高考数学数列文科试题汇编.docx

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高考数学数列文科试题汇编

2014年高考数学数列文科试题汇编

数学

D单元数列

D1数列的概念与简单表示法

17．、、2014•江西卷]已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－n2，n∈N*.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明：

对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．

17．解：

（1）由Sn＝3n2－n2，得a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，a1也符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2.

（2）证明：

要使得a1，an，am成等比数列，只需要a2n＝a1•am，即（3n－2）2＝1•（3m－2），即m＝3n2－4n＋2.而此时m∈N*，且m＞n，

所以对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．

18．、2014•江西卷]已知函数f（x）＝（4x2＋4ax＋a2）x，其中a

（1）当a＝－4时，求f（x）的单调递增区间；

（2）若f（x）在区间1，4]上的最小值为8，求a的值．

18．解：

（1）当a＝－4时，由f′（x）＝2（5x－2）（x－2）x＝0得x＝25或x＝2，由f′（x）＞0得x∈0，25或x∈（2，＋∞）．

故函数f（x）的单调递增区间为0，25和（2，＋∞）．

（2）因为f′（x）＝（10x＋a）（2x＋a）2x，a＜0，

所以由f′（x）＝0得x＝－a10或x＝－a2.

当x∈0，－a10时，f（x）单调递增；当x∈－a10，－a2时，f（x）单调递减；当x∈－a2，＋∞时，f（x）单调递增．

易知f（x）＝（2x＋a）2x≥0，且f－a2＝0.

①当－a2≤1，即－2≤a＜0时，f（x）在1，4]上的最小值为f

（1），由f

（1）＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±22－2，均不符合题意．

②当1③当－a2＞4时，即a＜－8时，f（x）在1，4]上的最小值可能在x＝1或x＝4时取得，而f

（1）≠8，由f（4）＝2（64＋16a＋a2）＝8得a＝－10或a＝－6（舍去）．

当a＝－10时，f（x）在（1，4）上单调递减，f（x）在1，4]上的最小值为f（4）＝8，符合题意．

综上有，a＝－10.

16．2014•新课标全国卷Ⅱ]数列{an}满足an＋1＝11－an，a8＝2，则a1＝________．

16.12

D2等差数列及等差数列前n项和

2．2014•重庆卷]在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝（）

A．5B．8C．10D．14

2．B

5．2014•天津卷]设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝（）

A．2B．－2

C.12D．－12

5．D

15．、2014•北京卷]已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）求数列{bn}的前n项和．

15．解：

（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得

d＝a4－a13＝12－33＝3.

所以an＝a1＋（n－1）d＝3n（n＝1，2，…）．

设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得

q3＝b4－a4b1－a1＝20－124－3＝8，解得q＝2.

所以bn－an＝（b1－a1）qn－1＝2n－1.

从而bn＝3n＋2n－1（n＝1，2，…）．

（2）由

（1）知bn＝3n＋2n－1（n＝1，2，…）．

数列{3n}的前n项和为32n（n＋1），数列{2n－1}的前n项和为1×1－2n1－2＝2n－1，

所以，数列{bn}的前n项和为32n（n＋1）＋2n－1.

17．，2014•福建卷]在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.

（1）求an；

（2）设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.

17．解：

（1）设{an}的公比为q，依题意得

a1q＝3，a1q4＝81，解得a1＝1，q＝3.

因此，an＝3n－1.

（2）因为bn＝log3an＝n－1，

所以数列{bn}的前n项和Sn＝n（b1＋bn）2＝n2－n2.

19．、、2014•湖北卷]已知等差数列{an}满足：

a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式．

（2）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？

若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

19．解：

（1）设数列{an}的公差为d，

依题意知，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有（2＋d）2＝2（2＋4d），

化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4，

当d＝0时，an＝2；

当d＝4时，an＝2＋（n－1）•4＝4n－2，

从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.

（2）当an＝2时，Sn＝2n，显然2n此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立．

当an＝4n－2时，Sn＝n2＋（4n－2）]2＝2n2.

令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，

解得n>40或n此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.

综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；

当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.

16．、2014•湖南卷]已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n2，n∈N*.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝2an＋（－1）nan，求数列{bn}的前2n项和．

16.解：

（1）当n＝1时，a1＝S1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n2－（n－1）2＋（n－1）2＝n.

故数列{an}的通项公式为an＝n.

