C语言常用而经典的算法.docx
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C语言常用而经典的算法
一、基本算法交换、累加、累乘
二、非数值计算常用经典算法穷举、排序冒泡选择、查找顺序即线性
三、数值计算常用经典算法级数计算直接、简接即递推、一元非线性方程求根牛顿迭代法、二分法、定积分计算矩形法、梯形法、矩阵转置
四、其他迭代、进制转换、字符处理统计、数字串、字母大小写转换、加密等、整数各数位上数字的获取、辗转相除法求最大公约数最小公倍数、求最值、判断素数各种变形、数组元素的插入删除、二维数组的其他典型问题方阵的特点、杨辉三角形
一、基本算法
1．交换（两量交换借助第三者）
例1、任意读入两个整数，将二者的值交换后输出。
main（）
{inta,b,t;
scanf（"%d%d",&a,&b）;
printf（"%d,%d\n",a,b）;
t=a;a=b;b=t;
printf（"%d,%d\n",a,b）;}
【解析】程序中加粗部分为算法的核心，如同交换两个杯子里的饮料，必须借助第三个空杯子。
假设输入的值分别为3、7，则第一行输出为3，7；第二行输出为7，3。
其中t为中间变量，起到“空杯子”的作用。
注意：
三句赋值语句赋值号左右的各量之间的关系！
【应用】
例2、任意读入三个整数，然后按从小到大的顺序输出。
main（）
{inta,b,c,t;
scanf（"%d%d%d",&a,&b,&c）;
/*以下两个if语句使得a中存放的数最小*/
if（a>b）{t=a;a=b;b=t;}
if（a>c）{t=a;a=c;c=t;}
/*以下if语句使得b中存放的数次小*/
if（b>c）{t=b;b=c;c=t;}
printf（"%d,%d,%d\n",a,b,c）;}
2．累加
累加算法的要领是形如“s=s+A”的累加式，此式必须出现在循环中才能被反复执行，从而实现累加功能。
“A”通常是有规律变化的表达式，s在进入循环前必须获得合适的初值，通常为0。
例1、求1+2+3+……+100的和。
main（）
{inti,s;
s=0;i=1;
while（i<=100）
{s=s+i;/*累加式*/
i=i+1;/*特殊的累加式*/
}
printf（"1+2+3+...+100=%d\n",s）;}
【解析】程序中加粗部分为累加式的典型形式，赋值号左右都出现的变量称为累加器，其中“i=i+1”为特殊的累加式，每次累加的值为1，这样的累加器又称为计数器。
3．累乘
累乘算法的要领是形如“s=s*A”的累乘式，此式必须出现在循环中才能被反复执行，从而实现累乘功能。
“A”通常是有规律变化的表达式，s在进入循环前必须获得合适的初值，通常为1。
例1、求10！
[分析]10！
=1×2×3×……×10
main（）
{inti;longc;
c=1;i=1;
while（i<=10）
{c=c*i;/*累乘式*/
i=i+1;
}
printf（"1*2*3*...*10=%ld\n",c）;}
二、非数值计算常用经典算法
1．穷举
也称为“枚举法”，即将可能出现的每一种情况一一测试，判断是否满足条件，一般采用循环来实现。
例1、用穷举法输出所有的水仙花数（即这样的三位正整数：
其每位数位上的数字的立方和与该数相等，比如：
13+53+33=153）。
[法一]
main（）
{intx,g,s,b;
for（x=100;x<=999;x++）
{g=x%10;s=x/10%10;b=x/100;
if（b*b*b+s*s*s+g*g*g==x）printf（"%d\n",x）;}
}
