三年级上册数学试题奥数几何一笔画与多笔画C级沪教版含答案.docx

三年级上册数学试题奥数几何一笔画与多笔画C级沪教版含答案.docx

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三年级上册数学试题奥数几何一笔画与多笔画C级沪教版含答案

一、一笔画的认识

所谓图的一笔画，指的就是：

从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：

能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？

下面，我们就来探求解决这个问题的方法.

什么样的图形能一笔画成呢？

这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.

我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.　

二、一笔画问题

（1）能一笔画出的图形必须是连通的图形；

（2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点；

（3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；

（4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．

三、多笔画问题

我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成.

（1）知道什么样的的是奇点？

什么样的点是偶点.

（2）知道什么样的图形可以一笔画出.

（3）不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？

【例1】下图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达C？

【解析】本题要求二人都必须走遍所有的街道最后到达C，而且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先到达C.容易知道，在题目的要求下，每个人所走路程都至少是所有街道路程的总和.仔细观察上图，可以发现图中有两个奇点：

A和C.这就是说，此图可以以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必定大于这个总和，这样甲先到达C.

【答案】甲先到达C.

【例2】右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？

【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】解答

【解析】将图形中的6个区域看成6个点，每个门看成连结他们的线段，显然6个点都是偶点，所以有人能一次不重复的走过所有的门．

【答案】能

【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？

如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？

【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】解答

【解析】不能

【例3】下图中的每条线都表示一条街道，线上的数字表示这条街道的里数.邮递员从邮局出发，要走遍各条街道，最后回到邮局.问：

邮递员怎样走，路线最合理？

【解析】邮递员走的路程最短时，路线最合理.利用一笔画的知识分析可得：

因为邮递员从邮局作为起点和终点，所以没有奇点是最理想的，但实际上图中却有8个奇点，邮递员必须重复走某些路线.根据多笔画改为一笔画的方法得知：

重复走的路线的两个端点应为奇点.重复的总路程应该尽可能短.

　　我们把需重复走的路线，用虚线添在图中，通过分析与计算可知；当邮递员所走的路线如右图时，重复的路程最短，全程共走了56＋4＝60（里）.其中56为所有街道的总长，4为所重复走的路程.

　　小结：

本题属于最短邮递路线问题.解决这样的题目时，有两点值得注意：

①在所给图中，每条边都有具体的长度，这与前面其他问题中不考虑长度是不同的；②邮递路线中，邮递员必须以邮局作为起点和终点，即在最后能一笔画出的图中，所有的点都必须是偶点.这也与前面游人可以选择进出口的问题不同.

【例4】右图是某地区街道的平面图，图上的数字表示那条街道的长度.清晨，洒水车从A出发，要洒遍所有的街道，最后再回到A.问：

如何设计洒水路线最合理？

【解析】这又是一个最短路线的问题.通过分析可以知道：

在洒水路线中，K是中间点，因此必须成为偶点，这样洒水车必须重复走KC这条边（如下左图）.至此，奇点的个数并未减少，仍是6个，但问题却转化为例6的类型.类似于例6，容易得出，洒水车必须重复走的路线有：

GF、IJ、BC.即洒水路线如下右图.

　　全程45＋3+6=54（里）.

【例5】在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100米．小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？

【考点】一笔画问题【难度】3星【题型】解答

【解析】这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解．首先，图中有8个奇点，在8个奇点之间至少要去掉4条线段，才能使这8个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B点，A，B两点必须是奇点，现在A，B都是偶点，必须在与A，B连接的线段中各去掉1条线段，使A，B成为奇点．所以至少要去掉6条线段，也就是最多能走1800米，走法如图

【答案】

【例6】如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口．请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门．如果可以，请指明穿行路线，如果不能，应关闭哪个门就可以办到？

【考点】一笔画问题【难度】4星【题型】解答

【解析】可以将图中的五个小厅以及厅外的部分都抽象成点，为方便解题，给它们分别编号．这时，连通厅与厅之间的门就相当于各点之间的连线．于是题目中餐厅平面图就抽象成为一个连通的图形，如下：

求穿形路线的问题就转化成一笔画的问题．在抽象出的图形中，我们可以找到四个奇点，即②、③、④和厅外，所以图形不能一笔画出也就是说，从入口进入不可能一次不重复的穿过所有的门．但根据一笔画问题的知识，只要关闭门，把③、④变为偶点，就可以办到，关闭B门，可行路线如上图.