（2）由

（1）知，bn＝2n＋（－1）nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝（21＋22＋…＋22n）＋（－1＋2－3＋4－…＋2n）．

记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，

则A＝2（1－22n）1－2＝22n＋1－2，

B＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋…＋－（2n－1）＋2n]＝n.

故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.

13．2014•江西卷]在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．

13.－1，－78

9．2014•辽宁卷]设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则（）

A．d＞0B．d＜0

C．a1d＞0D．a1d＜0

9．D

17．2014•全国卷]数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.

（1）设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；

（2）求{an}的通项公式．

17．解：

（1）由an＋2＝2an＋1－an＋2，得

an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，

即bn＋1＝bn＋2.

又b1＝a2－a1＝1，

所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．

（2）由

（1）得bn＝1＋2（n－1），

即an＋1－an＝2n－1.

于是

所以an＋1－a1＝n2，

即an＋1＝n2＋a1.

又a1＝1，所以{an}的通项公式an＝n2－2n＋2.

5．2014•新课标全国卷Ⅱ]等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝（）

A．n（n＋1）B．n（n－1）

C.n（n＋1）2D.n（n－1）2

5．A

17．、2014•全国新课标卷Ⅰ]已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求数列an2n的前n项和．

17．解：

（1）方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3.

由题意得a2＝2，a4＝3.

设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，

故d＝12，从而得a1＝32.

所以{an}的通项公式为an＝12n＋1.

（2）设an2n的前n项和为Sn，由

（1）知an2n＝n＋22n＋1，

则Sn＝322＋423＋…＋n＋12n＋n＋22n＋1，

12Sn＝323＋424＋…＋n＋12n＋1＋n＋22n＋2，

两式相减得

12Sn＝34＋123＋…＋12n＋1－n＋22n＋2＝34＋141－12n－1－n＋22n＋2，所以Sn＝2－n＋42n＋1.

19．，，2014•山东卷]在等差数列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝an（n＋1）2，记Tm＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋（－1）nbn，求Tn.

19．解：

（1）由题意知，（a1＋d）2＝a1（a1＋3d），

即（a1＋2）2＝a1（a1＋6），解得a1＝2.

故数列{an}的通项公式为an＝2n.

（2）由题意知，bn＝an（n＋1）2＝n（n＋1），

所以Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋（－1）nn×（n＋1）．

因为bn＋1－bn＝2（n＋1），

所以当n为偶数时，

Tn＝（－b1＋b2）＋（－b3＋b4）＋…＋（－bn－1＋bn）

＝4＋8＋12＋…＋2n

＝n2（4＋2n）2

＝n（n＋2）2，

当n为奇数时，

Tn＝Tn－1＋（－bn）

＝（n－1）（n＋1）2－n（n＋1）

＝－（n＋1）22.

所以Tn＝－（n＋1）22，n为奇数，n（n＋2）2，n为偶数.

16．、、2014•陕西卷]△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

（1）若a，b，c成等差数列，证明：

sinA＋sinC＝2sin（A＋C）；

（2）若a，b，c成等比数列，且c＝2a，求cosB的值．

16．解：

（1）∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.

∵sinB＝sinπ－（A＋C）]＝sin（A＋C），

∴sinA＋sinC＝2sin（A＋C）．

（2）由题设有b2＝ac，c＝2a，

∴b＝2a.

由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a24a2＝34.

19．、、2014•四川卷]设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）＝2x的图像上（n∈N*）．

（1）证明：

数列{bn}为等比数列；

（2）若a1＝1，函数f（x）的图像在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2－1ln2，求数列{anb2n}的前n项和Sn.

19．解：

（1）证明：

由已知得，bn＝2an＞0，

当n≥1时，bn＋1bn＝2an＋1－an＝2d.

故数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列．

（2）函数f（x）＝2x在点（a2，b2）处的切线方程为y－2a2＝（2a2ln2）（x－a2），

其在x轴上的截距为a2－1ln2.

由题意知，a2－1ln2＝2－1ln2，

解得a2＝2，

所以d＝a2－a1＝1，an＝n，bn＝2n，anb2n＝n•4n.

于是，Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋（n－1）×4n－1＋n×4n，

4Sn＝1×42＋2×43＋…＋（n－1）×4n＋n×4n＋1，

因此，Sn－4Sn＝4＋42＋…＋4n－n•4n＋1＝4n＋1－43－n•4n＋1＝（1－3n）4n＋1－43，

所以，Sn＝（3n－1）4n＋1＋49.

