《光学教程》课后习题解答.docx
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《光学教程》课后习题解答
《光学教程》（姚启钧）习题解答
第一章光的干涉
1、波长为500nm的绿光投射在间距d为0.022cm的双缝上，在距离180cm处的光屏
上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离。
若改用波长为700nm的红光投射到此
双缝上，两个亮纹之间的距离为多少？
算出这两种光第2级亮纹位置的距离。
解：
、=500nm
y二也、50010,=0.409cm
d0.022
改用■2二700nm
r180
%哺2=五700仗"573-
两种光第二级亮纹位置的距离为:
：
y=2：
y2-2y=0.328cm
2、在杨氏实验装置中，光源波长为640nm，两狭缝间距为0.4mm，光屏离狭缝的距离为50cm，试求：
⑴光屏上第1亮条纹和中央亮纹之间的距离；⑵若P点离中央亮纹为0.1mm问两束光在P点的相位差是多少？
⑶求P点的光强度和中央点的强度之比。
解:
r50
⑴y=-64010=0.08cm
d0.04
⑵由光程差公式
、=r2-=dsinv-d—
m2兀益2兀y兀
d
九九4
⑶中央点强度:
1o=4A
P点光强为：
I二2A2i1cos—
I4
=-（12）=0.854
3、把折射率为1.5的玻璃片插入杨氏实验的一束光路中，光屏上原来第5级亮条纹
所在的位置变为中央亮条纹，试求插入的玻璃片的厚度。
已知光波长为610”m
解：
n=1.5，设玻璃片的厚度为d
由玻璃片引起的附加光程差为：
：
-n-'1d
n-1d=5
5丸5_z_6_4
d610'=610m=610cm
n-10.5
4、波长为500nm的单色平行光射在间距为0.2mm的双缝上。
通过其中一个缝的能量
为另一个的2倍，在离狭缝50cm的光屏上形成干涉图样，求干涉条纹间距和条纹的
由题意，设A2=2A；，即J"代入上式得
可见度
解：
"d\502500伏“125-
由干涉条纹可见度定义:
5、波长为700nm的光源与菲涅耳双镜的相交棱之间距离为20cm，棱到光屏间的距
离L为180cm，若所得干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为1mm，求双镜平面之间的夹角
解：
’=700nm,r=20cm,L=180cm,=y=1mm
由菲涅耳双镜干涉条纹间距公式
（r+L）
.y=
2rsin日
（r+L）（20+180）_j
sin70010=0.0035
2rAy2x20^0.1
二sinv-0.0035型60L12
3.14
6、在题1.6图所示的劳埃德镜实验中，光源S到观察屏的距离为1.5m，到劳埃德镜面的垂直距离为2mm。
劳埃德镜长40cm，置于光源和屏之间的中央。
⑴若光波波长■=500nm，问条纹间距是多少？
⑵确定屏上可以看见条纹的区域大小，此区域内
共有几条条纹？
（提示：
产生干涉的区域P1P2可由图中的几何关系求得）
P2
P1
P0
解：
由图示可知：
■=500nm=50010"cm,d=4mm=0.4cm,r0=1.5m=150cm
_Ar0匚150#
1y=~50010=0.01875cm=0.19mm
d0.4
2在观察屏上可以看见条纹的区域为P1P2间
0.75-0.2t
F0R=x2=1.16mm
0.750.2
0.750.2,
F0F22=3.45mm
离屏中央1.16mm上方的2.29mm范围内可看见条纹。
0.75-0.2
即P2R=3.45一1.16=2.29mm,
解：
-=700nm,n2=1.33
由等倾干涉的光程差公式：
:
.二2d.nr-n^sin2»-2d忙-n2sin2h?
=2■
d426nm
4Jn；—sin230o
8、透镜表面通常镀一层如MgF2（n=1.38）一类的透明物质薄膜，目的是利用干涉
来降低玻璃表面的反射。
为了使透镜在可见光谱的中心波长（550nm）处产生极小
的反射，则镀层必须有多厚?
