电磁学(梁灿彬)第二章-导体周围的静电场.ppt
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,2010级物理学专业,ElectromagnetismTeachingmaterials,第二章导体周围的静电场,前言（Preface）,静电场中的导体（Conductorinelectrostaticfield）,封闭导壳内外的场（Fieldofconfiningconductorshell）,电容器及其电容（Capacitoranditscapacity）,带电体系的静电能（Chargedbodieselectrostaticenergy）,前言（Preface）,一、本章的基本内容及研究思路,本章和下章是前面内容的深入和发展，因为研究对象仍然是相对于观察者静止的电荷分布所产生的场，所以静电场的普遍规律仍是本章研究问题的理论基础。
基本内容及研究思路是:
首先说明金属导体的电结构特点和导体的静电平衡条件，然后以此为前提，以静电场的普遍规律高斯定理和环路定理为根据，讨论导体（包括空腔导体和导体组）的静电性质（导体在静电平衡时电荷分布场强分布和电位分布等特点）。
教材从导体组静电性质的角度讨论了电容器的构造，电容的定义和计算以及电容器的联接等问题。
电容器的主要功能是充放电，其规律在后面讨论。
二、本章的基本要求,1.了解金属导体电结构的基本特点，理解静电感应现象，了解静电平衡建立的过程；2.掌握导体的静电性质，能从静电平衡条件出发，根据静电场的基本规律分析论证导体在静电平衡时的电位分布、电荷分布、场强分布等特点；3.理解并初步掌握用电场线的性质讨论导体静电平衡问题的基本方法；4.掌握空腔导体静电平衡时腔内表面电荷分布的特点及其论证方法，理解静电屏蔽的原理，了解静电屏蔽的应用；5.掌握电容的概念及电容器的串、并联公式，会求几种典型电容器（平行板、球形、圆柱形）的电容；6.掌握点电荷组电容器的能量表示式。
三、几个术语,带电导体：
总电量不为零的导体；中性导体：
总电量为零的导体；孤立导体：
不受其它电荷影响的导体；,1静电场中的导体（conductorinelectrostaticfield）,一、静电平衡带电体系中的电荷静止不动，电场的分布不随时间而改变的状态，称为静电平衡状态。
导体的静电平衡的必要条件就是其体内的场强处处为零。
反证法可以说明：
如果导体内的电场不是处处为零，则在E不为零的地方自由电荷就要受到电场力的作用发生移动，这样就不是静电平衡。
这里说的“场强”是所有电荷共同激发的总场强，是一个合贡献。
“内部处处场强为零”中的“处处”，也即“点点”，这个点指导体内宏观的点,即物理无限小体元。
下面来看导体从非平衡态趋于平衡态的过程：
考虑一个不带电的导体，在其周围没有带电体时，它的内部以及表面上电荷处处为零，导体内部各点场强为零，从而导体内部各点场强为零，这是个最简单的静电平衡状态。
当把一个不带电的导体放在外场中，在导体所占据的那部分空间里本来是有电场存在的，各处的电位不同。
+,+,+,+,+,+,-,-,-,-,-,-,+,-,-,+,2、导体内部没有净电荷，电荷只能分布在导体表面。
证明：
设有一带电导体，在导体内任取一点P，围绕P点作一很小的闭合曲面，运用Gauss定理，,另外采用反证法：
如果导体内有电荷存在，它将在周围激发电场，有电场线，沿着电场线的方向将有电位降落，这与等位体相矛盾。
3、在导体外，紧靠导体表面的点的场强方向与导体表面垂直，场强大小与导体表面对应点的电荷面密度成正比。
证明：
导体表面带电，场强在带电面上有突变所以一般不谈导体表面的场强而谈导体外紧靠导体表面的各点的场强，即谈“导体表面附近点的场强”；由于电场线处处与等位面正交，所以导体外的场强必与它的表面垂直；场强大小与面电荷密度成正比，可由Gauss定理求得：