19．2014•浙江卷]已知等差数列{an}的公差d＞0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2•S3＝36.

（1）求d及Sn；

（2）求m，k（m，k∈N*）的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.

19．解：

（1）由题意知（2a1＋d）（3a1＋3d）＝36，

将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.

因为d>0，所以d＝2.

从而an＝2n－1，Sn＝n2（n∈N*）．

（2）由

（1）得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝（2m＋k－1）（k＋1），

所以（2m＋k－1）（k＋1）＝65.

由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1>1，

故2m＋k－1＝13，k＋1＝5，所以m＝5，k＝4.

16．、2014•重庆卷]已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．

（1）求an及Sn；

（2）设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－（a4＋1）q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.

16．解：

（1）因为{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，所以

an＝a1＋（n－1）d＝2n－1.

故Sn＝1＋3＋…＋（2n－1）＝n（a1＋an）2＝n（1＋2n－1）2＝n2.

（2）由

（1）得a4＝7，S4＝16.因为q2－（a4＋1）q＋S4＝0，即q2－8q＋16＝0，

所以（q－4）2＝0，从而q＝4.

又因为b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比数列，

所以bn＝b1qn－1＝2×4n－1＝22n－1.

从而{bn}的前n项和Tn＝b1（1－qn）1－q＝23（4n－1）．

D3等比数列及等比数列前n项和

12．2014•安徽卷]如图13，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22，过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；….依此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________．

图13

12.14

17．，2014•福建卷]在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.

（1）求an；

（2）设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.

17．解：

（1）设{an}的公比为q，依题意得

a1q＝3，a1q4＝81，解得a1＝1，q＝3.

因此，an＝3n－1.

（2）因为bn＝log3an＝n－1，

所以数列{bn}的前n项和Sn＝n（b1＋bn）2＝n2－n2.

13．、2014•广东卷]等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．

13．5

19．、、2014•湖北卷]已知等差数列{an}满足：

a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式．

（2）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？

若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

19．解：

（1）设数列{an}的公差为d，

依题意知，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有（2＋d）2＝2（2＋4d），

化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4，

当d＝0时，an＝2；

当d＝4时，an＝2＋（n－1）•4＝4n－2，

从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.

（2）当an＝2时，Sn＝2n，显然2n此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立．

当an＝4n－2时，Sn＝n2＋（4n－2）]2＝2n2.

令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，

解得n>40或n此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.

综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；

当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.

7．2014•江苏卷]在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．

7．4

17．、、2014•江西卷]已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－n2，n∈N*.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明：

对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．

17．解：

（1）由Sn＝3n2－n2，得a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，a1也符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2.

（2）证明：

要使得a1，an，am成等比数列，只需要a2n＝a1•am，即（3n－2）2＝1•（3m－2），即m＝3n2－4n＋2.而此时m∈N*，且m＞n，

所以对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．

18．、2014•江西卷]已知函数f（x）＝（4x2＋4ax＋a2）x，其中a

（1）当a＝－4时，求f（x）的单调递增区间；

（2）若f（x）在区间1，4]上的最小值为8，求a的值．

18．解：

（1）当a＝－4时，由f′（x）＝2（5x－2）（x－2）x＝0得x＝25或x＝2，由f′（x）＞0得x∈0，25或x∈（2，＋∞）．

故函数f（x）的单调递增区间为0，25和（2，＋∞）．

（2）因为f′（x）＝（10x＋a）（2x＋a）2x，a＜0，

所以由f′（x）＝0得x＝－a10或x＝－a2.

当x∈0，－a10时，f（x）单调递增；当x∈－a10，－a2时，f（x）单调递减；当x∈－a2，＋∞时，f（x）单调递增．

易知f（x）＝（2x＋a）2x≥0，且f－a2＝0.

①当－a2≤1，即－2≤a＜0时，f（x）在1，4]上的最小值为f

（1），由f

（1）＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±22－2，均不符合题意．

②当1③当－a2＞4时，即a＜－8时，f（x）在1，4]上的最小值可能在x＝1或x＝4时取得，而f

（1）≠8，由f（4）＝2（64＋16a＋a2）＝8得a＝－10或a＝－6（舍去）．

当a＝－10时，f（x）在（1，4）上单调递减，f（x）在1，4]上的最小值为f（4）＝8，符合题意．

综上有，a＝－10.

