《锐角三角函数》导学案.doc
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第七章锐角三角函数
（1）正切函数
学习目标
1、认识锐角的正切的概念。
2、会求一个锐角的正切值。
3、经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。
学习重点：
锐角的正切的概念
学习难点：
锐角的正切的概念，感受数形结合的数学思想方法
知识要点
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作
一、情境创设
问题1.我们从家到学校，免不了要爬坡，有些坡好爬，有些坡爬起来很累，这是为什么？
观察斜坡的倾斜程度，你有什么发现？
如何刻画斜坡的倾斜程度？
如上图，这两个直角三角形中，∠C=∠C′=90°，且有一条直角边相等，但斜边不相等，哪个
坡更陡？
①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：
当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？
②给出正切概念：
如图，在Rt△ABC中，，把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：
.
二、典型例题
例1．根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值。
通过上述计算，你有什么发现？
互余两角的正切值．
例2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=3,AB=5，求∠ACD、∠BCD的
正切值。
结论：
等角的正切值．
例3．如图
（1），∠A=30°，∠C=90°，根据三角函数定义求出30°、45°、60°的正切值．
（1）
（2）（3）
例4．如图，∠A=15°，∠C=90°，求出15°正切值．
随堂演练
1.
（1）在直角三角形ABC中，∠C=90°，b=9,a=12,则=，tanB=。
（2）如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则的＝．
（3）在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,tanA=2，则BC长为。
2.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为（）A． B． C． D．
A
B
C
C’
B’
3．Rt△ABC中，∠C=90°，若，则tanA=。
4．在，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正切值（）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变
5.在Rt△ABC中∠A=75°，∠C=90°，求出75°正切值．
9．等腰三角形ABC的底边为10cm，周长为36cm，求tanC.
A
B
C
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§7.2正弦、余弦
（1）
学习目标：
1、认识锐角的正弦、余弦的概念。
2、会求一个锐角的正弦、余弦值。
3、经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。
教学重点：
锐角的正弦、余弦的概念
教学难点：
锐角的正弦、余弦的概念，感受数形结合的数学思想方法
知识要点：
1、正弦的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比
叫做∠A的______，记作________，即：
sinA＝________=________.
2、余弦的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边b与
斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，即：
cosA=______=_____。
（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？
）试试看____________________.
教学过程
一、情景创设
1、问题1：
如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果
他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？
行走了am呢？
2、问题2：
在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？
20m
13m
3、B
在△ABC中,∠C=90°.锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦,
记作sinA.
C
A
锐角A的邻边a与斜边c的比叫做∠A的余弦,
记作cosA.
二、典型例题
例1.根据图中数据,分别求出∠A,∠B的正弦,余弦.
练习：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、，且，，，下面四个式中错误的有（）①sin；②cos；③tan；④sin
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是、、，
：
=2：
3，求sinA与sinB的值。
例3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD⊥AB于D，AC=8。
试求：
⑴sinA的值；⑵cos∠ACD的值；⑶CD的长。
练习：
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
则sinA＝_____，cosA＝_____，sinB＝_____，cosB＝_____。
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，
则sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.
3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9a，AC＝12a，AB＝15a，
则tanB=________,cosB=______,sinB=_______
4、比较：
sin30°与sin60°的大小;
cos30°与cos60°的大小?
随堂演练：
（第2题）
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则sinA=。
2．如图，P是∠的边OA上一点，且P点坐标为（3,4），则sin=，
cos＝.
（第3题）
3．如图△ABC中，∠C=90°，sinA=，则BC：
AC=（）
A．3：
4 B．4：
3 C．3：
5 D．4：
5
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则cosB=（）
A． B． C． D．
§7.2正弦、余弦
（2）
学习目标：
1、认识锐角的正弦、余弦的概念。
2、会求一个锐角的正弦、余弦值。
3、经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。
教学重点：
利用正弦余弦的有关概念解决问题。
教学难点：
利用正弦余弦的有关概念解决问题。
一．复习导入
二．
三．如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,AC=12,BC=5.求:
sinA、cosA、sinB、cosB的值.
你发现sinA与cosB、cosA与sinB的值有什么关系吗?
结论：
二、典型例题
1.比较大小
①sin40゜cos40゜②sin80゜cos30゜③sin45゜cos45゜
2．已知α为锐角:
（1）sinα=，则cosα=______,tanα=______,
（2）cosα=，则sinα=______,tanα=______,
（3）tanα=，则sinα=______,cosα=______,
三．典型例题
例1、如图，BC⊥AD于C，DF⊥AB于F，S△AFD:
S△EFB=9，∠BAE=，求sin+cos的值；
分析由已知易证Rt△AFD∽Rt△EFB，再根据S△AFD：
S△EFB=9，可得AF：
EF=3，AF=3EF；由勾股定理可求出AE=EF，从而容易求得sin，cos的值。
例2、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥AB，AD=CD，BC=10，则AB的值是（）A．9 B．8 C．6D．3
例3、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=1，cosB=，求这个菱形面积。
随堂演练
1．△ABC中，∠C=90°，若tanA，则sinA=。
2．△ABC中，∠C=90°，AC=AB，则sinA=，tanB=。
3.在Rt△ABC中,∠C=90º,且锐角∠A满足sinA=cosA,则∠A的度数是（）
A.30ºB.45ºC.60ºD.90º
4.在Rt△ABC中,∠C=90º,sinA=,则BC:
AC:
AB等于（）
A.1:
2:
5B.C.D.