【解析】此方法是将100到999所有的三位正整数一一考察，即将每一个三位正整数的个位数、十位数、百位数一一求出（各数位上的数字的提取算法见下面的“数字处理”），算出三者的立方和，一旦与原数相等就输出。
共考虑了900个三位正整数。
[法二]
main（）
{intg,s,b;
for（b=1;b<=9;b++）
for（s=0;s<=9;s++）
for（g=0;g<=9;g++）
if（b*b*b+s*s*s+g*g*g==b*100+s*10+g）printf（"%d\n",b*100+s*10+g）;
}
【解析】此方法是用1到9做百位数字、0到9做十位和个位数字，将组成的三位正整数与每一组的三个数的立方和进行比较，一旦相等就输出。
共考虑了900个组合（外循环单独执行的次数为9，两个内循环单独执行的次数分别为10次，故if语句被执行的次数为9×10×10=900），即900个三位正整数。
与法一判断的次数一样。
2．排序
（1）冒泡排序（起泡排序）
假设要对含有n个数的序列进行升序排列，冒泡排序算法步骤是：
①从存放序列的数组中的第一个元素开始到最后一个元素，依次对相邻两数进行比较，若前者大后者小，则交换两数的位置；
②第①趟结束后，最大数就存放到数组的最后一个元素里了，然后从第一个元素开始到倒数第二个元素，依次对相邻两数进行比较，若前者大后者小，则交换两数的位置；
③重复步骤①n-1趟，每趟比前一趟少比较一次，即可完成所求。
例1、任意读入10个整数，将其用冒泡法按升序排列后输出。
#definen10
main（）
{inta[n],i,j,t;
for（i=0;ifor（j=1;j<=n-1;j++）/*n个数处理n-1趟*/
for（i=0;i<=n-1-j;i++）/*每趟比前一趟少比较一次*/
if（a[i]>a[i+1]）{t=a[i];a[i]=a[i+1];a[i+1]=t;}
for（i=0;i（2）选择法排序
选择法排序是相对好理解的排序算法。
假设要对含有n个数的序列进行升序排列，算法步骤是：
①从数组存放的n个数中找出最小数的下标（算法见下面的“求最值”），然后将最小数与第1个数交换位置；
②除第1个数以外，再从其余n-1个数中找出最小数（即n个数中的次小数）的下标，将此数与第2个数交换位置；
③重复步骤①n-1趟，即可完成所求。
例1、任意读入10个整数，将其用选择法按升序排列后输出。
#definen10
main（）
{inta[n],i,j,k,t;
for（i=0;ifor（i=0;i{k=i;/*总是假设此趟处理的第一个（即全部数的第i个）数最小，k记录其下标*/
for（j=i+1;jif（a[j]if（k!
=i）{t=a[i];a[i]=a[k];a[k]=t;}
}
for（i=0;iprintf（"%d\n",a[i]）;}
（3）插入法排序
要想很好地掌握此算法，先请了解“有序序列的插入算法”，就是将某数据插入到一个有序序列后，该序列仍然有序。
插入算法参见下面的“数组元素的插入”。
例1、将任意读入的整数x插入一升序数列后，数列仍按升序排列。
#definen10
main（）
{inta[n]={-1,3,6,9,13,22,27,32,49},x,j,k;/*注意留一个空间给待插数*/
scanf（"%d",&x）;
if（x>a[n-2]）a[n-1]=x;/*比最后一个数还大就往最后一个元素中存放*/
else/*查找待插位置*/
{j=0;
while（j<=n-2&&x>a[j]）j++;
/*从最后一个数开始直到待插位置上的数依次后移一位*/
for（k=n-2;k>=j;k--）a[k+1]=a[k];
a[j]=x;/*插入待插数*/}
for（j=0;j<=n-1;j++）printf（"%d",a[j]）;
}
插入法排序的要领就是每读入一个数立即插入到最终存放的数组中，每次插入都使得该数组有序。
