完整一线三等角型相似初三压轴题.docx

完整一线三等角型相似初三压轴题.docx

《完整一线三等角型相似初三压轴题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整一线三等角型相似初三压轴题.docx（26页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

完整一线三等角型相似初三压轴题

中考热点5――三等角型相似三角形

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角

等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。

此规律需通过认真做题，细细体会。

典型例题

【例1】如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，/EDF=60°

（1）求证：

△BDECFD

（2）当BD=1,FC=3时，求BE

【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得/B=/C=ZEDF=60

再用外角可证/BED=/CDF，可证△BDE与厶CFD相似排出相似比便可求得线段BE的长度

解：

（1）：

公ABC是等边三角形，/EDF=60°

•••/B=/C=ZEDF=60°•••/EDC=ZEDF+/FDC=/B+/BED

•••/BED=ZFDC

（2）v^BDECFD

•FCCD"BDBE

•/BD=1,FC=3,CD=5

•BE=5

3

点评：

三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。

【例2】如图，等腰△ABC中，AB=AC,D是BC中点，/EDF=/B,

求证：

△BDEDFE

【思路分析】比较例1来说区别仅是点D成为了BC的中点，所以△BDE与△CFD相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD=CD的条件

可证得△BDE和厶DFE相似

解:

•/AB=AC,ZEDF=/B

•••/B=/C=ZEDF

•••/EDC=ZEDF+/FDC=/B+/BED

•••/BED=ZFDC

•••△BDECFD

BEDE

又•••BD=CD

CDDF

BEDEBEBD

•-即

BDDFDEDF

•••/EDF=ZB

点评：

三等角型相似中若点D是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点

BD

则有三对相似三角形，△BDE与厶CFD相似后若得——

CF

【例3】如图，在△ABC中，AB=AC=5cm,BC=8，点P

作射线PM交AC于点M，使ZAPM=ZB;

（1）求证：

△ABPPCM;

（2）设BP=x,CM=y.求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域.

（3）当厶APM为等腰三角形时，求PB的长.

【思路分析】第

（1）

（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。

对△APM进行等腰三角形的分类讨论时，可将条件转化成与△ABPPCM相关的结论

解:

（1）

D是底边中点

DE

加上BD=CD可证得△CFD与厶DFE相似

DF

为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P

（2）

•/AB=AC,ZAPM=/B:

丄APM=ZB=/C•••/APC=ZAPM+/MPC=/B+ZBAP

•••/BAP=ZMPC

•△ABPPCM

•/BP=x,

AB

CM=y,CP=8-x

BP

PC

MC

（3）

8

x（0x8）

5

时

PC

•PC=AB=5

AB

lx2

5

当AP=PM

..pm

•PA

•BP=3

当AP=AM时

•ZAPM=ZB=ZC

•ZPAM=ZBAC即点P与点B重合

•P不与点B、C重合

•舍去

当MP=AM时

•ZMAP=ZMPA

•△MAPABC

MP

AB

AP

PM

BC

PC

AB

PA

39

•BP=-

8

点评：

等腰三角形分类讨论需要灵活应用，型相似这类问题中可将等腰的条件转化至△

可采用的方法添底边上的高，将等腰的条件进行转化，三等角ABP和厶PCM中简化运算。

【例4】

（1）在ABC中，ABAC

5,BC8,点P、Q分别在射

C

线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持APQABC.

①若点P在线段CB上（如图10）,且BP6，求线段CQ的长；

②若BPx，CQy，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的

定义域；

（2）正方形ABCD的边长为5（如图12），点P、Q分别在直.线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持APQ90.

当CQ1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）

【思路分析】本例与前几例的区别在于与等腰三角形底角相等的角的顶点不仅在线段上还可以运动至线段的延长线上，这类变式问题是上海中考中最常见的，虽然图形改变，但是方法不变，依旧是原来的两个三角形相似列出比例式后求解。

当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚才的方法便可破解此类问题。

解：

（1）vAPQCPQBBAP,APQABC,

BAPCQP.

又•••ABAC，二BC.

QCPsABP.

CQCP

BPAB

-ABAC5,BC8,BP

6,CP

8

62,

CQ212

CQ.

655

CQ

CP

（2）若点P在线段CB上，

由

（1）

知-

BP

AB

•••BPx,BC8,•••

CPBC

BP

8

x,

又•••CQy,AB5,•

.y

8

-，即

y

12

x

8

x

x

5

5

5

故所求的函数关系式为y

12

x

8

x,（0

x

8）.

5

5

若点P在线段CB的延长线上，如图11.

APQ

APB

CPQ,

ABC

APB

PAB,

APQ

ABC

•CPQ

PAB

又•••

ABP

180

ABC,

PCQ180

ACB,ABCACB,

ABP

PCQ.••

•QCPsPBA.:

BP

AB

CQ

PC

BP

x,CPBC

BP

8x,AB5,CQy,

x

5

12

8“

0）.