5.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比中不等于sinA的是（）
A. B.
（第6题）
C. D.
6．如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为，
高度BC为米（结果用含的三角函数表示）。
7．△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=3，则下列结论正确的是（）。
A． B． C． D．
7.34特殊角的三角函数及由三角函数值求锐角
学习目标
1.熟记30°、45°、60°特殊角的三角函数值，并利用其进行求值计算。
2.会根据特殊角的正弦、余弦、正切值求该锐角的大小。
3.经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。
学习重点
利用三角函数有关概念解决问题
教学过程
一、复习、归纳
1．分别说出30°、45°、60°角的三角函数值。
2.完成下列表格
三角函数值
三角函数
θ
30°
45°
60°
sinθ
cosθ
tanθ
二、典例分析
例1．求下列各式的值。
（1）2sin30°-cos45°
（2）sin60°·cos60°（3）sin230°+cos230°
练习：
计算.
（1）cos45°－sin30°
（2）sin260°＋cos260°
（3）tan45°－sin30°·cos60°（4）
例2.求满足下列条件的锐角α。
（1）cosα=
（2）2sinα=1（3）2sinα－=0（4）tanα－1=0
练习：
1.若sinα=,则锐角α=________.若cosα=1,则锐角α=_________.
2.若∠A是锐角，且3tanA=,则cosA=_________.
3.已知α为锐角,当无意义时,求tan（α+15°）-tan（α-15°）的值.
三、小结
随堂演练：
1．sin30º的值等于.∠α的补角是120°,则∠α=______,sinα=______.
2．下列计算错误的是（）
A． B．
C． D．
3.求满足下列条件的锐角α:
（1）cosα-=0
（2）-tanα+=0
（3）cosα-2=0（4）tan（α+10°）=
4．计算
（1）
（2）
5．已知tan2α－（1+）tanα+=0，求锐角α的度数．
6．已知：
如图，在Rt△中，，．点为边上一点，且，．求△周长．（结果保留根号）
7．已知锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．
（1）试说明：
S△ABC=absinC；
（2）若a=30cm，b=36cm，∠C=30°，求△ABC的面积．
7.5解直角三角形
学习目标：
1.理解直角三角形中5个元素的关系，会运用“勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、锐角三角函数”解直角三角形。
2.通过综合运用“勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、锐角三角函数”解直角三角形提高分析问题、解决问题的能力。
3.培养学生对图形的转化能力。
重点：
边角关系的灵活应用
难点：
如何通过添加辅助线构造直角三角形，把问题转化为直角三角形中的问题来解决问题。
知识点：
1．解直角三角形的定义：
任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2．解直角三角形的所需的工具。
（1）两锐角互余∠A＋∠B＝90°
（2）三边满足勾股定理a2＋b2＝c2
（3）边与角关系sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝，tanB＝。
3．一个直角三角形当已知或已知，这个直角三角形就是可解的直角三角形
4．解直角三角形的四种类型和解法如下表：
类型
已知条件
解法
两边
两直角边a,b
c=，tanA=，B=90°-A
一直角边a，斜边c
b=，sinA=，B=90°-A
一边一锐角
一直角边a，锐角A
B=90°-A，b=atanB，c=
斜边c，锐角A
B=90°-A，a=c·sinA，b=c·cosA
5．解直角三角形时需要注意的几个问题：
（1）尽量使用原始数据，少用有误差的近似值，使计算更加准确。
（2）非直角三角形问题，通过添加恰当的辅助线转化为解直角三角形问题。
（3）恰当使用方程可使一些较复杂的解直角三角形问题化繁为简、化难为易。
（4）在选用三角函数时，尽可能做乘法，避免除法，以使运算简便。
典型例题：
例1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别
为、、，由下列条件解直角三角形。
⑴已知，∠B=60°⑵已知，
（3）已知，∠A=60°
配套练习：
根据下列条件解直角三角形
（1）在RtΔABC中，∠C＝90o，c＝10，∠A＝30o.
（2）在RtΔABC中，∠C＝90o，a＝50，c＝.