例2、任意读入10个整数，将其用插入法按降序排列后输出。
#definen10
main（）
{inta[n],i,j,k,x;
scanf（"%d",&a[0]）;/*读入第一个数，直接存到a[0]中*/
for（j=1;j{scanf（"%d",&x）;
if（xelse/*以下查找待插位置*/
{i=0;
while（x/*以下for循环从原最后一个数开始直到待插位置上的数依次后移一位*/
for（k=j-1;k>=i;k--）a[k+1]=a[k];
a[i]=x;/*插入待插数*/
}
}
for（i=0;i}
（4）归并排序
即将两个都升序（或降序）排列的数据序列合并成一个仍按原序排列的序列。
例1、有一个含有6个数据的升序序列和一个含有4个数据的升序序列，将二者合并成一个含有10个数据的升序序列。
#definem6
#definen4
main（）
{inta[m]={-3,6,19,26,68,100},b[n]={8,10,12,22};
inti,j,k,c[m+n];
i=j=k=0;
while（i{if（a[i]else{c[k]=b[j];j++;}
k++;}
while（i>=m&&j{c[k]=b[j];k++;j++;}
while（j>=n&&i{c[k]=a[i];k++;i++;}
for（i=0;i}
3．查找
（1）顺序查找（即线性查找）
顺序查找的思路是：
将待查找的量与数组中的每一个元素进行比较，若有一个元素与之相等则找到；若没有一个元素与之相等则找不到。
例1、任意读入10个数存放到数组a中，然后读入待查找数值，存放到x中，判断a中有无与x等值的数。
#defineN10
main（）
{inta[N],i,x;
for（i=0;i/*以下读入待查找数值*/
scanf（"%d",&x）;
for（i=0;iif（i\n"）;
elseprintf（"Notfound!
\n"）;}
（2）折半查找（即二分法）
顺序查找的效率较低，当数据很多时，用二分法查找可以提高效率。
使用二分法查找的前提是数列必须有序。
二分法查找的思路是：
要查找的关键值同数组的中间一个元素比较，若相同则查找成功，结束；否则判别关键值落在数组的哪半部分，就在这半部分中按上述方法继续比较，直到找到或数组中没有这样的元素值为止。
例1、任意读入一个整数x，在升序数组a中查找是否有与x等值的元素。
#definen10
main（）
{inta[n]={2,4,7,9,12,25,36,50,77,90};
intx,high,low,mid;/*x为关键值*/
scanf（"%d",&x）;
high=n-1;low=0;mid=（high+low）/2;
while（a[mid]!
=x&&low{if（xelselow=mid+1;/*修改区间下界*/
mid=（high+low）/2;}
if（x==a[mid]）printf（"Found%d,%d\n",x,mid）;
elseprintf（"Notfound\n"）;
}
三、数值计算常用经典算法：
1．级数计算
级数计算的关键是“描述出通项”，而通项的描述法有两种：
一为直接法、二为间接法又称递推法。
直接法的要领是：
利用项次直接写出通项式；递推法的要领是：
利用前一个（或多个）通项写出后一个通项。
可以用直接法描述通项的级数计算例子有：
（1）1+2+3+4+5+……
（2）1+1/2+1/3+1/4+1/5+……等等。
可以用间接法描述通项的级数计算例子有：
（1）1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+……
（2）1+1/2!
+1/3!
+1/4!
+1/5!