8．2014•全国卷]设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝（）

A．31B．32

C．63D．64

8．C解析]设等比数列{an}的首项为a，公比为q，易知q≠1，根据题意可得a（1－q2）1－q＝3，a（1－q4）1－q＝15，解得q2＝4，a1－q＝－1，所以S6＝a（1－q6）1－q＝（－1）（1－43）＝63.

5．2014•新课标全国卷Ⅱ]等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝（）

A．n（n＋1）B．n（n－1）

C.n（n＋1）2D.n（n－1）2

5．A解析]由题意，得a2，a2＋4，a2＋12成等比数列，即（a2＋4）2＝a2（a2＋12），解得a2＝4，即a1＝2，所以Sn＝2n＋n（n－1）2×2＝n（n＋1）．

19．，，2014•山东卷]在等差数列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝an（n＋1）2，记Tm＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋（－1）nbn，求Tn.

19．解：

（1）由题意知，（a1＋d）2＝a1（a1＋3d），

即（a1＋2）2＝a1（a1＋6），解得a1＝2.

故数列{an}的通项公式为an＝2n.

（2）由题意知，bn＝an（n＋1）2＝n（n＋1），

所以Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋（－1）nn×（n＋1）．

因为bn＋1－bn＝2（n＋1），

所以当n为偶数时，

Tn＝（－b1＋b2）＋（－b3＋b4）＋…＋（－bn－1＋bn）

＝4＋8＋12＋…＋2n

＝n2（4＋2n）2

＝n（n＋2）2，

当n为奇数时，

Tn＝Tn－1＋（－bn）

＝（n－1）（n＋1）2－n（n＋1）

＝－（n＋1）22.

所以Tn＝－（n＋1）22，n为奇数，n（n＋2）2，n为偶数.

16．、、2014•陕西卷]△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

（1）若a，b，c成等差数列，证明：

sinA＋sinC＝2sin（A＋C）；

（2）若a，b，c成等比数列，且c＝2a，求cosB的值．

16．解：

（1）∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.

∵sinB＝sinπ－（A＋C）]＝sin（A＋C），

∴sinA＋sinC＝2sin（A＋C）．

（2）由题设有b2＝ac，c＝2a，

∴b＝2a.

由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a24a2＝34.

20．、、2014•天津卷]已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．

（1）当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.

（2）设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：

若an＜bn，则s＜t.

20．解：

（1）当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2•2＋x3•22，xi∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．

（2）证明：

由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1，2，…，n及ans－t＝（a1－b1）＋（a2－b2）q＋…＋（an－1－bn－1）qn－2＋（an－bn）qn－1

≤（q－1）＋（q－1）q＋…＋（q－1）qn－2－qn－1

＝（q－1）（1－qn－1）1－q－qn－1

＝－1所以s16．、2014•重庆卷]已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．

（1）求an及Sn；

（2）设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－（a4＋1）q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.

16．解：

（1）因为{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，所以

an＝a1＋（n－1）d＝2n－1.

故Sn＝1＋3＋…＋（2n－1）＝n（a1＋an）2＝n（1＋2n－1）2＝n2.

（2）由

（1）得a4＝7，S4＝16.因为q2－（a4＋1）q＋S4＝0，即q2－8q＋16＝0，

所以（q－4）2＝0，从而q＝4.

又因为b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比数列，

所以bn＝b1qn－1＝2×4n－1＝22n－1.

从而{bn}的前n项和Tn＝b1（1－qn）1－q＝23（4n－1）．

D4数列求和

15．、2014•北京卷]已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）求数列{bn}的前n项和．

15．解：

（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得

d＝a4－a13＝12－33＝3.

所以an＝a1＋（n－1）d＝3n（n＝1，2，…）．

设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得

q3＝b4－a4b1－a1＝20－124－3＝8，解得q＝2.

所以bn－an＝（b1－a1）qn－1＝2n－1.

从而bn＝3n＋2n－1（n＝1，2，…）．

（2）由

（1）知bn＝3n＋2n－1（n＝1，2，…）．

数列{3n}的前n项和为32n（n＋1），数列{2n－1}的前n项和为1×1－2n1－2＝2n－1，

所以，数列{bn}的前n项和为32n（n＋1）＋2n－1.

16．、2014•湖南卷]已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n2，n∈N*.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝2an＋（－1）nan，求数列{bn}的前2n项和．

16.解：

（1）当n＝1时，a1＝S1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n2－（n－1）2＋（n－1）2＝n