大学生数学建模竞赛.docx
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大学生数学建模竞赛
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
C
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
Y0615
所属学校（请填写完整的全名）：
陕西工业职业技术学院
参赛队员（打印并签名）：
1.张恒
2.魏林柏
3.殷娟
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
马俊
日期：
2011年09月12日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
企业退休职工养老金的改革
摘要
本文研究了企业退休职工养老金制度的改革问题。
针对问题一：
利用Excel软件结合山东省职工历年平均工资数据绘制了不同的工资变化趋势线。
经过模拟选优，得出最优函数经验公式，再利用MATLAB软件结合山东省职工历年平均工资数据，对最优函数经验公式进行数值曲线拟合，拟合出函数表达式以及函数图形，对问题一进行求解，得到2011年至2035年的山东省职工的年平均工资（见正文表格1）。
针对问题二：
采用了Excel数据处理，利用取中间值法简化问题，得到2009年山东省某企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，并作为职工缴费指数的参考值，解出了该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），等各种情况下的养老金替代率（见正文表格2）。
针对问题三：
关于养老金缺口情况，利用Excel软件通过对当期养老金支出与养老金收入的差额进行计算，求得该企业职工在65岁退休的情况下2035年和2036年存在养老保险基金缺口问题，2035年缺口额为16253.5元，2036年缺口额为3232.47元。
在模型二的基础上对养老保险基金的收支平衡进行了分析运算，通过运算数值的对比观察，对养老保险基金的收支平衡进行了解答。
得出该企业（55岁，60岁，65岁）退休职工领取养老金到（62岁，66岁，70岁）时，达到收支平衡。
针对问题四：
通过对模型一、二、三结果的综合分析，结合我国经济发展前景，给出既能达到目标替代率，又能维持养老保险基金收支平衡的有效措施。
本文给出了大量表格，条分缕析，不但直观易懂，而且推理严谨，深入浅出，结果明确。
模型可操作性强，推广应用起来也很方便。
关键词：
模拟选优MATLAB软件数值曲线拟合法Excel数据处理
一、问题重诉
养老金是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。
我国企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。
这两个账户我们合称为养老保险基金。
退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。
如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。
个人账户储存额利率统一设定为3%。
养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。
替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。
按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%.替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。
所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。
请建立数学模型，解决如下问题：
问题一：
对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。
问题二：
根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。
如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。
问题三：
假设该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。
计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
问题四：
如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。
请给出你的理由。
二、问题分析
现在我国养老保险改革正处于过渡期，由于我国经济发展迅速，工资增长率也较高，对养老保险有很大的影响。
根据参考文献[1]可知，预测我国可能在2040年左右达到中等发达国家水平。
我们可以利用MATLAB软件拟合出未来中国经济发展和工资增长趋势方程，即可预测出2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。
职工养老金替代率可以通过职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例求得，而职工退休时的养老金由基础养老金和个人账户养老金即可求出。
若企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），各种情况下的养老金替代率可以参考问题一中已预测出从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资来求解。
P（基础养老金）=[q（全省上年度在岗职工月平均工资）+S（本人指数化月平均缴费工资）]÷2×缴费年限×1%；L（个人账户养老金）=I（个人账户储存额）÷n（计发月数）。
若假设山东省某企业缴养老保险的职工在每年年初开始将工资总额按一定比例充入到社会统筹基金账户和个人账户，根据问题一中已预测出从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资数据，和职工缴费指数的参考值先求出本人指数化月平均缴费工资，再依次求出职工刚退休时的养老金和退休前工资等即可得到各种情况下的养老金替代率。
养老保险基金的缺口情况是当期养老金支出与养老金收入的差额。
只要计算出职工退休（55岁，60岁，65岁）后每年所领养老金，和该职工退休后至75岁死亡，该企业在职职工应缴养老保险数额即可求得养老保险基金的缺口情况。
计算职工缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间的收支平衡，首先应先计算出该职工自30岁开始缴养老保险到退休（（55岁，60岁，65岁），公缴存的养老保险数额，再根据该数额以得出该职工自（（55岁，60岁，65岁）退休后，领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，可参考二，三问的结果，应从退休职工的生活水准和养老保险可能存在的缺口情况着手，再结合社会经济发展前景即可进行解答。