导体表面,S2,S1,P,在导体外紧靠表面任取一点P，该点的场强，在P点附近的导体表面上取一面元S1，这面元取得充分小，使得其上的电荷面密度可认为是均匀的，以为轴，S1为底作一Gauss面，使园柱侧面与S1垂直，园柱的上底通过P，下底在导体内部，两底都与S1平行，并无限靠近，因此通过Gauss面的电通量为,在Gauss面内所包围的电荷为，因而得到,即：
由此得到结论：
导体表面电荷密度大的地方场强大，面电荷密度小的地方场强小。
说明：
a、电荷面密度是s上面的，而E是所有电荷产生的总场强；b、此式应与无限大带电平面的场强公式区别开来；c、s上面的电荷在其极附近处产生的场强为，而其余电荷在同一点产生的场强为，叠加后为；d、场强不受公式形式的影响，但E和随时受外界电荷的影响（外界电荷通过影响而影响导体界面附近的E）；,e、s上面的电荷受其余的电荷产生的电场的作用力为则单位面积的电荷受的力（力密度）为,二、孤立导体的形状对电荷分布的影响在一个孤立导体上面电荷密度的大小与表面曲率有关，对于形状比较简单的孤立导体，在表面向外突的地方（曲率为正）电荷较密；表面较平坦的地方，电荷较疏；表面向内凹的地方（曲率为负）电荷更疏。
如图：
对于形状比较复杂的孤立导体，一般来说，面电荷密度与导体表面曲率半径R之间没有的关系，如图：
尖端放电孤立带电导体表面凸出的地方大，附近的场强E大，当达到一定程度时产生尖端放电现象，在尖端附近的强大电场作用下，空气中本来就有的离子（由于大气电现象，宇宙射线和辐射源的辐照等原因引起的）会发生激烈的运动，在激烈运动过程中，离子和空气分子相碰撞，使空气分子电离，从而产生大量的新离子，使空气变得易于导电。
与尖端上电荷异号的离子受到吸引，最后与尖端上的电荷中和；与尖端上电荷同号的离子受到排斥而飞离导体，形成“电风”。
在我们生活实际中，上述现象应用比较广泛。
避雷针利用了导体尖端放电效应；而高压线表面则应该光滑，半径也不宜过小，高压设备中的电极都是球面状的，都是为了避免尖端放电带来有害的后果。
三、导体静电平衡时的讨论方法一般来说，讨论导体的静电平衡问题困难校大，因为静电场中的导体，由于静电感应要产生感应电荷，感应电荷也要产生电场，从而使空间的电场发生变化。
此外，如果原来的电场是由另外导体上的电荷产生的，那么，由于感应电荷的存在，还将引起原来电荷分布的变化，所以感应电荷的出现与分布在这两个意义上改变了原来空间的电场分布，而电场分布的变化返过来又将引起电荷分布的变化，电场和电荷相互作用相互影响，最后达到两者的平衡分布。
困难在于一般情况下难以确定导体上的电荷分布及导体外电场的分布。
解决这类问题原则上是可能的，在电动力学中把它归结为：
已知导体的形状相对位置及导体所带的电荷或电位，根据静电场方程求解。
我们知道，电场线的性质形象地反映了静电场的两个规律，用电场线的性质去定性地讨论一些问题，能够得到一些令人满意的结果。
四、静电平衡时的电场分布、电荷分布情况例1：
如图所示带电系统。
1、电场线能不能由导体B的一端正电荷发出而终止于另一端的负电荷?
不能。
因为电力线总是从电位高的地方指向电位低的地方，而导体B是一个等位体。
2、带正电的导体A接近不带电的导体B，则在B上离A的远端必有电场线发出而终止于无穷远。
为什么?
可以作一个闭合曲面S包围B的右端。
因S面内有正电荷，由Gauss定理可知，闭合面上必有正通量，即有电力线穿出，由
（1）可知，电场线不能终止于B的左端，也不能终止于A上的正电荷，所以只能终止于无穷远处。
3、带正电体A接近不带电的导体B，B的电位将升高。
为什么?
