影响，计算时我们将油的体积分为两部分,中间圆柱体内为一部分，两端球冠体内为另一部分。
圆柱体内的一部分可以利用第一题的结论,将椭圆方程改为圆方程即可求解。
两端球冠体内的部分，由于油液面在球冠体内是倾斜的,这里运用近似的方法，假设油液面在球冠体内是平齐的，高即为圆柱体和球冠体连接处的液面高,这样虽然产生了一定误差，但是由于少算了左端球罐体内的油量而多算了右端球冠体内的油量，总体上不会产生大的偏差，对结果影响不大。
要得到最优化的α、β的解决方法是使确定参数的罐容表与实际值的误差最小。
令α、β分别从１°取到１0°，则共有10０种组合，根据附件中给出的出油实际值，在每一种组合中算出3０1对油位高度和储油量的数据，分别求每一组的301对理论值与实际值的差的绝对值之和,得出偏差最小的一种组合，然后再在该组合的周围利用同样的方法精确计算最优解，精确到0.1°。
确定最符合实际值的参数以后即得到罐容表函数，然后以10厘米为间隔,给出罐容表标定值,再与进出油的实际值比较误差。
三、模型假设
１.假设油浮子相对于油液面理想为质点；
2.假设对油罐进行进出油测数据时管道内没有残留;
3.假设所有数据都是在相同的外界条件下测量;
4.假设油浮子到达最高点不再进油,到达最低点不再出油；
5.假设储油罐的倾斜变位总是左低右高；
６.假设实际储油罐的纵向倾斜角不超过10°；
四、符号说明
h 油浮子显示的油位高度（ｄｍ）
v1小椭圆型储油罐无变位情况下的储油量
ｖ2 小椭圆型储油罐倾斜变位情况下的储油量
α 实际储油罐变位的纵向倾斜角度
β 实际储油罐变位的横向偏转角度
ｈ’ 有横向偏转的油位高度等效转化后的无横向偏转的油位高度
五、模型的建立与求解
第一题：
在无变位的情况下，储油量可以表示为：
在倾斜变位情况下,储油量的表达式为:
计算得到无变位和倾斜变位的情况下理论值的平均误差分别约为3.3%和3．９%,误差很小,可以直接将无变位和倾斜变位的情况下的理想罐容表比较，在matlab上作出罐容表曲线：
通过比较两条曲线可以得到变位后对罐容表的影响:
油液面很少,到达浮游子之前，油位高度显示始终为0；变位后的第一阶段内（
）,曲线斜率小于变位前，储油量变化较慢;变位后的第二阶段内（
）,曲线的斜率和无变位情况下曲线的斜率差不多,储油量增长幅度相同,两者的差值基本不变；第三阶段（
），曲线斜率趋缓,当油浮子高度为１2分米时,油箱还未加满，但根据假设，此时不再进油。
将变位情况下的理论罐容表曲线和实际值在图上做出（如下图）,可以看出两者有很小的误差，并且总是实际值小于理论值,可以解释为罐内一些管道占据了很小一部分体积，这是系统误差,可以通过计算将其缩小。
通过mａｔlab实现最小二乘拟合,可以将系统误差减小，由下图给出的变位情况下拟合后罐容表曲线与实际值可以看出在第二阶段内，实际值与罐容表曲线符合的很好。
另外由于当油浮子高度很小时，仍然使用拟合的数据会产生很大的误差。
不符合实际，所以h在０到0．5分米的范围内，罐容表使用理论值。
变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值如下表：
油位
高度（dm）
储油量（Ｌ）
油位
高度（ｄｍ）
储油量（L）
油位
高度（dm）
储油量（L）
油位
高度（dm）
储油量（L）
0
1.6744
3.1
577.50１7
6.2
１8０2.91３
9.3
３115.645
0.1
3.531
3.2
611.3997
6．3
１845.963
9．4
3155．019
０．2
6.2635
３.3
6４５.８468
6.4
１88９.0８6
９．5
3１94.０3９
０.３
9.９748
3.4
680.８206
6.5
１932.273
9.６
3232.６8８
0.4
14．７5６3
3.5
716．２99８
6．6
1９75.5０９
９.7
３270.9４6
０.5
2０．６9０8
3.6
7５2.２639
6．７
20１８．783
9.8
3３0８.７9３
０．6
26.2487８
3.7
78８.6932
6.8
2０62.083
9．９
3３46．209
0.７
3２.203２5
3.8
8２5．5686
6．9
2105.39６
１０．0
33８3．172
0．8
39.５６055
３.9
862.871９
７.０
2１48.７0９
10.1
3４１9.66
0.９
4８.３8167
4．0
９０0.５851
7.1
219２.0１2
1０.2
3４５５．649
1.0
5８.72395
4．１
9３８.６９1
7.２
2235．2９１
10.3
３４91.114
