三角形导学案.docx

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三角形导学案

八年级（上）数学学期备课

一、本学期教学内容分析：

本学期学习内容共计五章，教材分析如下：

第十一章：

三角形

本章主要内容有与三角形的有关线段、角，多边形及内角和，镶嵌等；三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段；与三角形有关的角有内角、外角；教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于

的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质；接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。

这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。

最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用.

第十二章：

全等三角形

本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明。

本章分三节，第一节介绍全等形，包括三角形全等的概念，全等三角形的性质。

第二节介绍一般三角形全等的判定方法，及直角三角形全等的一个特殊的判定方法。

在第三节，利用三角形全等的判定方法证明了角平分线的性质，并利用角的平分线的性质进行证明。

第十三章：

轴对称

本章的主要内容轴对称是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用．在此基础上，利用轴对称，探索等腰三角形的性质，学习它的判定方法，并进一步学习等边三角形．

第十四章：

整式的乘法与因式分解

本章的主要内容包括整式的乘法、乘法公式以及因式分解等知识。

整式的乘法运算和因式分解是基本而又重要的代数初步知识，这些知识是以后进一步学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义。

同时，这些知识也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识.

第十五章：

分式

本章的主要内容包括：

分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。

二、课时安排总课时：

64节课

第十一章：

三角形····································10

第十二章：

全等三角形····································11

第十三章：

轴对称····································13

第十四章：

整式的乘法与因式分解·································16

第十五章：

分式····································14

第十一章：

三角形单元备课

一、本单元教材分析

本章主要内容有与三角形的有关线段、角，多边形及内角和，镶嵌等；三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段；与三角形有关的角有内角、外角；教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于

的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质；接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。

这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。

最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用.

二、本单元教学整体目标

1、了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）。

理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形。

会画出任意三角形的高、中线、角平分线。

了解三角形的稳定性及其应用。

2、了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义说明三角形内角和等于180°，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

3、了解与多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形）探索并了解多边形的内角和、外角和公式。

4、通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。

三、本单元教学重难点

1、重点：

三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌。

2、难点：

三角形内角和等于180°的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计。

四、本单元课时安排

第十一章三角形共10课时

11.1与三角形有关的线段………………………………………3课时

11.2与三角形有关的角…………………………………………3课时

11.3多边形及其内角和………………………………………3课时

小结…………………………………………………………1课时

第十一章三角形

11.1与三角形有关的线段

学习目标：

1、结合具体实例，在认识三角形概念及其基本要素的基础上，学会三角形的表示方法，掌握三角形三边之间的关系；

2、通过观察、操作、交流和反思，获得必需的数学知识，发展空间概念，推理能力和有条理的表达能力.

学习重点：

三角形三边关系的探究与归纳.

学习难点：

三角形三边关系的应用.

学习过程：

一、探究新知，独立完成

活动1忆一忆图中分别有几个三角形

活动2想一想用

填空

如右图，在△ABC中，AB＋BCAC，

AB＋ACBC，AC＋BCAB

活动3说一说根据活动2，你知道判断三角形线段能否组成三角形的方法是什么吗？

知识点一三角形及相关概念

三角形：

由三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

边：

线段AB、BC、AC是三角形的三条边

顶点：

点A、B、C是三角形的顶点。

内角：

两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。

记法：

记作△ABC，读作“三角形ABC”。

（注意）△ABC的边BC、AC、AB可用小写字母分别表示为a、b、c。

知识点二三角形的分类

按边分类：

三边都不相等的三角形

______三角形

知识点三三角形三边之间的关系

规律：

在同一三角形中，任意两边之和第三边，任意两边之差第三边。

（注意）此规律的主要应用是判断三条线段能否构成三角形，只要较短的线段之和大于最长的线段，就可以构成三角形。

二、合作探究，展示交流：

探究问题一三角形的计数

例1、如右图，图中共有三角形，其中以BC为边的三角形是

∠BEC是的内角。

探究问题二三角形三边关系的运用

例2、有四条线段，他们的长分别是1㎝、2㎝、3㎝、4㎝，从中选出三条线段构成三角形，其中正确的选法有（）A1种B2种C3种D4种

例3、等腰三角形的两边长分别是3和6，则周长为_________.

三、巩固训练、拓展拔高

1、如图，图中有个三角形？

用符号表示为，

顶点A所对的边是，边AB所对的角为，

∠A所对的边是.