在A未接近B时，B与无穷远间没有电场线联系，B的电位与无穷远相同。
当A接近B时，B的右端必有正感应电荷发出电场线到无穷远，所以B的电位必然高于无穷远的电位。
因此B的电位是升高了。
与此类似，可证明带负电的物体接近B时，B的电位将降低。
4、施感电荷的电量必大于或等于感应电荷的电量。
B上左端的负感应电荷必有电场线终止于其上，但这些电场线既不能是由B上右端的正电荷发出，又不能由无穷远发出，否则与（3）结论矛盾。
所以电场线只能由A发出。
另一方面，A还可以向无穷远发出电场线，从Gauss面S1和S2来看，S1的正通量必大于（或等于）S2的负通量的数值，再由Gauss定理可知，S1所包围正电荷的数值必大于（或等于）S2面所包围负电荷的数值。
5、不带电导体B左端接地，B上不存在正电荷,若将B右端接地，则右端的正电荷就沿接地线流入大地，B上不存在正电荷了（实际上是电荷重新分布达到新的平衡的结果）。
若将B的左端接地，同样是正电荷“跑掉”。
这是静电平衡导体的基本性质所决定的电荷重新分布的结果。
假若B上有正电荷存在，那么B右端一定要发出电场线，但这些电场线一不能终止于B上负电荷，二不能终止于A上正电荷，三不能终止于地（因为B接地后已和地构成一个等位体），电场线既然无处可去，B上就不可能有正电荷存在，这与接地线在何处无关。
例2中性封闭金属壳内有一个电量为q的正电荷，求壳内，外壁感应电荷的数量。
Solution:
在金属壳内作一Gauss面，且有,所以,所以,又根据电荷守恒定律，已知壳为中性，现知内壁所带的电荷量为-q，那么外壁必有+q。
例3如图所示，求感应电荷q。
Solution:
选无限远为电位参考点，通常认为大地与无限远等电位，因此导体球各点的电位为零，球心当然不例外，球心的电位U0是由点电荷q及球面上感应电荷q共同产生的，前者的贡献为,后者的贡献为,是感应电荷面密度,是随点而异的,球心的电位：
所以,上述结果说明感应电荷的绝对值小于施感电荷的绝对值，与前面定性讨论结果一致。
当这相当于点电荷置于无限大导体平面前的情况。
例4求无穷大导体板表面各点的感应电荷面密度,B,A,l,q,Solution:
在导体板面上找一点A，取包含A点的面元在板内靠近A点取一点B（A、B两点靠得很近）。
B点的场强可以看作是由如下三部分迭加而成：
点电荷q的场,面元上的电荷的场,这里把面元对B点而言看作无穷大带电平面。
板面上除外的全部电荷激发的场,因为A点是带电面上的一点，场强在A点会有突变，但这里的场强指的是总场强。
现在由于激发的电荷已不包含面的电荷，这时A点就不再看成是带电面的点。
因此在这一点上是连续的。
既然连续、距离极近的两点A和B的场强就可看作相同，即,另一方面，板面上除外所有电荷在A点的场强显然只能沿板面的切向，即的法向分量,因而,B点总场强的法线分量为,然而B是导体内的一点，其总场强应为零，故,从而得到,3封闭导体壳内外的场（fieldofconfiningconductorshell）,已知:
把导体（那怕是中性导体）引进静电场中，就会因电荷重新分布而使电场发生改变。
利用这个事实，可以根据需要人为地选择导体的形状来改造电场。
这种改造应用很广，本节讨论空腔导体的性质。
一、壳内空间的场分两类情况：
一类空腔内无带电体，另一类空腔内有带电体，它们的静电性质有所不同。
1、空腔内无带电体,基本性质：
不论壳外带电体情况如何，在静电平衡状态下，导体壳的内表面上处处电荷为零，电荷只能分布在外表面上，空腔内各点场强为零，或者空腔内的电位处处相等。
证明：
壳内表面各点电荷密度为零。
在导体壳内外表面之间任取一Gauss面，由于该面完全处在导体内部，根据静电平衡条件，则有,如果导体壳带电量，那么这些电荷只能分布在导体的外表面上。
在导体壳的内表面上不仅，而且各处的电荷面密度也为零。
反证法：
假定内表面上并不处处为零，由于，必然有些地方。
有些地方，根据静电平衡时的第三个推论，的地方，的地方，又由于电场线从正电荷发出，终止于负电荷，因此如图所示，如果A点，B点,则腔内有电场线存在，并且,+,-,A,B,即，这与静电平衡时的推论一相违背，故不可能有存在。