三、模型假设
（1）假设2009年山东省某企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比可以看作该企业职工自2000年起职工缴费指数的参考值；
（2）由于缴费工资是单位为个人缴纳保险的基数，假设单位为个人缴纳保险时按规定的工资总额缴纳，即实际工资和缴费工资是一致的；
（3）假设山东省某企业缴养老保险的职工在每年年初开始将工资总额按一定比例充入到社会统筹基金账户和个人账户；
（4）假设某职工某年度的工资可以参考该企业或该省平均工资额；
（5）假设职工退休后，基本养老保险个人账户利息可以不计；
（6）假设养老金缺口情况只考虑当期缺口，即当期养老金支出与养老金收入的差额；
（7）假设退休后职工死亡年份没有领取养老金。
四、符号说明
t
年份
Z
替代率
d
职工人数
n
计发月数
s
年平均工资
m
企业平均月工资
I
个人账户储存额
G
职工退休后的养老金
k
各年龄段职工缴费指数
q
各年龄段职工月平均工资
w
各年龄段职工月工资总和
S
本人指数化月平均缴费工资
A
某企业在职职工某年应缴养老保险额
P
社会统筹账户中拨出资金（基础养老金）
L
个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金）
五、模型建立与求解
（1）问题一的模型建立与求解
根据题中附件一给出的Excel文件，我们可以利用Excel软件结合山东省职工历年平均工资数据绘制出不同的工资变化趋势线（详见本文附录一），观察附录一中的图a,b,c,即可得知工资的变化趋势与指数形式最为相符。
得出如下经验公式：
（1-1-1）
我们可将其转化为一次函数进行求解。
对两边取对数得：
（1-1-2）
令：
则：
（1-1-3）
利用MATLAB软件，编程算法（详见附件1），通过数值曲线拟合，即求出拟合公式。
编程算法如下：
clearall
t=[1978:
2010];
t1=[1978:
0.1:
2010];
s=[566632745755769789985111013131428178219202150229226013149433851455809624168547656877210007113741256714332166141922822844264042968832074];
y=log（s）;
c=polyfit（t,y,1）
b=c
（1）
a=exp（c
（2）
解得
则拟合方程为：
（1-1-4）
再利用MATLAB软件，编程算法（详见附件2）用拟合公式预算预测出2011年至2035年的山东省职工的年平均工资（附录二），预算数值见表格1，MATLAB拟合图像如下：
表格1
2011年至2035年山东省职工的年平均工资统计表
t/年份
s/平均工资（元）
2011
37150
2012
42390
2013
48360
2014
55180
2015
62950
2016
71830
2017
81950
2018
93500
2019
106680
2020
121710
2021
138870
2022
158440
2023
180770
2024
206250
2025
235320
2026
268480
2027
306320
2028
349500
2029
398760
2030
454960
2031
519080
2032
592230
2033
675700
2034
770940
2035
879590
（2）问题二的模型建立与求解
根据题中给出的数据，用求平均值法，参考文献[2]取职工月收入范围的中间值，即可求出各年龄段职工工资和企业平均工资，及其比值（职工缴费指数）。
结果见表格2：
，（2-1-1）
（2-1-2）
表格2
职工年龄
各年龄段职工月工资总和w
职工人数d
各年龄段职工月平均工资q
企业平均月工资m
各年龄段职工缴费指数k
20-24
487000元
282
1726.95元
2580.228
0.669301
25-29
546250元
263
2076.996元
0.804966
30-34
613500元
242
2535.124元
0.982519
35-39
622000元
226
2752.212元
1.066655
40-44
668750元
221
3026.018元
1.172771
45-49
634000元
194
3268.041元
1.266571
50-54
421000元
135
3118.519元
1.208621
55-59
301000元
101
2980.198元
1.155013
由题意可知2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资的比值可以看作职工缴费指数的参考值，结合问题一中山东省职工历年平均工资和预测出的2011年至2035的年平均工资，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），可列出表格3六种情况：
表格3
55
60
65
30
25
30
35
40
15
20
25
S（本人指数化月平均缴费工资）=q（全省上年度在岗职工月平均工资）×k（本人平均缴费指数）（2-1-3）
关于本人指数化月平均缴费工资S，利用Excel软件计算（详见附件3）结果见表格4：
表格4
S（30-55）
S（30-60）
S（30-65）
S（40-55）
S（40-60）
S（40-65）
5061.295
9023.222
15333.34
2099.858
3055.301
5648.822
单位：
元
P（基础养老金）=[q（全省上年度在岗职工月平均工资）+S（本人指数化月平均缴费工资）]÷2×缴费年限×1%（2-1-4）
关于基础养老金P，利用Excel软件计算（详见附件3）结果见表格5：
表格5
P（30-55）
P（30-60）
P（30-65）
P（40-55）
P（40-60）
P（40-65）
2515.683
5722.233
12537.29
459.7394
1129.497
2589.124
单位：
元
L（个人账户养老金）=I（个人账户储存额）÷n（计发月数）
（2-1-5）
关于个人账户养老金L，利用Excel软件计算（详见附件3）结果见表格6：
表格6
（30-55）
（30-60）
（30-65）
（40-55）
（40-60）
（40-65）
I
（个人账户储存额）
161503.2
元
322523.2
元
635470.1
元
36879.65
元
495198.7
元
161503.2
元
N
（计发月数）
170
139
101
170
139
101
L
（个人账户养老金）
983.5087
元
2367.793
元
6367.538
元
216.9391
元
3562.581
元
1655.411
元
G（职工退休后的养老金）=P（基础养老金）+L（个人账户养老金）
（2-1-6）