１.１
70.6４146
4.2
97７.173
7.3
2278.5３4
10.4
3526．０２９
１.2
8４．1８5３5
４.3
1016.015
７.4
2３21.72８
10.5
3560.36６
１.3
９9.40413
４.4
１０５5.2
7.5
2３64.８61
１0．６
３５９4．0９6
1．4
116.3439
4.5
1094.713
7.6
２407.92
10.7
36２７．１８7
１.5
135.0423
４.6
1１３4.54
７.7
245０.893
10.8
365９.6０５
1．6
１55．3249
4.7
1１7４．６6５
7.８
2493.7６６
1０.9
3691．3１3
1.7
1７6.９46
４.8
12１5.０73
7.９
2536.527
11.0
３７2２.2７1
1.8
１99.7728
4.9
1２5５.75
8.0
2５７9．1６２
11.１
3752.433
1.9
２23．7０95
5.0
１29６．683
８．1
2６21．659
11.２
37８1．751
2.0
248.６７96
5.1
１3３7.85７
８.２
2664.0０３
11.3
３８10.16６
2.１
27４.61８8
５．2
1379．259
8.3
２7０6．181
11.４
３８３7.614
2．2
301．4717
5.3
1４20．8７５
８.4
2７48.17９
11.5
3８64．01４
２.３
329.189４
5.４
14６２.691
8.5
278９.９83
11.６
3８8９.２６7
2.４
357．７279
5.5
150４.６96
8．６
２８31.579
11.7
3913.２3
2.5
387.04７6
５.6
1546.876
8.７
2872.９52
１1.8
393５．6３３
２.6
4１7.1119
5．7
158９.２17
8.8
2９14.087
１1．9
39５6．3５8
2.7
4４７.８8７２
5．８
1631.708
8．９
2954．９68
12.0
3975.447
２.８
４79.34２2
5.9
1６74.336
9．0
２995.５８1
2.９
511.４４77
6.0
1７17.０8７
9.１
３035.909
3.0
544.176２
6．1
1７5９.95１
9.２
3075．９36
第二题：
首先将有横向偏转的油位高度等效转化为无横向偏转的油位高度:
中间圆柱体内的储油量ｖa与ｈ’的函数关系:
左端球罐体内ｖb与h’的函数关系：
右端球罐体内ｖｃ与h’的函数关系:
将va,vb,vc相加，即可得到带有参数α、β的罐容表函数关系：
求α、β的最优解：
目标函数:
通过ｍatlａｂ使用遍历搜索法求的最优解：
以10厘米为间隔的罐容表标定值:
油位高度（dm）
储油量（L）
油位高度（dｍ）
储油量（L）
油位高度（dm）
储油量（L）
1
581.605６
１１
2２316.7４
２1
５3８77.0５
2
１389.156
１２
25３82.7１
２2
5６828.１1
３
2694.6７4
13
28514．5３
2３
5９669.46
4
441５.0４3
14
３1694.58
24
６238０.12
5
6417.853
15
３4９０5.67
2５
649３7.09
６
8655.６７7
16
38130．88
２6
67314．４6
7
110９3.26
17
４135３.4２
27
69４81.71
8
１3701.81
1８
44556.47
28
71400.6２
９
16４５６.4５
１9
４77２３.０5
29
73０１7.38
10
19３34.93
20
5０8３5.85
30
６8863.53
六、模型评价与推广
优点:
本文计算储油量均采用了微积分的方法，将思路简单化；考虑问题比较全面，能解决的问题范围比较广；利用ｍatlab计算，提高了计算效率。
模型理论性强,数学推导严谨,实用性好,具有很强的现实应用指导意义。
缺点:
模型假设不够充分，对误差的检验和拟合不够彻底，结果存在一定误差。
推广：
本模型解决的虽然是储油罐的变位识别与罐容表标定问题,但应用的一般方法可以推广到各种冠状容器,解决不同的实际问题。
七、参考文献
[1]薛山,MAＴLAB基础教程，北京：
清华大学出版社,20１1
[2] 同济大学数学系,高等数学，高等教育出版社，２007年4月第6版
[３]堵秀凤,数学实验，科学出版社,2009年2月第1版
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