齐次和非齐次线性方程组的解法.docx

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齐次和非齐次线性方程组的解法

线性方程组解的结构（解法）

一、齐次线性方程组的解法

【定义】r（A）=r

⑴&飞丄，&r线性无关；

（2）AX=0的）任一解都可由这组解线性表示.

则称&丄,&r为AX=0的基础解系.

称Xki&k2&Lknr&r为AX=0的通解。

其中ki,k2,…,S为任意常数）.

齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系.

【定理】若齐次线性方程组AX=0有解，则

（1）若齐次线性方程组AX=0（A为mn矩阵）满足r（A）n，则只有零解；

（2）齐次线性方程组有非零解的充要条件是r（A）n.

（注：

当mn时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式A0.）

注：

1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于nr（A）.

2、非齐次线性方程组AXB的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组

AXO所对应的同解方程组。

由上述定理可知，若m是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n是未知量的个数，则有：

（1）当mn时，r（A）mn,此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数

大于方程的个数就一定有非零解；

（2）当mn时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式A0；

（3）当mn且r（A）n时，若系数矩阵的行列式A0,则齐次线性方程组只有零解；

（4）当mn时，若r（A）n，则存在齐次线性方程组的同解方程组；

若r（A）n，则齐次线性方程组无解。

1、求AX=0（A为mn矩阵）通解的三步骤

（1）A行C（行最简形）；写出同解方程组CX=0.

（2）求出CX=0的基础解系&,&丄,&r;

（3）写出通解Xk1&k2&Lknr&r其中Xk2,…,kn-r为任意常数•

2x1

3屜

X3

5x4

0,

【例题1

3x1

X2

2X3

X4

0,

】

解线性方程组

4x1

X2

3x3

6x4

0,

X1

2X2

4X3

7x4

0.

解法-

一:

将系数矩阵

A化为阶梯形矩阵

1

2

4

7

2

3

1

5

0

7

10

14

A

3

1

2

1

L

0

0

43

16

4

1

3

6

7

1

2

4

7

0

0

0

26

7-

43

显然有r（A）

4

n，则方程组仅有零解，即

X-ix2

X3X40.

解法二：

由于方程组的个数等于未知量的个数

（即m

n）（注意：

方程组的个数不等于未知量的个数

（即

23

31A

41

12

1

2

3

4

5

1

6

7

3270，知方程组仅有零解，即

X2

X3

x40.

mn）,不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A的行列式:

0,

可得r（A）

X1

X2

X4

2x4

兔（其中

6x5-

X3，X4，

X5为自由未知量）

令X3

1，

X4

0，

X5

0,得X,

1,X2

2；

令X3

0，

X4

1，

X5

0，得X1

1,X2

2；

令X3

0，

X4

0，

X5

1，得为

5,X2

6，

2X3

于是得到原方程组的一个基础解系为

注：

此法仅对n较小时方便

3x1

2x?

X3

X4

3x5

0,

X2

2x3

2x4

6x5

0,

5为

4x?

3X3

3x4

X5

0.

X1

X2X3X4X5

【例题2】解线性方程组

解：

将系数矩阵A化为简化阶梯形矩阵

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

r2r

1

0

1

1

5

r1（5）r4

「2「3

3

A

2

1

1

3

巾（3）9

0

1

2

2

6

23

r2

（1）r4

0

1

2

2

6

0

1

2

2

6

0

1

2

2

6

（1）r2

0

0

0

0

0

5

4

3

3

1

0

1

2

2

6

0

0

0

0

0

2n，则方程组有无穷多解，其

同解方程组为

1

1

5

2

2

6

11，2

0，3

0.

0

1

0

0

0

1

所以，原方程组的

通解为X

k11k22k33（k1，k2，k3R）

二、非齐次线性方程组的解法

求AX=b的解（Amn,r（A）r）

用初等行变换求解，不妨设前r列线性无关

C11C12

L

C|r

L

Gn

d1

C22

L

c2r

L

On

d2

O

M

M

M

行

（AMb）

crr

L

crn

dr其中C

dr1

i0（i1,2,L,r）,所以知

0

M

0

（1）dr1

0时,原方程组无解.

⑵dr1

0,r

n时,原方程组有唯一解.

⑶dr1

0,r<

n时,原方程组有无穷多解.

其通解为

X

0k1&k2&LknrE

nr,匕飞2丄为任意常数。

其中：

&

i,&丄

&r为AX=b导出组AX=

=0的基础解系，0为AX=b的特解,

【定理1】如果是非齐次线性方程组AX=b的解，是其导出组AX=0的一个解，则是非齐次线性

方程组AX=b的解。

【定理2】如果°是非齐次线性方程组的一个特解，是其导出组的全部解，则°是非齐次线性方

程组的全部解。

由此可知：

如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解

可表示为：

°Ci1C22Cnrnr

其中：

0是非齐次线性方程组的一个特解,

nr是导出组的一个基础解系。

答：

错，因r（A）=n,r（A）=n=r（A|b）

答：

错，因r（A）

答：

对，r（A）=r（A|b）=n.