壳内空间各点场强为零,根据以上得到结论，既然内表面处处，故没有的存在，并且因电场线既不可起、止于内表面，又不能在空腔内有端点或形成闭合线，所以腔内不可能有电场线和电场，故空腔内各点电位相等。
+,+,+,+,-,-,-,导体壳,对上述结论不应产生误解，若壳外有一个正点电荷q，是否由于壳的存在，q就不在壳内空间激发场呢？
当然不是！
根据场的迭加原理，任何点电荷都要按点电荷场强公式在空间任何点激发电场，不论周围有什么存在。
壳内空间场强之所以为零，只是由于壳的外壁感应出异号电荷，它们与q在壳内空间任一点激发的合场强为零，可见，所谓壳外电荷在壳内无电场，这“壳外电荷”是包括壳的外壁电荷在内的。
空腔,2、空腔内有带电体,基本性质：
导体壳腔内有其它带电体时，在静电平衡状态下，导体壳的内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为零，壳外电荷对壳内电场无影响。
在导体壳内外表面之间作一Gauss面，得到,q,S,这说明：
如果导体壳内物体带电为q，内表面一定感应出-q；如果导体壳内物体带电为-q，内表面一定感应与+q。
壳外电荷和导体壳外表面的电荷对空腔内激发的合场强同样是相抵消的。
二、壳外空间的场,也分两类情况：
即壳外空间无带电体和有带电体。
1、壳外空间无带电体,基本性质：
壳外空间无带电体时仍然可能有电场存在。
证明：
设导体壳为中性。
壳内有一正点电荷q，根据Gauss定理和电荷守恒定律，,可得到壳内、外表面的感应电荷分别为-q和+q。
显然，外表面的电荷将发出电场线，因此壳外存在电场，这个场是壳内电荷q通过在壳外感应出等量电荷间接引起的。
所谓壳内带电体q只在壳外间接引起电场，并不是说q本身不在壳外激发电场（根据迭加原理，q肯定要在壳外激发电场），而是指q以及由它在壳内表面感应的等量负电荷在壳外空间激发的合场强为零。
将导体壳外表面与大地相接，就可消除壳外空间的场。
当外表面接地后，外表面的电荷通过接地线流入大地，因此不再在壳外激发电场。
也可用反证法解释：
假若外表面还存在感应正电荷，那么它一定有电力线发出，这电力线不能终于于外表面，也不能终止于无穷远（此时外表面与大地接通，构成了等位体），往哪里去！
故可见外表面无电荷存在。
2、壳外空间有带电体,基本性质：
当壳外空间有带电体时，接地壳外表面仍然可能有电荷存在。
反证法：
假定导体壳外表面各点电荷面密度为零，并且空间除点电荷q外无别的电荷存在，那么导体壳体内（指金属内部）场强就不会为零，这与静电平衡条件矛盾。
见下图,壳内无电荷,-,-,-,-,q,q,-,-,-,-,q,壳内有电荷,由此可见，在导体壳接地时，壳外电场由壳外电荷决定，与壳内电荷无关。
综上所述，封闭导体壳（不论接地与否）内部电场不受壳外电荷的影响，这称为外屏蔽；接地封闭导体外部电场不受壳内电荷的影响，称之全屏蔽。
三、静电加速器（自学）,4电容器及其电容（capacitorandcapacity）,一、孤立导体的电容,所谓“孤立”导体，就是说在这导体的附近没有其它导体和带电体。
设想一个孤立导体带电量为q，它将具有一定的电位U，理论与实验表明：
随着q的增加，U将按比例地增加，关系式,U,q,式中C与导体的形状和尺寸有关，与q和U无关，称之为孤立导体的电容。
孤立导体电容的物理意义为：
使导体每升高单位电位所需的电量。
电容的单位：
在国际单位制中，电容的单位为法拉。
为了理解电容的意义，可比喻为：
我们向几个不同容器灌水时，为了使它们的水面都增加一个单位的高度，需要灌入的水量是不相同的。
这是由容器本身的性质（即它的截面积）所决定的。
例题求一个半径为R的孤立导体球的电容。
使它带电q,则其电位为：
因此,由此可见，电容C决定于导体的几何因素。
地球可看成一个导体球，它的半径约6400千米，它的电容C约为,二、电容器及其电容,孤立导体作为提供电容的器件，是没有实际意义的。
这是因为，首先它的电容受周围导体的影响。
如果在一个带电导体A的近旁有其它导体，则这个导体的电位UA不仅与它自己所带电量qA的多少有关，还取决于其他导体的位置和形状，这是由于电荷qA使邻近导体表面产生感应电荷，它们将影响着空间的电位分布和每个导体的电位。