+……等等。
（1）直接法求通项
例1、求1+1/2+1/3+1/4+1/5+……+1/100的和。
main（）
{floats;inti;
s=0.0;
for（i=1;i<=100;i++）s=s+1.0/i;
printf（"1+1/2+1/3+...+1/100=%f\n",s）;
}
【解析】程序中加粗部分就是利用项次i的倒数直接描述出每一项，并进行累加。
注意：
因为i是整数，故分子必须写成1.0的形式！
（2）间接法求通项（即递推法）
例2、计算下列式子前20项的和：
1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+……。
[分析]此题后项的分子是前项的分母，后项的分母是前项分子分母之和。
main（）
{floats,fz,fm,t,fz1;inti;
s=1;/*先将第一项的值赋给累加器s*/
fz=1;fm=2;
t=fz/fm;/*将待加的第二项存入t中*/
for（i=2;i<=20;i++）
{s=s+t;
/*以下求下一项的分子分母*/
fz1=fz;/*将前项分子值保存到fz1中*/
fz=fm;/*后项分子等于前项分母*/
fm=fz1+fm;/*后项分母等于前项分子、分母之和*/
t=fz/fm;}
printf（"1+1/2+2/3+...=%f\n",s）;
}
下面举一个通项的一部分用直接法描述，另一部分用递推法描述的级数计算的例子：
例3、计算级数
的值，当通项的绝对值小于eps时计算停止。
#include
floatg（floatx,floateps）;
main（）
{floatx,eps;
scanf（"%f%f",&x,&eps）;
printf（"\n%f,%f\n",x,g（x,eps））;
}
floatg（floatx,floateps）
{intn=1;floats,t;
s=1;t=1;
do{t=t*x/（2*n）;
s=s+（n*n+1）*t;/*加波浪线的部分为直接法描述部分，t为递推法描述部分*/
n++;}while（fabs（t）>eps）;
returns;
}
2．一元非线性方程求根
（1）牛顿迭代法
牛顿迭代法又称牛顿切线法：
先任意设定一个与真实的根接近的值x0作为第一次近似根，由x0求出f（x0）,过（x0，f（x0））点做f（x）的切线，交x轴于x1，把它作为第二次近似根，再由x1求出f（x1）,过（x1，f（x1））点做f（x）的切线，交x轴于x2，……如此继续下去，直到足够接近（比如|x-x0|<1e-6时）真正的根x*为止。
而f'（x0）=f（x0）/（x1-x0）所以x1=x0-f（x0）/f'（x0）
例如，用牛顿迭代法求下列方程在1.5附近的根：
2x3-4x2+3x-6=0。
#include"math.h"
main（）
{floatx,x0,f,f1;x=1.5;
do{x0=x;
f=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6;
f1=6*x0*x0-8*x0+3;
x=x0-f/f1;}while（fabs（x-x0）>=1e-5）;
printf（"%f\n",x）;}
（2）二分法
算法要领是：
先指定一个区间[x1,x2]，如果函数f（x）在此区间是单调变化的，则可以根据f（x1）和f（x2）是否同号来确定方程f（x）=0在区间[x1,x2]内是否有一个实根；如果f（x1）和f（x2）同号，则f（x）在区间[x1,x2]内无实根，要重新改变x1和x2的值。
当确定f（x）在区间[x1,x2]内有一个实根后，可采取二分法将[x1,x2]一分为二，再判断在哪一个小区间中有实根。
如此不断进行下去，直到小区间足够小为止。
具体算法如下：
（1）输入x1和x2的值。
（2）求f（x1）和f（x2）。
（3）如果f（x1）和f（x2）同号说明在[x1,x2]内无实根，返回步骤
（1），重新输入x1和x2的值；若f（x1）和f（x2）不同号，则在区间[x1,x2]内必有一个实根，执行步骤（4）。
（4）求x1和x2的中点：
x0=（x1+x2）/2。
（5）求f（x0）。
（6）判断f（x0）与f（x1）是否同号。
①如果同号，则应在[x0,x2]中寻找根，此时x1已不起作用，用x0代替x1，用f（x0）代替f（x1）。
②如果不同号，则应在[x1,x0]中寻找根，此时x2已不起作用，用x0代替x2，用f（x0）代替f（x2）。
（7）判断f（x0）的绝对值是否小于某一指定的值（例如10-5）。
若不小于10-5，则返回步骤（4）重复执行步骤（4）、（5）、（6）；否则执行步骤（8）。
（8）输出x0的值，它就是所求出的近似根。
例如，用二分法求方程2x3-4x2+3x-6=0在（-10，10）之间的根。