2、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A、3，4，8B、5，6，11C、1，2，3D、5，6，10

3、①1，4，6；②1，3，4；③3，3，4；④6，6，6，将以上各组线段首尾相接，其中可组成三角形的有（）A.1组B．2组C．3组D．4组

4、已知三角形的两边长为2cm和7cm，第三边的长是一个奇数，则第三边的长是

cm

5、用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.

（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？

（2）若一边长为5cm，则另外两边长为多少？

如果一边长为6cm呢？

四、小结与反思

11.1．2三角形的高、中线与角平分线

学习目标：

1、了解三角形的高、中线与角平分线，并能在具体的三角形中画出它们.

2、通过观察、操作、想象、推理，发展空间概念，推理能力和有条理表达能力.

学习重点：

三角形的高、中线与角平分线的概念

学习难点：

准确画出三角形的高、中线与角平分线

学习过程：

一、探究新知，独立完成

活动1忆一忆

1、下列说法正确的是（）

A.到线段两端点距离相等的点叫做线段的中点B.线段的中点到线段两个端点的距离相等C.线段的中点可以有两个D.线段的中点有若干个

2、按要求画图：

（1）

（2）（3）

活动2做一做

1、画一个△ABC

（1）、作出△ABC的高AD

（2）、你能用折纸的方法找出三角形的高吗？

2、出示你准备好的三角形ABC纸片，将其对折，使B、C重合，折痕与BC交于点D。

（1）、D是的中点

（2）、连接线段AD，则S△ABDS△ACD（填“＞”“＜”或“＝”）

（3）、你能给点D起个名称吗？

3、请你出示一个三角形ABC纸片，将其对折，使AC与AB所在的直线重合，折痕与BD交于D。

（1）、∠CAD∠BAD，AD在的平分线上。

（2）、你能给AD起个名称吗？

活动3说一说

通过活动2的学习，你认为“三线”定义中，高与线段的垂线、三角形的角平分线与角的平分线、中线与线段的中点有何异同？

三角形的重要线段

意义

图形

表示方法

三角形的高线

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，与

之间的线段

∵AD是△ABC的高

∴∠=∠=90°

三角形的中线

三角形中连接一个顶点和它对边

的线段

∵AD是△ABC的中线

∴BD==.

三角形的角平分线

三角形一个内角的平分线与他的对边相交，这个角的顶点与之间的线段

∵AD是△ABC的角平分线

∴∠BAD==.

二、合作探究，展示交流：

探究问题一三角形的高、中线、角平分线的特征

例1、已知，如图，AB⊥BD于B，AC⊥CD于C，且AC与BD交于点E。

（1）、△ADE的边DE上的高为，边AE上的高为，边

AE上的高为。

（2）、AE=5，DE=2，CD=

，则AB=。

解：

探究问题二三角形的高、中线、角平分线的应用

例2、如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=6㎝，AC=8㎝，BC=10㎝，

∠CAB=90°试求：

（1）AD的长。

（2）△ABE的面积。

（3）△ACE和△ABE的周长的差。

三、巩固训练、拓展拔高

1、三角形的角平分线、中线、高（）

A．都是线段B、都是直线C、角平分线是射线，其余的是线段D、都在三角形的内部

2、如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高.

填空：

（1）BE==；

（2）∠BAD=∠=；

（3）∠AFB=∠=90°；

3、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形

4、能将三角形面积平分的是三角形的（）

A、角平分线B、高C、中线D、外角平分线

5、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求

△ABC的面积；

CD的长。

四、小结与反思

11.1．3三角形的稳定性

学习目标：

通过观察和实际操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性的结论；以及三角形稳定性和四边形没有稳定性在生产和生活中的应用

学习重点：

了解三角形稳定性在生产、生活中的实际应用

学习难点：

准确使用三角形稳定性于生活之中

学习过程：

一、探究新知，独立完成

活动1忆一忆

1、下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）

A、3㎝，5㎝，8㎝B、8㎝，8㎝，18㎝

C、0.1㎝，0.1㎝，0.1㎝D、3㎝，40㎝，8㎝

2、等腰三角形的两边长分别是2㎝和7㎝，则三角形的周长是。

活动2想一想

1、盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框

上斜钉一根木条，为什么要这样做？

2、探究三角形的稳定性（动手做一做）

（1）、如图一：

将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，

它的形状会改变吗？

（2）、如图二，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，

它的形状会改变吗？

（3）、如图三：

在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接

起来，然后扭动它，这时木架的形状还会改变吗？

为什么？

知识点三角形的稳定性

三角形具有，而四边形稳定性。

二、合作探究，展示交流：

探究问题生活中三角形的稳定性与四边形的不稳定性的应用

例

（1）、如图，下列图形那些具有稳定性?