该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），各种情况下，关于该职工退休后的养老金，利用Excel软件计算（详见附件3）结果见表格7：
表格7
G（30-55）
G（30-60）
G（30-65）
G（40-55）
G（40-60）
G（40-65）
3499.191
8090.026
18904.83
676.6785
4692.078
4244.535
单位：
元
由于替代率Z是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。
由以上所求数据易求得该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁）情况下的养老金的替代率Z的计算（详见附件3）结果见表格8：
表格8
养老保险缴费年限
30-55
30-60
30-65
40-55
40-60
40-65
职工退休前月工资
17187.5
元
33230
元
64245
元
4598.333
元
8890
元
17187.5
元
Z（替代率）
20.36%
24.35%
29.43%
14.72%
52.78%
24.70%
（3）问题三的模型建立与求解
由于该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁）时，职工的个人账户养老金（L）和本人指数化月平均缴费工资（S）已求出，如表9所示：
表格9
30-55
30-60
30-65
缴费年限
25年
30年
35年
L
（个人账户养老金）
983.5087元
2367.793元
6367.538元
S
（本人指数化月平均缴费工资）
5061.295元
9023.222元
15333.34元
根据问题一，再利用MATLAB软件，编程算法（详见附件4）用拟合公式预算预测出2036年至2045年的山东省职工的年平均工资（附录三），预算数值见表格10，MATLAB拟合图像如下：
表格10
2036年至2045年山东省职工的年平均工资统计表
t/年份
s/平均工资（元）
2036
1003600
2037
1145000
2038
1306400
2039
1490500
2040
1700600
2041
1940200
2042
2213700
2043
2525700
2044
2881700
2045
3287800
利用以上数据，计算该职工自（55岁，60岁，65岁）退休后，到75岁死亡，每年所领养老金数额和当年该公司在职职工应缴养老金数额，
G（职工退休后的养老金）=P（基础养老金）+L（个人账户养老金）
（3-1-1）
P（基础养老金）=[q（全省上年度在岗职工月平均工资）+S（本人指数化月平均缴费工资）]÷2×缴费年限×1%（3-1-2）
该年养老金支出=12G（职工退休后的养老金）（3-1-3）
A（该企业在职职工该年应缴养老保险额）=28%职工该年度工资总额（3-1-4）
利用Excel软件计算（详见附件5）出该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡，养老金的支出与养老金收入如表格11所示：
表格11
55-75
60-75
65-75
年份
养老金支出
养老金收入
养老金支出
养老金收入
养老金支出
养老金收入
2025
48809.05
65889.6
-
-
-
-
2026
52954.05
75174.4
-
-
-
-
2027
57684.05
85769.6
-
-
-
-
2028
63081.55
97860.0
-
-
-
-
2029
69239.05
111652.8
-
-
-
-
2030
76264.05
127388.8
112899.3
127388.8
-
-
2031
84279.05
145342.4
122517.3
145342.4
-
-
2032
93422.8
165824.4
133489.8
165824.4
-
-
2033
103856.5
189196.0
146010.3
189196.0
-
-
2034
115761.5
215863.2
160296.3
215863.2
-
-
2035
129342.8
246285.2
176593.8
246285.2
262538.7
246285.2
2036
137252.1
281008.0
195195.3
281008.0
284240.5
281008.0
2037
162519
320600.0
216405.3
320600.0
308985.5
320600.0
2038
182694
365792.0
240615.3
365792.0
337230.5
365792.0
2039
205706.5
417340.0
268230.3
417340.0
369448
417340.0
2040
231969
476168.0
271331.8
476168.0
406215.5
476168.0
2041
261919
543256.0
335685.3
543256.0
448145.5
543256.0
2042
296106.5
619876.0
376710.3
619876.0
496008
619876.0
2043
335106.5
707196.0
423510.3
707196.0
550608
707196.0
2044
379606.5
806876.0
476910.3
806876.0
612908
806876.0
单位：
元
观察表格11可知，该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，只有一直缴费到65岁退休的情况下，存在养老保险基金的缺口问题。
此种情况下该企业某职工年度养老保险基金的缺口问题存在于2035年（养老基金支出额262538.7元大于收入额246285.2元）该年缺口额为16253.5元；和2036年（养老基金支出额284240.5元大于收入额281008.0元）该年缺口额为3232.47元。
计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡，首先应求得：
a、基本养老保险金额=个人账户缴纳总额+社会统筹缴纳总额
b、可发年数=基本养老保险金额/每月平均退休金
c、收支平衡年龄=可发年数+退休年龄
利用Excel软件通过数据处理，计算（详见附件6）出收支平衡年龄如表格12所示：
表格12
55岁退休职工
60岁退休职工
65岁退休职工
个人账户缴纳总额
157461.2元
313188.5元
617029.9元
社会统筹缴纳总额
316088元
657764元
1230346元
缴存养老保险总金额
473549.2元
940952.5元
1847376元
刚超出缴存基金时
领回养老金总额
545733.7元
1047002元
1968659元
刚超出收支平衡时的年龄
63岁
67岁
71岁
收支平衡年龄
62岁
66岁
70岁
则该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，收支平衡有以下三种
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