【答案】关闭B门.

【例7】（2009“数学解题能力展示"读者评选活动五年级初赛6题）某城市的交通系统由若干个路口（右图中线段的交点）和街道（右图中的线段）组成，每条街道都连接着两个路口．所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值（标在图中相应的线段处）．一名邮递员传送报纸和信件，要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每条街道可以经过不止一次）．他合理安排路线，可以使得自己走过最短的总长度是．

【考点】一笔画问题【难度】4星【题型】填空

【解析】根据一笔画的有关概念，道路图中有

个奇点，邮递员不可能不重复地走遍所有街道并返回邮局．但可以对道路图作一些处理，相当于邮递员通过走重复的道路，完成一笔画，如下图：

总路程为

．

【答案】

【例8】18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来（如图a）．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？

【考点】一笔画问题【难度】4星【题型】解答

【解析】欧拉解决这个问题的方法非常巧妙．他认为：

人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线．这样，一个实际问题就转化为一个几何图形（如下图）能否一笔画出的问题了．而图B中有4个奇点显然不能一笔画出．

【答案】不能

【巩固】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：

一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？

【考点】一笔画问题【难度】4星【题型】解答

【答案】能.

【例9】一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短？

全程多少千米？

【考点】一笔画问题【难度】5星【题型】解答

【解析】图中共有8个奇点，必须在8个奇点间添加4条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画．在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左下图中虚线所示，共添加4条连线，这4条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30千米．走法参考右下图（走法不唯一）．

【答案】

千米

【随练1】一辆清洁车清扫街道，每段街道长1公里，清洁车由A出发，走遍所有的街道再回到A.怎样走路程最短，全程多少公里？

【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】解答

【解析】

【答案】如图，27；

【随练2】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？

如果不能，请说明理由.如果能，应从哪开始走？

【解析】我们将每个展室看成一个点，室外看成点E，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到右图.能否不重复地穿过每扇门的问题，变为右图是否一笔画问题.

上图中只有A，D两个奇点，是一笔画，所以答案是肯定的，应该从A或D展室开始走.

【答案】能，应该从A或D展室开始走.

【作业1】下列图形分别是几笔画？

怎样画？

【答案】

（1）1笔

（2）2笔（3）1笔

【作业2】从A点出发，走遍右上图中所有的线段，再回到A点，怎样走才能使重复走的路程最短？

【答案】

【作业3】邮递员要从邮局出发，走遍左下图（单位：

千米）中所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短？

全程多少千米？

【答案】

【作业4】有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，下图中的点表示村庄，线段表示道路.邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？

【答案】

【作业5】一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米（见右图），有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米？

【答案】34厘米.

【作业6】在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁（见右图），它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D.已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？

【解析】许多同学看不出这是一笔画问题，但利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答这道题.这道题只要求爬过所有的棱，没要求不能重复.可是两只蚂蚁爬速相同，如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达D点，因而获胜.问题变为从B到D与从E到D哪个是一笔画问题.图中只有E，D两个奇点，所以从E到D可以一笔画出，而从B到D却不能，因此E点的蚂蚁获胜.

【答案】E点的蚂蚁获胜.

【作业7】下图是一个街区街道的平面图.邮递员从邮局出发，跑遍所有街道投送信件.请你为他安排一条最短的路线，并按图中标出的千米数算出这条路线的长度（单位：

千米）.