（2）、对不具有稳定性的图形，请添加适当的线段使之具有稳定性。

三、巩固训练、拓展拔高

1、如图四，要使一个六边形的木架不变形，至少需要钉上木条的根数是的（）.

A、1条B、2条

C、3条D、4条

2、下列图形中有稳定性的是（）

A.正方形B.长方形C.三角形D.平行四边形

3、下列图形中不具有稳定性的是（）

4、三角形的稳定性在生活中有广泛的应用，如下图，除外.你能举出相应的例子吗?

四边形的不稳定性也有广泛的应用，如下图所示，除外，你还能举出其他的实例吗？

5、三角形具有性，四边形不具有的特点，也就是说，一个三角形的三条边固定了，三角形的形状和大小就完全确定了.所有的多边形中，只有三角形具有.

四、小结与反思

11.2．1三角形的内角

学习目标：

1、经历实验活动过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理

2、能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题

学习重点：

三角形内角和定理

学习难点：

三角形内角和定理的推理过程

学习过程：

一、探究新知，独立完成

活动1忆一忆

如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠ADC=32°则∠CAB=。

活动2议一议

如图，3根木条相交成∠1，∠2，若木条a与木条b平行，则∠1+∠2=。

操作：

把木条a绕点A转动，使它与木条b相交于C。

据图，能说明“三角形内角和等于”。

活动3做一做

由下图你能想到什么证明方法？

写出证明过程。

解：

知识点三角形内角和定理：

三角形三个内角的和等于。

二、合作探究，展示交流：

探究问题一三角形内角和定理的运用

例1、

如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，∠ACB的平分线交AB于点D，求∠BDC的度数。

探究问题二利用方程的思想解与三角形内角和有关的角度计算问题

例2、

如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠B=70°，∠ACB=50°，求∠EDC，∠BDC。

三、巩固训练、拓展拔高

1、一个三角形最多有个直角，最多有个钝角.

2、一个三角形的三个内角中（）

A.至少有一个等于90°B.至少有一个大于90°

C.不可能有两个大于89°D.不可能都小于60°

3、若一个三角形的三个内角之比为2：

3：

4,则这三个内角的度数分别是，，，这个三角形是三角形.

4、如右图：

∠α＝.

5、C岛在A岛的北偏东

方向，B岛在A岛的北偏东

方向，

C岛在B岛的北偏西

方向，从C岛看A、B两岛的视角

是多少度？

四、小结与反思

11.2．2直角三角形

学习目标：

1、能应用三角形内角和定理与直角三角形的相关知识解决一些简单的实际问题

学习重点：

直角三角形的相关知识

学习难点：

直角三角形的相关知识与三角形内角和定理综合应用

学习过程：

一、探究新知，独立完成

活动1忆一忆

1、已知∠1=30°，∠2=60°，则∠1与∠2的关系是。

2、已知∠α=32°，则∠α的余角的度数是。

3、三角形的内角和为。

活动2做一做

1、在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=28°，根据三角形的内角和定理，∠B=180-∠A-∠C=。

由此可知，∠A+∠B=，所以直角三角形的两锐角。

2、在△ABC中，∵∠A+∠B=90°（已知）

∴∠C=180°-（∠A+∠B）=90°（三角形的内角和为180°）

∴△ABC是三角形（）

知识点一直角三角形两个锐角的关系

直角三角形两个锐角。

知识点二直角三角形的判定

有一个角的三角形是直角三角形。

二、合作探究，展示交流：

探究问题一直角三角形两个锐角互余

例1、如图

是一个直角三角形，已知∠ACB=90°，那么∠A的余角是哪个角。

小明用直角三角尺在这个三角形中画了一条高CD，得到图

（1）、在图

中，你能找出三对余角吗？

（2）、∠ACB、∠ADC、∠CDB都是直角，所以∠ACB=∠ADC=∠CDB，小明还发现了两对相等的角，请把它们写出来，说明理由。

例2、如图，AF、AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF。

探究问题二直角三角形的判定

例3、一个三角形的各内角度数之比是3：

2：

5，请判断这个三角形的形状。

三、巩固训练、拓展拔高

1、如图所示，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O。

（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC=。

（2）若∠ABC+∠ACB=116°，则∠BOC=。

（3）若∠A=76°，则∠BOC=。

（4）若∠BOC=120°，则∠A=。

（5）你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？

2、在△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则△ABC是三角形.

3、如图，⊿ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，

求∠CDF的度数.