即y

x

-x（x

y

8x

5

5

（2）当点P在线段BC上，BP-，或BP55

2

2

P

当点P在线段CB的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，BP

点评：

此题是典型的图形变式题，记住口诀：

“图形改变，方法不变”。

动点在线段上时，通过哪两个三角

形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。

强化训练:

1.如图，在△ABC中，ABAC8，BC10,D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且

ADEC•

求证：

△ABDDCE;

如果BDx,AEy，求y与x的函数解析式，并写出自变量

当点D是BC的中点时，试说明厶ADE是什么三角形，并说明理由.

2.已知：

如图，在△ABC中，ABAC5,BC6,上，DEAB，点E在边BC上.又点F在边AC上，且

（1）求证：

△FCEEBD;

⑵当点D在线段AB上运动时，是否有可能使Sfce4S

如果有可能，那么求出BD的长.如果不可能请说明理由.

4.

如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,P是BC上的一个动点（与B、C不重合）,PE丄AB与E,PF丄BC交AC与F，设PC=x，记PE=y1,

PF=目2

（1）分别求y1、y2关于x的函数关系式

⑺△PEF能为直角三角形吗？

若能，求出CP的长，若不能，请说明理由。

5.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点（与B、C不重合），PE丄AB与E，PF丄BC交AC与F，设PC=x，APEF的面积为y

（1）写出图中的相似三角形不必证明；

（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）若厶PEF为等腰三角形，求PC的长。

6.已知在等腰三角形ABC中，ABBC4,AC6，D是AC的中点,

C重合），连结DE，过点D作射线DF，使EDF于点H•

（1）求证：

CEDsADH;

（2）设ECx,BFy.

1用含x的代数式表示BH；

2求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域.

7.

已知在梯形ABCD中，AD//BC，ADvBC，且AD=5,

（1）如图8，P为AD上的一点，满足/BPC=ZA.

①求证；△ABPs^DPC

②求AP的长.

AB=DC=2.

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足/BPE=ZA，PE交直线BC于

点E，同时交直线DC于点Q，那么

1当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

2当CE=1时，写出AP的长（不必写出解题过程）.

4

8.已知：

如图，直角梯形ABCD中，AD//BC，B90，AB8，AD12，tanC，AM//DC，

3

E、F分别是线段AD、AM上的动点（点E与A、D不重合）且FEMAMB，设

DEx,MFy.

（1）求证：

AMDM;

（2）求y与x的函数关系式并写出定义域；

（3）若点E在边AD上移动时，EFM为等腰三角形，求

9.已知在梯形ABCD中，AD//BC,ADVBC,且BC=6,AB=DC=4，点E是AB的中点.

（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2.求证：

△BEPCPD;

（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足/EPF=/C,PF交直线CD于点F,同时交直线AD于点M,那么

①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=X,DF=y，求y关于X的函数解析式，并写出函数的

9

定义域；②当Sdmf-Sbep时，求BP的长.

4

AD

（第25题图）

AD

（备用图）

10.

女口图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD=BC=4,AD=2.点M为边BC的中点，以M为顶点作/EMF=/B，射线ME交边AB于点E,射线MF交边CD于点F，连结EF.

（1）指出图中所有与厶BEM相似的三角形，并加以证明；

（2）设BE=x,CF=y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

答案:

1.解：

（1）vAB=AC「./B=/C

2.