此时，“电容”就会发生变化，电容的概念也就失去意义；,其次，它的电容很小，地球的，而目前某些电子线路中要用到几千微法的电容，显然是不可能做到的。
因此在实际中，需要设计这样一个导体组，一方面它的电容应不受或基本不受周围导体的影响，另一方面它应有不大的体积而具有较大的电容。
我们自然就想到静电屏蔽的方法。
用一个封闭的导体壳B把导体A包围起来，并将B接地，使得UB=0，这样一来，壳外的导体C、D等就不会影响A的电位了。
若使导体A带电qA，导体壳B的内表面将带电-qA.随着qA的增加.UA将按比例增加,仍可定义它的电容为,当然这时CAB已与导体壳B有关了,（此时之所以用孤立导体的电容来定义带电体A的电容,是因为B接地,屏蔽了外来场的干扰,A在此仍可看成一个孤立的带电导体）.,其实,导体壳B也可不接地,则它的电位UB0,虽然这时UA，UB都与外界的导体有关，但电位差：
仍不受外界的影响，且正比于qA，比值不变。
这种由导体壳B和其腔内的导体A组成的导体系，叫做电容器。
比值叫做它的电容。
电容器的电容与两导体的尺寸形状和相对位置有关，与qA和UAB无关。
组成电容器的两个导体A，B叫做电容器的极板,孤立导体也可以看成是一个电容器，不过它的另一极板在无限远处。
这两个极板的电位差，即等于孤立导体的电位，所以得到：
若使A的外表面和B的内表面之间的距离减小，则在A带同样电量的情况下，A，B之间的电位差减小，即电容增大。
三、电容器的电容的计算,简单讨论三种几何形状规则的带电导体组的电容计算问题。
1、平行板电容器,A、B两板的面积均为S，A板带正电（+）B板带负电（-），两板间的距离为d（d较两板的线度小得多），求电容C,由对称性，运用Gauss定理已求得两板之间的电场为均匀场，其值为,两板之间的电位差为：
按电容的定义式，即有,由此可见，加大电容器的电容量的途径有二：
缩小板间的距离d；增大板上的面积。
2、球形电容器,一个半径为RA的金属球与一个和它同心的半径为RB的金属球壳组成一个球形电容器，假设金属球带正电q，求其电容。
由对称性，运用Gauss定理已求出金属球外，金属壳内空间的电场为：
所以,按电容C的定义式，得,讨论：
假若RA和RB都很大时，且两球壳间的距离d=RB-RA很小，因而近似地有此时球形电容器的电容为,以球面积代入，即,相当于平行板电容器的电容,假若RARB，则RB-RARB，则,即为半径为RA的孤立导体球的电容。
3、圆柱形电容器,假有同轴柱形导体A、B，其半径分另RA和RB（RARB-RA时，圆柱两端的边缘效应可忽略不计（即圆柱可近似地看作无限长）。
设半径为RA的圆柱上单位长度上带电，求其电容,由对称性，运用Gauss定理求得RArRB区间的场强为：
所以柱形面壁的两点电位差：
而圆柱形上的总电量为，故按电容定义式,综上所述，计算电容的步骤为：
设电容器两极上分别带电荷q，计算电容两极间的场强分布，从而计算出两极板间的电位差UAB；所得的UAB必然与q成正比，利用电容的定义式求出电容C，它一定与q无关，完全由电容器本身的性质（几何形状，尺寸）决定。
四、电容器的联接,在实际应用中，单个电容器是不能满足要求的，因而为了保证电容器的耐压能力和电容量，往往按一定规律将几个电容器联接起来使用，联接的基本方法有串联和并联两种。
1、并联（parallelconnection）,每个电容器有一个极板接到共同点A，而另一个极板则接到另一个共同点B，这种接法称为并联。
基本特点：
结论：
并联电容器时，总电容等于每个电容器的电容之和，并联后总电容增大了。
其原因是：
从公式来看假如两个电容器的d是相同，并联后相当于增大了面积S。
2、串联（SeriesConnection）,每个电容器的一个极板只与另一个电容器的一个极板联接，把电源接到这个电容器组合的两端上，这种接法称为串联。
基本特点：
结论：
串联电容器时，总电容的倒数等于每个电容器的电容的倒数之和，串联后总电容比电容器的最小电容还要小。
