∴CE与D1F必相交，
设交点为P，如图所示．
则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．
思维升华共面、共线、共点问题的证明
（1）证明点或线共面问题的两种方法：
①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
（2）证明点共线问题的两种方法：
①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
（3）证明线共点问题的常用方法是：
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
跟踪训练如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
（1）求证：
E，F，G，H四点共面；
（2）设EG与FH交于点P，求证：
P，A，C三点共线．
证明
（1）∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.
∵在△BCD中，
＝
＝
，
∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F，G，H四点共面．
（2）∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，
∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．
题型二 判断空间两直线的位置关系
典例
（1）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是________．（填序号）
①l与l1，l2都不相交；
②l与l1，l2都相交；
③l至多与l1，l2中的一条相交；
④l至少与l1，l2中的一条相交．
答案 ④
解析 方法一 由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾．故l至少与l1，l2中的一条相交．
方法二 如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故①②不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故③不正确．
（2）如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．（填上所有正确答案的序号）
答案 ②④
解析 在图①中，直线GH∥MN；
在图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面；
在图③中，连结GM，GM∥HN，因此GH与MN共面；
在图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，G∉MN，
因此GH与MN异面．
所以在图②④中GH与MN异面．
思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形（梯形）中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．
跟踪训练
（1）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的________条件．
答案 充分不必要
解析 若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；
若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交．
（2）已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：
①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.
其中正确的个数为________．
答案 1
解析 在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．
题型三 求异面直线所成的角（选讲）
典例如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________．
答案
解析 连结BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连结A1C1，
由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝
，A1B＝BC1＝
，故cos∠A1BC1＝
＝
，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为
.
思维升华用平移法求异面直线所成的角的三步法
（1）一作：
根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
（2）二证：
证明作出的角是异面直线所成的角；
（3）三求：
解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
跟踪训练如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝
∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．
答案 60°
解析 取A1C1的中点E，连结B1E，ED，AE，
在Rt△AB1E中，∠AB1E为异面直线AB1与BD所成的角．
设AB＝1，则A1A＝
，AB1＝
，
B1E＝
，
故∠AB1E＝60°.
构造模型判断空间线面位置关系
典例已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.
其中所有正确的命题是________．（填序号）
思想方法指导 本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后利用模型直观地对问题作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误．对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．
解析 借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图
（1）所示，故①正确；对于②，平面α，β可能垂直，如图
（2）所示，故②不正确；对于③，平面α，β可能垂直，如图（3）所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图（4）所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．
答案 ①④
1．在下列命题中，不是公理的是________．（填序号）
①平行于同一个平面的两个平面相互平行；
②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内；
④如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
答案 ①
解析 ①是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．
2．在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线有________条．
答案 无数
解析 在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，如图，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC都相交．
3．（2017·江苏昆山中学质检）已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是________．
①AB∥m；②AC⊥m；③AB∥β；④AC⊥β.
答案 ④
解析 如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有④不一定成立．
4．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角为________．
答案 60°
解析 如图，延长CA到点D，使得AD＝AC，连结DA1，BD，
则四边形ADA1C1为平行四边形，
所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．
又A1D＝A1B＝DB，
所以△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°.
5．下列命题中，正确的是________．（填序号）
①若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线；
②若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面；
③若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行；
④若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条．
答案 ④
解析 对于①，当α∥β，a，b分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a∥b，故①错误．
对于②，设a，b确定的平面为α，显然a⊂α，故②错误．
对于③，当a⊂α时，直线a与平面α内的无数条直线都平行，故③错误．知④正确．
6．以下四个命题中，
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
正确命题的个数是________．
答案 1
解析 ①显然是正确的；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③中构造长方体（或正方体），如图所示，显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．
7．给出下列命题，其中正确的命题为________．（填序号）
①如果线段AB在平面α内，那么直线AB在平面α内；
②两个不同的平面可以相交于不在同一直线上的三个点A，B，C；
③若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；
④若三条直线两两相交，则这三条直线共面；
⑤两组对边相等的四边形是平行四边形．
答案 ①③
8.如图是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中：
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
答案 ②③④
解析 把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.
9．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
答案 4
解析 EF与正方体左、右两侧面均平行，
所以与EF相交的平面有4个．
10.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．
答案
解析 取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连结C1D，AD，
因为C是圆柱下底面弧AB的中点，
所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，
所以C1D＝
AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为
，
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为
.
11.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：
D1，H，O三点共线．
证明 如图，连结BD，B1D1，则BD∩AC＝O，
∵BB1綊DD1，
∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，
B1D⊂平面BB1D1D，
则H∈平面BB1D1D，
∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.
即D1，H，O三点共线．
12.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝
AD，BE∥AF且BE＝
AF，G，H分别为FA，FD的中点．
（1）证明：
四边形BCHG是平行四边形；
（2）C，D，F，E四点是否共面？
为什么？
（1）证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH綊
AD.又BC綊
AD，∴GH綊BC.
∴四边形BCHG为平行四边形．
（2）解 ∵BE綊
AF，G是FA的中点，∴BE綊FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由
（1）知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．
13．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是________．（填序号）
①l1⊥l4；
②l1∥l4；
③l1与l4既不垂直也不平行；
④l1与l4的位置关系不确定．
答案 ④
解析 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除①③.
若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；若取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直．
因此l1与l4的位置关系不能确定．
14.如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列四个命题中不正确的是________．（填序号）
①BM是定值；
②点M在某个球面上运动；
③存在某个位置，使DE⊥A1C；
④存在某个位置，使MB∥平面A1DE.
答案 ③
解析 取DC的中点F，连结MF，BF，则MF∥A1D且MF＝
A1D，FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B为球心，MB为半径的球上，可得①②正确；由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，又MB⊂平面MBF，所以MB∥平面A1DE.可得④正确；若存在DE⊥A1C，则因为DE2＋CE2＝CD2，即CE⊥DE，因为A1C∩CE＝C，则DE⊥平面A1CE，所以DE⊥A1E，与DA1⊥A1E矛盾，故③不正确．
15．两条相交直线l，m都在平面α内且都不在平面β内．命题甲：
l和m中至少有一条与β相交；命题乙：
平面α与β相交．则甲是乙成立的________条件．（填写“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）
答案 充要
解析 若l和m中至少有一条与β相交，不妨设l∩β＝A，则由于l⊂α，所以A∈α.而A∈β，所以α与β相交．反之，若α∩β＝a，若l和m都不与β相交，由于它们都不在平面β内，则l∥β且m∥β.所以l∥a且m∥a，进而得到l∥m，这与已知l，m是相交直线矛盾．因此l和m中至少有一条与β相交．
16．空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是________．
答案 （0，
）
解析 如图1所示，△ABD与△BCD均为边长为1的正三角形，当△ABD与△CBD重合时，点A与点C重合．将△ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点共面时，AC＝
，如图2.故AC的取值范围是0.
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