11.已知函数f(x)=cosx-sinx在[0,a]上是减函数,则下列表述正确的是
A.f(x)min=-2B.f(x)的单调递减区间为[-
+2kπ,
+2kπ](k∈Z)
C.a的最大值是
D.f(x)的最小正周期为2π
12.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,侧棱AA1=1,P为上底面A1B1C1D1上的动点,则下列结论正确的为
A.若PD=3,则满足条件的P点有且只有一个
B.若PD=
,则点P的轨迹是一段圆弧
C.若PD//平面ACB1,则DP长的最小值为2
D.若PD//平面ACB1,且PD=
,则平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为
三、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知各项均为正数的等比数列{an}的前3项和为7,且a5=3a3+4a1,则a6=。
14.已知函数f(x)=x2+xlnx的图象在点(1,f
(1))处的切线与直线x-ay-1=0平行,则实数a=。
15.若函数f(x)=
恰有3个零点,则a的取值范围为。
16.如图,在△ABC中,|AB|=4,点E为AB的中点,点D为线段AB垂直平分线上的一点,且|DE|=3,四边形AEDH为矩形。
固定边AB,在平面ABD内移动顶点C,使得△ABC的内切圆始终与AB切于线段BE的中点,且C、D在直线AB的同侧,在移动过程中,当|CA|+|CD|取得最小值时,点C到直线AH的距离为。
四、解答题:
本题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=21a1,且a2n=an2。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=
,求数列{bn}的前n项和Tn。
18.(本小题满分12分)
已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA+
acosB=
c。
(1)求角A的大小;
(2)若a=4,D为BC的中点,△ABC的面积为
,求AD的长。
19.(本小题满分12分)
某公司每五年需淘汰一批旧机器并购买一批新机器,购买新机器的同时,也要购买易损零件。
每台新机器随机器购买第一个易损零件花费1500元,优惠0元;每多买一个易损零件都要在原优惠基础上多优惠100元,即购买第一个易损零件没有优惠,第二个易损零件优惠100元,第三个易损零件优惠200元,……,依此类推,每台新机器最多可随新机购买8个易损零件。
平时购买易损零件按零售价每个2000元买入。
根据以往的记录,十台机器正常工作五年内使用的易损零件数如下表:
使用易损零件数
6
7
8
机器台数
3
5
2
以这十台机器使用易损零件数的频率代替一台机器使用易损零件数发生的概率,假设每台机器使用易损零件的个数是相互独立的,记X表示两台机器五年内使用的易损零件数。
(1)求X的分布列;
(2)若在购买两台新机器时,每台机器随机器购买7个易损零件,求这两台机器五年内在使用易损零件上所需费用的期望。
20.(本小题满分12分)
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别在棱BB1,CC1上(均异于端点),AB=AC,∠ABE=∠ACF,BB1⊥平面AEF。
(1)求证:
四边形BEFC是矩形;
(2)若AE=EF=2,BE=
,求平面ABC与平面AEF所成锐二面角的余弦值。
21.(本小题满分12分)
已知椭圆T:
经过以下四个不同点中的某三个点:
A(1,1),B(-
,
),C(-1,1),D(
,
)。
(1)求椭圆T的方程;
(2)将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的
倍,横坐标不变,得到椭圆E。
已知M,N两点的坐标分别为(0,1),(0,-1),点F是直线y=2上的一个动点,且直线FM,FN分别交椭圆E于G,H(G,H分别异于M,N点)两点,试判断直线GH是否恒过定点?
若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由。
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=x-lnx。
(1)求函数f(x)的极值;
(2)设函数g(x)=xf(x),若存在区间[m,n]
[
,+∞),使得函数g(x)在[m,n]上的值域为[k(m+2)-2,k(n+2)-2],求实数k的最大值。