解：
n=1.38
物质薄膜厚度使膜上下表面反射光产生干涉相消，光在介质上下表面反射时均存在半波损失。
由光程差公式:
、二2nh二1
2
人550$
h99.6nm=110cm
4n41.38
9、在两块玻璃片之间一边放一条厚纸，另一边相互压紧，玻璃片I长10cm，纸厚为
0.05mm，从60。
的反射角进行观察，问在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目是
多少？
设单色光源波长为500nm
解:
.■:
h-
2n「cos60。
211
2
0.05
50010-6_100
H
可看见总条纹数N=—
也h
则在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目为:
l10
即每cm内10条。
10、在上题装置中，沿垂直于玻璃表面的方向看去，看到相邻两条暗纹间距为1.4mm
已知玻璃片长17.9cm，纸厚0.036mm,求光波的波长。
当光垂直入射时，等厚干涉的光程差公式：
-二2nh—
2
可得：
相邻亮纹所对应的厚度差：
厶h二——
2n
AhH也I
由几何关系：
，即：
hH
AlII
■=2n：
h=2程H=210.」40.00360.56t1cm0二n5r63.1
I17.9
11、波长为400L760nm的可见光正射在一块厚度为1.2IQ'm,折射率为1.5的薄玻璃片上，试问从玻璃片反射的光中哪些波长的光最强
解：
h=1.210'm,n=1.5
由光正入射的等倾干涉光程差公式：
=2nh
2
使反射光最强的光波满：
足■■:
=2nhj■
2
j=5,■=654.5nm
j=6/-553n8n
j=7/=480.n0n
j=8,■=423.n5n
909个,
12、迈克耳逊干涉仪的反射镜M2移动0.25mm时，看到条纹移过的数目为
设光为垂直入射，求所用光源的波长。
解：
M1
M2
光垂直入射情况下的等厚干涉的光程差公式:
移动一级厚度的改变量为：
h二一
2
13、迈克耳逊干涉仪的平面镜的面积为44cm2，观察到该镜上有20个条纹，当入
射光的波长为589nm时，两镜面之间的夹角为多少?
解:
14、调节一台迈克耳逊干涉仪，使其用波长为500nm的扩展光源照明时会出现同心圆环条纹。
若要使圆环中心处相继出现1000条圆环条纹，则必须将移动一臂多远的距离？
若中心是亮的，试计算第一暗环的角半径。
（提示：
圆环是等倾干涉图样，计算第一暗环角半径时可利用二sin^cosr:
"-丄二2的关系。
）
2
解：
，=500nm
出现同心圆环条纹，即干涉为等倾干涉
对中心：
=2h
2：
h=1000'
h=1100050010^=2.510‘cm=0.25mm
2
15、用单色光观察牛顿环，测得某一亮环的直径为3mm，在它外边第5个亮环的直
径为4.6mm,所用平凸透镜的凸面曲率半径为1.03m，求此单色光的波长
2（j5）1尹』46
以上两式相减得：
52空
4
1216
3=0.590310"mm=590.3nm
451.03103
16、在反射光中观察某单色光所形成的牛顿环，其第2级亮环与第3级亮环间距为
1mm,求第19和20级亮环之间的距离。
解：
牛顿环的反射光中所见亮环的半径为：
r19-、39.；—R
第2章光的衍射
1、单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。
求第k个带的半径。
若极
点到观察点的距离r0为1m，单色光波长为450nm，求此时第一半波带的半径。
解:
由公式
11
r°R
对平面平行光照射时，波面为平面，即:
RH-kr0■
RH二kr0・=145010-6110—0.45
RH=“0.45mm
2、平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样改变大小。
问：
⑴小孔半径应满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小孔中心4m的P点的光强分别得到极大值和极小值；⑵P点最亮时，小孔直径应为多大？
设此光的波长为500nm。
解：
⑴r0=4m=400cm
RH二500107400.k=0.14Kkcm
当k为奇数时，P点为极大值
当k=1，即仅露出一个半波带时，P点最亮。
RH1=0.141cm,（k=1），D=0.282cm
3、波长为500nm的单色点光源离光阑1m，光阑上有一个内外半径分别为
0.5mm和
I0之比。
1mm的透光圆环，接收点P离光阑1m，求P点的光强I与没有光阑时的光强
解：
RH1=0.5mm
2
_rH/11〕（0.5“0‘）f11）‘
匕=+—=.一+-|=1
九訂0R,500^10u1）
RH2=1mm
/32
RH2I11、（110）<11）
k2=-^—+—=-+-=4
扎VoR丿500X0111丿
即从透光圆环所透过的半波带为：
2，3，4
设=a?