四、小结与反思

11.2.2三角形的外角

学习目标：

1、通过小组学习等活动经历得出三角形的外角概念和性质.

2、通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学思想方法.

3、培养主动探索、勇于发现，敢于实践及合作交流的习惯.

学习重点：

三角形的外角性质；三角形的外角和定理

学习难点：

三角形外角的定义及定理的论证过程

学习过程：

一、阅读课本，自主完成

活动1忆一忆

1、在△ABC中，∠A+∠B+∠C=__________。

2、如图1，在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠ACB=_________，∠ACB与∠ACD互为________。

活动2做一做

如图2，把△ABC的一边BC延长到D，∵∠A=70°，∠B=60°，又∠A+∠B+∠ACB=__________，∴∠ACB=180°—∠A—∠B=180°—70°—60°=50°，又∠ACB+∠ACD=___________，∴∠ACD=180°—50°=130°，由上面的计算，可知：

∠ACD=∠_______+∠______。

活动3说一说

通过活动2的学习，你认为三角的外角与内角有何联系？

知识点一三角形的外角的定义

外角：

三角形的一边与另一边的_________组成的角，叫做三角的外角。

知识点二三角形的外角的性质

性质1：

三角形的外角等于与它_________的两个内角的和。

性质2：

三角形的外角大于与它_________的任何一个内角

二、合作探究

探究问题一利用三角形的外角的性质求角度

注意：

在应用外角性质时要注意“三角形的外角”和“与它不相领的两个内角”等字眼。

方法：

三角形的内角和定理和三角形的外角的性质是解决三角形中有关角度计算和推理问题的最基本的理论依据，最基本的方法是列方程。

例1：

如图3所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，则∠EDF的度数等于_________。

探究问题二利用三角形的外角的性质解决实际生活问题

外角可以把不在同一个三角形中的几个角联系起来，解决问题的关键：

一是确定角的“身份”——内角还是外角；二是添加辅助线的构造三角形的外角。

例2一个零件的形状如图4所示，按规定∠BAC=90°，∠B=21°，∠C=20°，检验工人量得∠BDC=130°，就断定这个零件不合格，你能运用所学知识说出其中的道理吗？

三、巩固练习，拓展拔高

1、如图，在

中，AD、BE分别是BC、AC边上的高且相交于点F，已知

，

求∠AFB度数.

2、如图２，点D是△ABC两个外角平分线的交点，

（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BDC=。

（2）若∠ABC+∠ACB=116°，则∠BDC=。

（3）若∠A=76°，则∠BDC=。

（4）若∠BOC=40°，则∠A=。

（5）你能找出∠A与∠BDC之间的数量关系吗？

3、如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，求证∠E=

∠A．

四、小结与反思

11.3多边形及其内角和

11.3.1多边形

学习目标：

了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念

学习重点：

了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念

学习难点：

多边形定义的准确理解

学习过程

一、阅读课本，自主完成

活动1忆一忆

在△ABC中，

（1）∠C=90°，∠B=30°，则∠A=_____°；

（2）∠A=100°，∠B=∠C，则∠B=______°；（3）三角形的三个内角中，最多有______个锐角，最多有______个直角，最多有_____个钝角。

活动2比一比

三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形，如图11-3-1

（1），记作：

△ABC，三角形有_____个内角，_____条边。

四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形，如图

（2），记作：

四边形ABCD，四边形有____个内角，_____条边。

五边形是由五条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形，如图（3），记作：

五边形ABCDE，五边形有____个内角，_____条边。

一般地，由n条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形称为n边形，又称为多边形，n边形有____个内角，_____条边。

活动3说一说

通过对三角形与多边形的学习，谈谈你对它们的认识（异同点）。

知识点一多边形及相关概念

多边形：

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

n边形：

如果一个多边形由______条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。

多边形的内角：

多边形_______两边组成的角叫做多边形的内角。

多边形的外角：

多边形的边与它的邻边的_______组成的角叫做多边形的外角。

多边形的对角线：

连接多边形_________相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

凸多边形：

画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的_______侧，那么这个多边形就是凸多边形。

凹多边形：

画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形不都在这条直线的_______侧，那么这个多边形就是凹多边形。

知识点二正多边形的概念

定义：

各个______都相等，各条______都相等的多边形叫做正多边形。

二、合作探究

探究问题多边形的对角线

方法归纳：

（1）从n边形的一个顶点可以作（n-3）条对角线，n边形中共有

n（n-3）条对角线。

（2）连接多边形的对角线也是一种常见的作辅助