•••/ADC=/ADE+/CDE=/B+ZBADa/BAD=/CDE/•△ABDDCE

（3）TABAC,D是BC的中点•••AD丄BC•••/DAE+/ADE=90°vAEDE

•••△ADE是直角三角形

3.解：

（1）vAB=ACB=/C

•••/BED+/DEF=/C+/EFC=90。

又vDEFBBED=ZEFC

•△FCEEBD

55

（2）vBD=x,BE=—X,EC6x

33

363BD不存在

11

3.解：

（1）vAB=AC「./B=/C

vZDPC=/DPE+/EPC=ZB+ZBDPEPC=/BDP

（2）vZDPE=ZB90°

若ZPDE=90，在RtAABH和RtAPDE中

BHPD3PD

•cosZABH=cosZDPE=

ABPE5PE

BD

PC

vPC=4•BD

12

5

BH

PE

3

PD

BD

cosZABH=cosZPED=

AB

PD

5

PE

PC

vPC=4•BD205（舍去）

3

4

4

24

4

4.解：

（1）y1-（6x）

x

、y2

x

5

5

5

3

若ZPFE=90°，在Rt△ABH和Rt△PFE中

BH

PF

3

3

cosZABH=cosZFPE=

—•

・・-

AB

PE

5

y1

5

327

若ZPEF=90°,在Rt△ABH和Rt△PFE中

BH

PF

3

cosZABH=cosZFPE=

AB

PE

5

424

x

55

…x一

517

若ZPED=90在Rt△ABH和Rt△PDE中

综上所述，BD的长为—

5

（2）vZFPE=ZB90°

HP

y25

yi3

424x

55

4

4

4

16

（2）TPC=x「.PF

x

PE-（6x）,

EH

-EP

—（6

3

5

5

25

1

1416

32

•-y

—PF

EH

x（6x）

x（6x）

2

2325

75

f—tl-t

322

64

即y

x

x（0x3）

75

25

5.解：

（PEBs\EPC

x3

（3）当PE=PF时，△EPC◎△PEB,PC=BE=x,/•x

6x5

x）

PE=EF

时,

PH

!

pf

2

cos/

EPH=cosB,

2

x

3

4（6

x）

108

43

FE=PF

时,

PM

-EP

2

自6

x）,

cos/FPM=cosB,

2

|（6x）

5

综上所述,

PC的长分别为x

108

43

6.解：

（1）

又

ABBC,「・A

EDFA,•••CDE

CE

CEDsADH,•——

AD

4

CTCDE

HCED

CD

EDFAsADH

AH

•••当H点在线段AB的延长线上时，

x

3

•BH

34

BH

当H点在线段AB上时，x

3

•

•-BH

49

34

BH

x

②过点D作DGIIAB,交BC于点G

DGCGCD1小

•••DG

2,BG

2

ABBCAC2

tD是AC的中点，AC6,•ADCD

9

x

9

7.

解：

（1）①证明：

T/ABP=180°-/A—/APB,/DPC=180°-/BPC—/APB,

/BPC=ZA,：

./ABP=ZDPC.

/A=ZD.「.△ABPs^DPC.

在梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD,

ABPD25x

②解：

设AP=x,贝UDP=5-乂，由厶ABPs^DPC，得ABID，即-一

APDCx2

解得Xi=1,X2=4,贝UAP的长为1或4.

8.证明：

（1）过点M作MGAD交AD于G

•/AM//DC•••AMBC•/B90,AB8

AB48

•-tanAMBtanC••BM6

BM3BM

•/AD//BC,AB//MG•AG=BM=6

•/AD=12

•-AG=GD•

••AGM也

DGM•

•AM=DM

⑵•/FEM

AMB

AMB

AFE•

AEM

s

EFM•

AM

EM

EM

FM

10

82

（x6）2

•AM62

8210

2

EM..8

（x-6）2

8

•,82

（x

6）2

y

126

•y10x5x10定义域为：

0x12

⑶•/EFMMAEAEFFEM•EM工FM

•••若EFM为等腰三角形，则EF=EM或EF=FM

1当EF=EM时,12-X=10「.x=2

2当EF=FM时•••FMEFEMMAE•AE=EM•12-x82（x-6）2•x11

3

9.证明：

（1）•••在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC，•/B=ZC

EBBP

BE=2,BP=2,CP=4,CD=4,•,•△BEPCPD

CPCD

⑵①EPF

BBEP

EPF

FPC又/EPF=/C=/B,「.

BEP

FPC

EB

BP

2

x

•••△BEPCPF,

CP

CF

6x

y4

•y—x23x

4（2

x

4）

2

②当点F在线段CD的延长线上时

/FDM=

:

/C=/B,

BEP

FPC

FMD,

•••△BEPs^DMF

9

DF3

y

SDMF

SBEP，…

—

又y1

4

BP2

x

x23x4

2,•x

3x80,

△v0,

•此方程无实数根，

2

9

故当点F在线段CD的延长线上时，不存在点P使SDMF-S

4

当点F在线段CD上时，同理△BEPs\DMF

S

DMF

9•

—BEP，…

4

DF

3

y

又•••△BEPCPF•

EB

BP

2x

BP

2

x

CP

CF，

6x4y

1

--y—

2

x23x4,

2

•x

9x

8

0,解得X’1,x2

8

由于x2

8不合题意舍去，•

x

1,

即BP=1

9

所以当Sdmf-Sbep时，BP的长为1.

4

10.解：

（CMFBEM,△MEFBEM.

证明如下：

在梯形ABCD中，TAD//BC,AB=CD,二/B=ZC.

又•••/EMF+/FMC=ZB+/BEM，/EMF=/B,「./FMC=ZBEM.

•△CMFBEM.•

.EMBE

FMCM.

EM

又•••CM=BM,•

FM

BE

.•••/EMF=/B,「.AMEFBEM.

BM

⑵二CMFBEM,

BECM

BMCF

•/BM=CM=2,