=—a
Ap=a2-a3a^—a
没有光阑时
”1
ap=?
a1丄ak,
kr：
：
ak—；0
A11
Ap_尹_2a
光强之比:
4、波长为632.8nm的平行光射向直径为2.76mm的圆孔，与孔相距1m处放一屏，试问：
⑴屏上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？
⑵要使P点变成与⑴相反的情况，至少要把屏分别向前或向后移动多少？
解：
11r°R
对平面平行光照射时，波面为平面，即:
即P点为亮点。
k=3-r°
解：
5、一波带片由五个半波带组成。
第一半波带为半径ri的不透明圆盘，第二半波带是半径ri和「2的透明圆环，第三半波带是「2至「3的不透明圆环，第四半波带是「3至「4的透明圆环，第五半波带是r4至无穷大的不透明区域。
已知*:
「2:
「3:
「4=1:
2:
3:
；4，
用波长500nm的平行单色光照明，最亮的像点在距波带片1m的轴上，试求：
⑴”；
⑵像点的光强；⑶光强极大值出现在哪些位置上
⑴由「1：
「2：
「3：
「4=1：
.2：
',3：
4
2
1m匚
15
2Q
二=50010=0.07cm
2
⑵A=a2a4=2a,I=4a
即：
I=161。
，I。
为入射光的强度。
11
m,—m…
35
11
⑶由于波带片还有J，5-・等多个焦点存在，即光强极大值在轴上
6、波长为■的点光源经波带片成一个像点，该波带片有100个透明奇数半波带
（1,3,5,…,199）。
另外100个不透明偶数半波带。
比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时该像点的强度比I：
I0。
解：
由波带片成像时，像点的强度为：
I=（100af
由透镜成像时，像点的强度为:
2
I。
=200a
7、平面光的波长为480nm，垂直照射到宽度为0.4mm的狭缝上，会聚透镜的焦距为
60cm。
分别计算当缝的两边到P点的相位差为二/2和二/6时，P点离焦点的距离。
解:
相位差为:
；=—=—bsinv
对使的P点
2
2二
sin=——
4b
对使；一的p点
6
：
：
=—bsin-sinj=——
12b
-_6
丸480"0
6000.06mm
12b120.4
8、白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三个次最大值与波长为600nm的
光波的第二个次最大值重合，求该光波的波长。
解：
对二方位，，=600nm的第二个次最大位
对■•的第三个次最大位
55
600=428.6nm
77
9、波长为546.1nm的平行光垂直地射在1mm宽的缝上，若将焦距为100cm的透镜紧
贴于缝的后面，并使光聚焦到屏上，问衍射图样的中央到⑴第一最小值；⑵第一最大值；⑶第三最小值的距离分别为多少？
解：
⑴第一最小值的方位角宀为：
bsin^=1
sin^=f10005461—00.55mm
b1
⑵第一最大值的方位角片为：
sin弓二11一
.2b
&5461乂10"6
y^i=ftan齐：
fsin片=f1.4310001.430.78mm
b1
⑶第3最小值的方位角■ti3为：
sin1=3-
b
y3二ftan玉：
fsin二3二f310003546.11^=1.65mm
b1
10、钠光通过宽0.2mm的狭缝后，投射到与缝相距300cm的照相底片上。
所得的第
最小值与第二最小值间的距离为0.885cm,问钠光的波长为多少？
若改用X射线
（■=0.1nm）做此实验，问底片上这两个最小值之间的距离是多少?