例2.如图，已知在△ABC中，∠B=60°，AD=14，CD=12，S△ADC=，求BD的长。
随堂演练：
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=18，则AC=，BC=。
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，，，则∠A=，b=。
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，，，则tanB=，面积S=。
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC：
BC=，AB=6，∠B=，AC=BC=。
5．在下列直角三角形中不能求解的是（）
A．已知一直角边一锐角 B．已知一斜边一锐角
C．已知两边D．已知两角
6.ΔABC中，∠A＋∠B＝90O,cosA＝，则sinB＝ ，若c＝10,则a＝．
7.解直角三角形在Rt△ABC中
8.为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52º,已知人的高度是1.72米，求树高（精确到0.01米）（tan52º=1.2799）
9．某块绿地的形状如图所示，其中∠BAD=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长。
（参考数据：
≈1.414,≈1.732,精确到1m）
§7.6锐角三角函数的简单应用
（1）
学习目标：
1.经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。
2.能把实际问题转化为数学问题，能进行有关三角函数的计算并能对结果的实际意义进行说明。
3.正确理解“旋转角、仰角、俯角、视线、方位角”从而正确理解实际问题，解决实际问题。
重点：
灵活应用“锐角三角函数、勾股定理”解直角三角形
难点：
发现、构造可解的直角三角形和需解的直角三角形
方向角∠1：
北偏东30度。
∠2：
南偏西60度
重要概念：
旋转角：
∠AOB
∠1是俯角，∠2仰角
1
2
解题要领：
把实际问题抽象为几何问题，画出几何图形，明确已知量和未知量，通过添加适当辅助线，构造直角三角形，解决实际问题。
问题引入：
长为90CM的单摆AB旋转30°后，最低点B升高了多少？
典型例题
例1.国庆长假，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场大型摩天轮的半径为20米，旋转一周需要12分钟。
小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5米）开始一周的观光。
（1）2分钟后，小明离地面的高度是多少（精确到0.1米）？
（2）摩天轮启动多长时间后，小明和地面的高度将首次达到9m?
（提示cos55°=0.575）
（3）小明将有多长时间连续保持在离地面9m以上的高度？
例2．升国旗时，某同学站在离旗杆底部20m处行注目礼，当国旗升至旗杆端时，该同学视线的仰角恰为40°，若双眼离地面1.5m，则旗杆高度为多少m?
（sin40°=0.64,tan40°=0.84）
（图6）
例3．某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，图6是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD＝18o，C在BD上，BC＝0.5m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？
请你判断并计算出正确的结果．（结果精确到0.1m）参考数据：
sin18°=0.31,cos18°=0.95，tan18°=0.32
随堂演练：
1．小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得
∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度。
（计算结果精确到0.1米，）
2．汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为，B村的俯角为（如图）．求A、B两个村庄间的距离．
（结果精确到米，参考数据）
3．水平地面上的甲、乙两楼的距离为30米，从甲楼顶部测得乙楼顶部的仰角为30°，测行乙楼底部的俯角为45°．求甲、乙两楼的高度．
§7.6锐角三角函数的简单应用
（2）
学习目标：
1.经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。
2.能把实际问题转化为数学问题，能进行有关三角函数的计算并能对结果的实际意义进行说明。
3.正确理解“旋转角、仰角、俯角、视线、方位角”从而正确理解实际问题，解决实际问题。
重点：
借助列方程灵活应用锐角三角函数解直角三角形
难点：
几个可解的直角三角形和需解的直角三角形之间的联系
解题要领：
把实际问题抽象为几何问题，画出几何图形，通过添加适当辅助线构造直角三角形，注意抓住几个直角三角形之间的公共边角，灵活应用锐角三角函数借助列方程解直角三角形。
问题引入：
我校九年级某班在测量校内旗杆高度的数学活动中，同学们设计了两种测量方案，并根据测量结果填写了如下《数学活动报告》中的一部分．请你把下表中计算过程和结果填写完整
课题
测量校内旗杆高度
目的
运用所学数学知识及数学方法解决实际问题——测量旗杆高度
方案
B
A
C
D
M
N
方案一
方案二
示意图
D
A
M
C
N
G
B
测量工具
皮尺、测角仪
皮尺、测角仪
测量数据：
，
，
，
，
计算过程（结
果保留根号）
解：
解：
测量结果
典型例题
例1．小明为了测量停留在空中的气球的高度，他先在地面上找一点，站在这点测得气球的仰角为27°，然后向气球方向走了50米，测得气球的仰角为40°。
这时他就能算出气球的高度了。
他是如何求得气球的高度呢？
（小明的身高是1．6米）
（tan27°=0.51,tan40°=0.84,结果精确到0．1米）
270
400
例2．如上图所示，已知：
在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8.
求：
△ABC的面积（结果可保留根号）.
例3．如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.
（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；
（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？
（结果可保留根号）
图
随堂演练：
1．如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别
为45°和60°，试求塔高和楼高。
2.如图，飞机沿水平方向（A、B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行的距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个距离MN的方案，要求：
（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；
（2）用测出的数据写出求距离MN的步骤.
（2题图）
§7.6锐角三角函数的简单应用（3）
学习目标：
1.正确理解“坡度、坡角、倾斜角”等在实际问
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