【例题3】判断下列命题是否正确，A为mn矩阵.

（1）若AX=0只有零解，则AX=bW唯一解.

（2）若AX=0有非零解，则AX=bW无穷多解.

⑶若AX=bW唯一解，则AX=0只有零解.

（4）若AX=0有非零解，则AtX=0也有非零解.

答：

错,A为mn,r（A）=m

（5）若r（A）=r=m则AX=b必有解.答：

对，r（A）=r=m=r（A|b）.

（6）若r（A）=r=n,则AX=b必有唯一解.答：

错,A为mn,当mn时，可以r（A|b）=n+1.

B

A

/（.

-A

142

224

^1^1^1

124

24

1-22）r4-3

/.V

2（

33

160

001

030

100

1-3

100

224

120

133

001

100010

166

⑴唯一解:

r（A）r（A）

n

线性方程组有唯一解

X1

X2

2X3

1,

【例题4】

解线性方程组

2x1

X2

2X3

4,

4x1

X2

4X3

2.

Xi1,

可见r（A）r（A）3，则方程组有唯一解，所以方程组的解为x22,

X30.

0dr10,则原方程组无解）

2x-|

X2

X3

1,

【例题5】解线性方程组

X1

2x2

X3

2,

X1

X2

2x3

4.

2

11

1

解:

A（AB）1

21

2

r1r2r12r2

1

12

4

「1

（1）

r3

⑵无解：

r（A）r（A）

线性方程组无解（或若阶梯形方程组出现

可见r（A）3r（A）2，所以原方程组无解

1

2

1

2

1

2

1

2

0

3

3

3

r2r30

3

3

3，

0

3

3

6

0

0

0

3

X1

X2

X3

2x4

3,

【例题

6】解线性方程组

2X|

X2

3x4

1,

2x1

2x3

10x4

4.

1

1

1

2

3

1

1

1

2

3

解:

A

（AB）2

1

0

3

1

r1（

r1

2）r2

2「3

0

1

2

7

5

2

0

2

10

4

0

2

4

14

10

⑶无穷多解：

r（A）r（A）n

线性方程组有无穷多解

250

570

120

O1O

1oO

31\?

rC—1

可见

r（A）

r（A）

则方程组有无穷多解，其同解方程组为

X2

X3

2X3

5X4,

7X4.

（其中X3,X4为自由未知量）

令X3

0,X4

0,得原方程组的一个特解

又原方程组的

导出组的同解方程组为

Xi

X2

X3

2X3

5X4,

7x4.

（其中X3,X4为自由未知量）

令X31，X40,得X11,X2

X3

X4

1，得X15,X2

于是得到导出组的一个基础解系为

所以，原方程组的通解为

X

k11

k22（k1

k2

R）

2x1

X2

X3

X4

1,

【例题7】求线性方程组：

X1

2x2

X3

X4

2,

的全部解.

X1

X2

2X3

X4

3.

21

1

11

r1r2r1

（2）

r2

1

21

12

解:

A（AB）12

1

12

r1

（1）

rs

0

33

33

0

1

1

1

2

1

3

0

1

1

2

1

213

123

113

213

100

416

323

316

010

100

1-3

（12（12gBm吃

3-23-21-2

可见r（A）r（A）34，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为

Xi

12心

X2

3

X4,

2

（其中X4为自由未知量）

X3

1丄&.

2

1

令X4

0

0，可得原方程组的一个特解1-

0

Xi

又原方程组的导出组的同解方程组为x2

3

2X4，

3

—X4,（其中X4为自由未知量）

2

1

X4.

2

令X42（注：

这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数），得Xi3,X23,X31,

3

于是得到导出组的一个基础解系为3.