单缝衍射花样最小值位置对应的方位-满足：
扎
sinv-k—,k=1,_2,_3,....
b
则齐：
'sin哥=1-
b
H:
sinI=2-
b
•：
x二Lu=L-
b
b02
'=一：
x——8.85=5.910^mm=590nm
L3000
：
x=L3000.1101.510*cm
b0.02
11、以纵坐标表示强度，横坐标表示屏上的位置，粗略地画出三缝的夫琅禾费衍射
（包括缝与缝之间的干涉）图样。
设缝宽为b，相邻缝间的距离为d，d=3b。
注意
缺级问题
12、一束平行白光垂直入射在每毫米50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第
二光谱的始端的衍射角二之差为多少？
（设可见光中最短的紫光波长为400nm,最
长的红光波长为760nm）
解：
每毫米50条刻痕的光栅，即d=」mm=0.02mm
50
第一级光谱的末端对应的衍射方位角^末为
dsin弓末=1■红
冃末：
sin^i末-
d
第二级光谱的始端对应的衍射方位角-2始为
dsin^始二2■紫
.2，紫
二2始sin二2始1:
'
d
11663
宀-玉始一弓末2紫一红240010—76010=210rad
13、用可见光（760L400nm）照射光栅时，一级光谱和二级光谱是否重叠？
二级和
三级怎样？
若重叠，则重叠范围是多少?
1始二2400..末=1760
400_1200
即第一级光谱与第二级光谱无重叠
S二2760二1520宀3始二3d
d
即第二级光谱与第三级光谱有重叠
即第三级光谱的400L506.7nm的光谱与第二级光谱重叠。
j
=0
i=1
j=2
11j_3
0'
14、用波长为589nm的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主
最大值之间的衍射角为15010，求该光栅1cm内的缝数是多少？
解：
第20级主最大值的衍射角由光栅方程决定
dsinv20=20■
A
二20二sin二20=20—
d
“九15x60+10
20一d18060
3.14
解得d=0.4510，cm
1
N222条/cm
d
15、用每毫米内有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm的钠光谱。
试问：
⑴光垂直入射时，最多功能能观察到几级光谱？
⑵光以300角入射时，最多能观察到
几级光谱？
”1、£
解：
dmm,■=58910mm
400
⑴光垂直入射时，由光栅方程：
dsin^-j■
1.11
j.dsin64.24：
4
k589汇10400
即能看到4级光谱
⑵光以30o角入射
dsin二sin30o二j■
=6
j=dsinvsin30°=4111
人I2丿
16、白光垂直照射到一个每毫米250条刻痕的平面透射光栅上，试问在衍射角为300处会出现哪些波长的光？
其颜色如何？
1
解：
dmm
250
在30°的衍射角方向出现的光，应满足光栅方程：
dsin30°=j•
11
dsin30o:
jj
=3,
■=667nm
=4,
■=500nm
=5,
■=400nm
j
j
j
—’mm」2000nm
2502j
17、用波长为624nm的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b为0.012mm，不透
明部分的宽度a为0.029mm，缝数N为103条。
求：
⑴单缝衍射图样的中央角宽度；⑵单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？
⑶谱线的半宽度为多少？
解：
b=0.012mm,a=0.029mm
d=ab=0.041mm
N=1000
小“k624^0》
⑴'）0=220.104rad
b0.012
⑵j级光谱对应的衍射角二为：
dsin二j'
LZ
-1sin齐=1—
d
1门。
k=2-
b”3
即在单缝图样中央宽度内能看到231=7条（级）光谱
⑶由多缝干涉最小值位置决定公式:
sin二j
Nd
62410-6
第3章几何光学的基本原理
1、证明反射定律符合费马原理
证明：
设A点坐标为0,y1，B点坐标为x2,y2
入射点C的坐标为x,0
光程ACB为：
A=Jx2十％2十J（X2-Xf*科2
令甘12x12X2-X
令sinI-sinI=0
dx2Jx2+yj2J（X2—xf+y22
即：
sini=sini
*2、根据费马原理可以导出近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程都相等。
由此导出薄透镜的物像公式。
3、眼睛E和物体PQ之间有一块折射率为1.5的玻璃平板（见题3.3图），平板的厚
度d为30cm。
求物体PQ的像P'Q'与物体PQ之间的距离d?