其原因是；从公式来看，如果每个电容器的面积S相等，串联后等于把d增大了。
综上所述：
为在实际中应用时增大电容，就将电容器并联；为了增大电容器的耐压能力，就采用电容器串联方法。
五平行板导体组问题的处理,平行板导体组问题的解题技巧及其物理思想是：
根据静电平衡条件，导体内，求出各极板左右面的电荷分布；,根据无穷大平板的场强公式，求出电容器内的电场强度；,根据电位差的定义式，求出两板的电位差；,根据电容器的电容的定义式，求出电容C。
例1空间有两块平行放置的金属平板A和B，两板长宽相等且都比板间距离大得多，板外无带电体及导体，分别令每板带上qA及qB的电量，求每板表面的电荷密度。
A,B,P1,P2,P1,Solution:
由于板的长宽比板间的距离大得多，所以近似地把板看成无限大，由对称性可知两板四壁的电荷均匀分布，其电荷面密度依次设为1、2、3、4。
在A板内取一点p1，设是向右的单位矢，根据无限大带电平面所产生的场强公式，得到四个无限大带电平面在p1点的合场强为：
由于静电平衡时，即有,再在B板内取一点p2，同理得到,联立
（1）、
（2）两式，求得,欲求1至4还需再列两个方程，已知每板电量为qA及qB，设每壁的面积为S，有,解得:
讨论：
（1）设qA=-qB（用电池给平行板电容器充电就是这种情况），则有,这说明电荷只分布在两板内壁。
（2）设qA=qB，,则有,这说明电荷只分布在两板外壁。
（3）如果qAqB，此时四壁都有电荷分布。
导体的静电平衡可以由于外部条件的变化而变化，在不同外部条件下，电荷分布和导体外的电场分布是不同的，但静电平衡条件始终不变。
分析导体静电平衡的各种具体问题，归根结底是以导体内部场强处处为零这个不变的条件去分析电荷分布和导体外电场分布如何随具体条件不同而变化的问题。
5带电体系的静电能（chargedbodieselectrostaticenergy）,一、带电体系的静电能,物体的势能应是物体与地球这个系统的;静电能的概念属于带电体系,静电能本身的数值是相对的，要讨论一个带电体系所包含的全部静电能有多少，必须说明相对与何种状态而言。
设想,带电体系中的电荷可以无限分割为许多小部分，这些部分最初都分散在彼此相距很远（无限远）的位置上。
通常规定，处于这种状态下的静电能为0。
与同重力势能的值通常是相对地面为零势面而言的。
设带电体系由若干个带电体组成，带电体系总的静电能由若各个带电体之间的相互作用能和每个带电体的自能组成。
即：
a）把每一个带电体看作一个不可分割的整体，将各个带电体从无限远移到现在的位置，外力抵抗静电力所作的功，等于它们之间的相互作用能；,b）把每一个带电体上的各部分电荷从无限分散的状态聚集成现在的状态，外力抵抗静电力所作的功，等于这个带电体的自能。
按这种思想讨论点电荷系的相互作用能,
（1）两个点电荷的情况,令q1不动，q2处于q1的电场中，使q2从图中2点移至无限远，场力所作之功为：
式中，为电荷q1产生的电场在图中2点的电位。
同理，若令q2不动，q1处于q2的电场中，使q1从图中1点移至无限远，场力所作之功为：
式中，为电荷q2产生的电场在图中1点的电位。
显然，,所以，两个点电荷系的相互作用能：
可见，两个点电荷系之间的相互作用能就是前面讲过的q1在q2的电场中或q2在q1的电场中的电位能。
（2）多个点电荷系,三个点电荷系的相互作用能为：
含义?
式中表示，电荷q3产生的电场在图中2点的电位。
其余的与此类推。
设,则,的意义是的电场在图中1点产生的电位，或者说除外所有电荷的电场在1处产生的电位，余下同理。
于是得,是除外所有电荷的电场在处产生的电位。
不难得到个点电荷体系的相互作用能为：
二、带电导体组的静电能首先讨论由一个带电导体构成的体系：
把导体表面分成许多（个）小面元，每个面元可看作电量为的点电荷，各面元之间的相互作用能为,若令每个面元面积趋于零并求极限，注意，这时求得的相互作用能也就是整个体系的静电能,积分遍及整个导体表面,当带电体系由个导体组成时，上述积分还应对各个导体求和，,下标代表
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