1

2

X1

3x2

3X3

2x4

X53

【例题

8】

求非齐次线性方程组

2x16x2x3

3x4

2

的全部解。

X1

3x2

2X3

X4X5

1

3x1

9x2

4X3

5x4

X5

5

解：

1

3

3

2

1

3

1

33

2

1

31

3

3

2

1

3

2

6

1

3

0

2

0

05

1

2

40

0

5

1

2

4

A

1

3

2

1

1

1

0

05

1

2

40

0

0

0

0

0

3

9

4

5

1

5

0

05

1

2

40

0

0

0

0

0

因为

r（A）

r（A）

2

5，

所以非齐次线性方程组有无穷多组解,

取自由未知量为

X2,X4,X5，

所以，原方程组的通解为Xk（kR）

原方程组与方程组

Xi

3X23X32X4X53同解

5x3x42x54

取自由未知量x2,x4,x5为0，得原方程组的一个特解：

|,0,|,0,0

55

再求其导出组的基础解系，其导出组与方程组Xl3X23X32X4X50同解

5x3x42x50

1

0

0

对自由未知量

X2,X4,X5分别取

0,

1,

0,

代入上式得到其导出组的一个基础解系为

0

0

1

3

7

5

1

5

1

0

0

10,

1

25,3

2

5

0

1

0

0

0

1

则原方程组的

全部解为：

X

C11

C22

C3

30

三、证明与判断

【例题9】已知1,2,3是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，证明1,12,123也是齐

次线性方程组AX=0的一个基础解系。

证：

由已知可得：

齐次线性方程组AX=0的基础解系含有3个解向量，并且由齐次线性方程组解的性质可

知1,12,123都是AX=0的解；因此只要证明1,12,123线性无关即可。

设存在数心*2飞3使

kt1k?

（12）k3（123）0成立。

整理得：

（k1k2k3）1（k2k3）2k330

（1）

已知1,2,3是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，即得1,2,3线性无关，则由

（1）得

k：

kg0

k2k30，解得：

k1k2k30所以1,12,123线性无关。

k30

即1,12,123也是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系。

【例题10】已知&,&,&,&是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，若

1

讨论t满足什么条件时，1,2,3,4是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系

解：

首先，1,2,3,4是齐次线性方程组AX=0的解，只须证1,2,3,4线性无关

由已知有:

1

t

0

0

0

1

t

0

0

0

1

t

t

0

0

1

因为:

2,

3，4线性无关

1

0

0

t

t

1

0

0

0

t

1

0

0

0

t

1

0,

1

0

0t

t

1

00

0

t

10

0

0

t1

即

1t4,

所以当

4是齐次线性方程组

AX=0的一个基础解系

【例题

11】

已知n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且r（A）=n-1,求线性方程组AX=0的通解.

解：

由r（A）=n-1知AX=0的基础解系有一个非零解向量

又ai1ai2Lain0,i1,2,L,n,即ai11ai21Lain10

Xk（1,1丄,1）T,（k为任意常数）为所求通解

【例题12】设兀,冷…,X是非齐次线性方程组AX=b0的解向量,

证明：

对于X0=k1X+k2X2+…+ktX

当％+k2+・・・+kt=1时,X）是AX=b的解；当％+k2+…•+kt=0时,X是AX=0的解.

证：

AX=A（总X+k2X2+…+ktX）=k1AX+k2AX+・・・+ktAX=k1b+k2b+・Tktb=（k1+k2+・・・+kt）b

故：

当k+k2+…+kt=1时，AX=b

当k1+k2+—+kt=0时，AX=0

的时候，解向量组的

由此可见，非齐次方程组的解对于线性组合并不一定封闭，只有组合系数的和等于1

线性组合才是非齐次方程组的解

【例题13】已知

的两个不同解，&,&是AX=0的一个基础解系

.k1,k2为任意常数.

则AX

的通解为（

答案B

（A）k1&

（B）k1&k2（&&）

（C）k1&

k2（1

【例题14】设

3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量,

且矩阵A的秩为3,

1,2,

3,4T,230,1,2,3T，求AX=b的通解。

解：

因为A的秩为3，则AX=0的基础解系含有4—3=1个解向量。

由线性方程组解的性质得:

2321（21）（31）是AX=0的解，

则解得AX=0的一个非零解为:

23212,3,4,5T。

由此可得AX=b的通解为:

1,2,3,4Tc2,3,4,

【例题15】设A是4阶方阵，

（丰0）是4X1矩阵,

r（A）

2,

4是AX=的解,

且满足1

2

4

20

8

2

3

0,3

3

2

1

0

1

试求方程组

AX=的通解.

解：

先求AX

的一个特解

2）

1

2

0

4

再求AX=

的一个基础解系

1

2（

2）

1

3（223）

0

2

1，

3

2（

2）

（33

4）

2

7

0

15

因为4

R（A）

2,&,&线性无关，所以

&,&是AX=0的一个基础解系.

故方程组

AX=

的通解是

1

2

0

4

k1

0

2

1

3

2

0，k1,k2为任意常数.

15

【例题16】设矩阵A=ajmn,B

bj

证明：

AB=0的充分必要条件是矩阵B的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解。

证：

把矩阵B按列分块：

BB1,B2,,Bs,其中Bi是矩阵B的第i列向量（i1,2,s）,

零矩阵也按列分块Oms01,02,,Os

贝VABAB1,AB2,,ABs

必要性：

AB=0可得：

ABiOi,（i1,2,,s），即Bi是齐次方程组AX=0的解。

充分性:

矩阵B的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解，

即有ABiOi,（i1,2,,s）