为多少?
sinh=nsini2
4、玻璃棱镜的折射角A为600，对某一波长的光其折射率n为1.6，计算：
⑴最小偏向角；⑵此时的入射角；⑶能使光线从A角两侧透过棱镜的最小入射角。
解：
⑴由—h-i2k-i2九h-i2i2*h-A
1
当h=h时偏向角为最小，即有i2=i2A=30°
2
J-2h-A
1
sinh=nsini2=1.60.8
2
h=53°08v-253°08-60°=46°16
⑵h=53°08
5、（略）
6、高5cm的物体距凹面镜顶点12cm，凹面镜的焦距是10cm，求像的位置及高度,
（并作光路图）
解：
由球面成像公式：
112
—+_=—
Ssr
112
代入数值」—
s'-12-20
得：
s=-60cm
F
由公式：
——=0
ss"
‘s-60LCL
yy5--25cm
s-12
7、一个5cm高的物体放在球面镜前10cm处成1cm高的虚像。
求⑴此镜的曲率半径;⑵此镜是凸面镜还是凹面镜？
解：
⑴y=5cm,s=-10cm
y=1cm，虚像s0
112
⑵由公式一
Ssr
112
2帀t
r=5cm（为凸面镜）
8、某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜中他自己的像。
他移动着玻璃板，使得
在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起。
若凸面镜的焦距为10cm，
眼睛距凸面镜顶点的距离为40cm，问玻璃板距观察者眼睛的距离为多少？
解：
21
由题意，凸面镜焦距为10cm，即2二丄
r10
112
—+_——
Ssr
111
—+=—
s-4010
s二8cm
PP=48cm
1
玻璃板距观察者眼睛的距离为dPP"—24cm
2
9、物体位于凹面镜轴线上焦点之外，在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平行的玻璃板，其厚度为d1，折射率为n。
试证明：
放入该玻璃板后使像移动的距离与把凹面镜向物体移动d1n-1/n的一段距离的效果相同。
证明:
设物点P不动，由成像公式丄.-=-
Ssr
s「
2s_r
（1）
由题3可知：
PR=dil0
InJ
入射到镜面上的光线可视为从P1发出的，即加入玻璃板后的物距为sd
112
r=—
Ssdr
srsd
3-
2sd-r
反射光线经玻璃板后也要平移d，所成像的像距为s's'-d
放入玻璃板后像移量为：
g's-s—-d空一
2（s+d）—r（2s_r）
2
十=——
ssdr
s_rsd
2sd;-r
S2相对0点距离s2=s^-djdd
22sd-r
3“s=rSd亠^^
2（s+d）-r（2s_r）
10、欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的顶点处，问这
透明球体的折射率应为多少？
解:
nnn"-n
——=
ssr
s--：
：
n=1,s=2r
由球面折射成像公式:
n_n_n
2rr
解得：
n>2
11、有一折射率为1.5、半径为4cm的玻璃球，物体在距球表面6cm处，求：
⑴物所成的像到球心之间的距离；⑵像的横向放大率。
⑴P由球面o1成像为P，
nnn-n
——=
ssr
1.511.5-1
4
s二-36cm
P•由。
2球面成像P
s2=-36-8=-44cm
丄2-51-1.5
s2-44-4
s^11cm,P■在。
2的右侧，离球心的距离114=15cm
⑵球面o1成像
（利用P194:
球面。
2成像
12、一个折射率为1.53、直径为20cm的玻璃球内有两个小气泡。
看上去一个恰好在球心，另一个从最近的方向看去，好像在表面与球心连线的中点，求两气泡的实际位置。
解：
OO
R,巳
设气泡R经球面o1成像于球心，由球面折射成像公式：
nnn-n
——=
ssr
11.531-1
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