广东省仲元中学等七校联合体届高三数学冲刺模拟试题理.docx
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广东省仲元中学等七校联合体届高三数学冲刺模拟试题理
广东省仲元中学等七校联合体2020届高三数学冲刺模拟试题理
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•
1.已知集合，，则（）
A.B.C.D.
2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.已知某种商品的广告费支出（单位：
万元）与销售额（单位：
万元）之间有如下表对应数
1
2
3
4
5
10
15
30
45
50
6万元广告费时，销售额为（）
D.等边三角形
据.根据表中数据可得回归方程，其中，据此估计，当投入万元
A.60B.63C.65D.69
4.给出下列说法：
1“”是“”的充分不必要条件；
2定义在上的偶函数的最大值为30；
3命题“，”的否定形式是“，”.其中正确说法的个数为
A.0B.1C.2D.3
5.已知分别是的内角的对边，若，则的形状为（）
A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形
6.在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线、所成角的余弦值为（）
A.B.C.D.
7.函数的大致图像是（）
8.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐。
问水深，葭各几何？
”。
其意思是：
有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？
其中一丈等于十尺，如图。
若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的
概率为（）
A.
B.
C.
D.
9.已知右图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示则该几何体的棱的长度中，最大的是（）
A.B.C.D.
10.若，二项式的展开式中，项的系数为20,则定积分的最小值为（）
A.0B.1C.2D.3
11.已知椭圆、双曲线均是以直角三角形的斜边的两端点为焦点的曲线，且都过点，它们的
离心率分别为，则（）
A.B.C.D.
12.已知函数，当时，的取值范围为，则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，且，贝U.
14.已知定义在上的函数满足：
函数的图象关于点对称，且时恒有，当时，，求.
15.已知关于实数的不等式组构成的平面区域为，若使得恒成立，则实数的最小值
是.
16.在中，内角的对边分别为，且，的外接圆半径为1,.若边上一点满足，且，则的面积
为.
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分）
已知数列为正项等比数列，满足，且构成等差数列，数列满足
（I）求数列，的通项公式;
（n）若数列的前项和为，数列满足，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，且，平面平面，，点为线段的中点，点是线段上的一个
动点.
（I）求证：
平面平面；
（n）设二面角的平面角为，试判断在线段上是否存在这样的点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由•
19.随着节能减排意识深入人心以及共享单车在饶城的大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车。
为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：
每周使用
次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及以上
男
4
3
3
7
8
30
女
6
5
4
4
6
20
合计
10
8
7
11
14
50
（1）如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”，请完成列表（见答题卡）
并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关?
（2）每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，视频率为概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取4名用户.
1求抽取的4名用户中，既有男生“骑行达人”又有女“骑行达人”的概率；
2为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的女“骑行达人”每人奖励500元，记奖励总金
额为，求的分布列及数学期望.
附表及公式：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20.本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，焦点分别为，点是椭圆上的点，面积的最大值是.
（I）求椭圆的方程；
（n）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若判定四边形的面积是否为定值？
若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.
21.设函数（为常数，为自然对数的底数）.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在内存在三个极值点，求实数的取值范围.
（二）选考题：
共10分.考生从第22、23题中任选一题做答，如果多做•则按所做的第一题
记分•作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4-4:
坐标系与参数方程选讲
已知曲线的
在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系,极坐标方程为，直线的极坐标方程为.
（I）写出曲线和直线的直角坐标方程；
（n）设直线过点与曲线交于不同两点，的中点为，与的交点为，求.
23.（本题满分10分）选修4-5;不等式选讲
若关于的不等式在实数范围内有解.
（I）求实数的取值范围；
（n）若实数的最大值为，且正实数满足，求证:
七校联合体2020届高三理科数学交流试题
广东仲元中学高三理数备课组
、选择题:
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
B
C
A
D
A
C
B
C
B
C
、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）
17.解：
（I）设等比数列的公比为，由题意，得
解得或（舍）2分
又所以4分
6分
（n）•7分
•••,9分
•••12分
18.解：
（I）四边形是正方形，•.
•••平面平面，•平面•
•••平面，••
•••，点为线段的中点，••
又•••，•••平面•
又•••平面，•平面平面•5分
（n）由（I）知平面，•••，•••平面•
在平面内过作交于点，
•,故，，两两垂直，以为原点，
以，，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系
因为，，••
•••平面，则，，
又为的中点，，7分
假设在线段上存在这样的点，使得，设，，，
设平面的法向量为，则
•令，则,
贝U9分
平面，平面的一个法向量，，则••
，解得，•12分
19.
（1）由图中表格可得列联表如下：
不喜欢骑行共享单车
喜欢骑行共享单车
合计
男
10
45
55
女
15
30
45
合计
25
75
100
将列联表中的数据代入公式计算得
所以在犯错误概率不超过的前提下，不能认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关.
（2）视频率为概率，在我市“骑行达人”中，随机抽取名用户，该用户为男“骑行达人”的
概率为，女“骑行达人”的概率为.
①抽取的名用户中，既有男“骑行达人”，又有女“骑行达人”的概率为
②记抽出的女“骑行达人”人数为，则•由题意得,
（）,的分布列为
0
1
2
3
4
的分布列为
0
500
1000
1500
2000
所以，
所以的数学期望元.
20.解：
（1）由解得得椭圆的方程为
4分
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，此时四边形的面积为.……5分
当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程
7分
由得
因为点在曲线上，所以有整理得……10分
由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为
…11分
由得，故四边形的面积是定值，其定值为•…12分
21.
（1）函数的定义域为..
由可得，所以当时，；当时，.故的单调递减区间为，单调递增区间为
（2）由
（1）知，当时，函数在内单调递减，在内单调递增，故在内仅存在一个极值点；•••6
分当时，令，，依题函数与函数，的图象有两个横坐标不等于2的交点.，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增；
而所以当即时，存在使得，且当时，当，当时，当时，此时存在极小值点和极大值点；同理，当即时，存在使得，此时存在极小值点和极大值点.
综上，函数在内存在三个极值点时，实数的取值范围为
22.（I）曲线的直角坐标方程为：
；即
的直角坐标方程为：
.……………5分
（n）直线的参数方程（为参数），将其代入曲线的普通方程并整理得，
设两点的参数分别为，则6分
因为为的中点，故点的参数为，7分
设点的参数分别为，把代入整理得8分
所以10分
23.解：
（1）因为所以
又因为
所以………5分
（2）由
（1）可知，，则
方法一：
方法
：
利用柯西不等式
10分
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