#include"math.h"
main（）
{floatx1,x2,x0,fx1,fx2,fx0;
do{printf（"Enterx1&x2"）;
scanf（"%f%f",&x1,&x2）;
fx1=2*x1*x1*x1-4*x1*x1+3*x1-6;
fx2=2*x2*x2*x2-4*x2*x2+3*x2-6;
}while（fx1*fx2>0）;
do{x0=（x1+x2）/2;
fx0=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6;
if（（fx0*fx1）<0）{x2=x0;fx2=fx0;}
else{x1=x0;fx1=fx0;}
}while（fabs（fx0）>1e-5）;
printf（"%f\n",x0）;}
3．梯形法计算定积分
定积分
的几何意义是求曲线y=f（x）、x=a、x=b以及x轴所围成的面积。
可以近似地把面积视为若干小的梯形面积之和。
例如，把区间[a,b]分成n个长度相等的
小区间，每个小区间的长度为h=（b-a）/n，第i个小梯形的面积为
[f（a+（i-1）·h）+f（a+i·h）]·h/2，将n个小梯形面积加起来就得到定积分的近似值：
根据以上分析，给出“梯形法”求定积分的N-S结构图：
输入区间端点：
a，b
输入等分数n
h=（b-a）/2,s=0
i从1到n
si=（f（a+（i-1）*h）+f（a+i*h））*h/2
s=s+si
输出s
上述程序的几何意义比较明显，容易理解。
但是其中存在重复计算，每次循环都要计算小梯形的上、下底。
其实，前一个小梯形的下底就是后一个小梯形的上底，完全不必重复计
算。
为此做出如下改进：
矩形法求定积分则更简单，就是将等分出来的图形当作矩形，而不是梯形。
例如：
求定积分
的值。
等分数n=1000。
#include"math.h"
floatDJF（floata,floatb）
{floatt,h;intn,i;
floatHSZ（floatx）;
n=1000;h=fabs（a-b）/n;
t=（HSZ（a）+HSZ（b））/2;
for（i=1;i<=n-1;i++）t=t+HSZ（a+i*h）;
t=t*h;
return（t）;
}
floatHSZ（floatx）
{return（x*x+3*x+2）;}
main（）
{floaty;
y=DJF（0,4）;
printf（"%f\n",y）;}
四、其他常见算法
1．迭代法
其基本思想是把一个复杂的计算过程转化为简单过程的多次重复。
每次重复都从旧值的基础上递推出新值，并由新值代替旧值。
例如，猴子吃桃问题。
猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个。
第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个。
以后每天早上都吃了前一天剩下的一半零一个。
到第10天早上想再吃时，就只剩一个桃子了。
编程求第一天共摘多少桃子。
main（）
{intday,peach;
peach=1;
for（day=9;day>=1;day--）peach=（peach+1）*2;
printf（"Thefirstday:
%d\n",peach）;}
又如，用迭代法求x=
的根。
求平方根的迭代公式是：
xn+1=0.5×（xn+a/xn）
[算法]
（1）设定一个初值x0。
（2）用上述公式求出下一个值x1。
（3）再将x1代入上述公式，求出下一个值x2。
（4）如此继续下去，直到前后两次求出的x值（xn+1和xn）满足以下关系：
|xn+1-xn|<10-5
#include"math.h"
main（）
{floata,x0,x1;
scanf（"%f",&a）;
x0=a/2;x1=（x0+a/x0）/2;
do{x0=x1;
x1=（x0+a/x0）/2;
}while（fabs（x0-x1）>=1e-5）;
printf（"%f\n",x1）;
}
2．进制转换
（1）十进制数转换为其他进制数
一个十进制正整数m转换成r进制数的思路是，将m不断除以r取余数，直到商为0时止，以反序输出余数序列即得到结果。
注意，转换得到的不是数值，而是数字字符串或数字串。
例如，任意读入一个十进制正整数，将其转换成二至十六任意进制的字符串。
voidtran（intm,intr,charstr[],int*n）
{charsb[]="0123456789ABCDEF";inti=0,g;
do{g=m%r;
str[i]=sb[g];
m=m/r;
i++;
}while（m!
=0）;
*n=i;
}
main（）
{i
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