导数的几何意义Word文件下载.docx
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′（0必存在．
（）
fx）
（3）若f′（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率不存在．（）
（4）直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．（）
【解析】根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在（x0，y0）处有导数，
则切线一定存在，但反之不一定成立，故
（1）对，
（2）错，（3）对，又根据切线的定
义知直线与曲线相切时其交点可能有多个，故（4）错．
【答案】
（1）√
（2）×
（3）√（4）×
2．已知函数y＝f（x）在点（2,1）处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2等
于（）
A．1
B．－1
C．－3
D．3
【解析】
由题意知f′
（2）＝3，即y′|x2＝3.
＝
【答案】
D
教材整理2
导函数
阅读教材P8“例3”～P9部分，完成下列问题．对于函数y＝f（x），当x＝x0
时，f′（x0是一个确定的数，当
x
变化时，′（便是
的一个函数，我们称它为
f（x）
）
fx）
的导函数（简称为导数），即f′（x）＝y′＝______________.
lim
fx＋x－fx
x→0
判断（正确的打“√”，错误的打“×
（1）函数f（x）的导函数f′（x）是以x为自变量，以x的导数值为函数值的函
数．（）
′（0
或
′|＝0
是函数
f（x）在点x＝x
0处的导数．（
（2）fx）（
yxx）
0处的函数值．（
（3）fx）（
f′（x）在点x＝x
由导函数的定义知，
（1）
（2）（3）正确．
2
【答案】
（1）√
（2）√（3）√
[小组合作型]
求曲线在某点处切线的方
程
已知曲线C：
y＝x3.
（1）求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
（2）第
（1）小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
【精彩点拨】
（1）先求切点坐标，再求y′|x＝1，最后利用导数的几何意义写
出切线方程．
（2）将切线方程与曲线C的方程联立求解．
【自主解答】
（1）将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P（1,1）．
y
y′|x＝1＝lim
x→0x
1＋x3－1
＝lim
x→0x
＝lim[3＋3x＋x2]＝3.
∴k＝y′|x＝1＝3.
∴曲线在点P（1,1）处的切线方程为y－1＝3（x－1），即3x－y－2＝0.
y＝3x－2，
（2）由y＝x3，
x＝1，x＝－2，
解得或
y＝1y＝－8，
从而求得公共点为P（1,1）或M（－2，－8），
即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点（－2，－8）．
1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：
（1）求出函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）；
3
（2）写出切线方程，即y－y0＝f′（x0）·
（x－x0）．
π
特别注意：
若在点（x0，y0）处切线的倾斜角为2，此时所求的切线平行于y轴，
所以直线的切线方程为x＝x0.
2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．
[再练一题]
1．若函数f（x）在点A（1,2）处的导数是－1，那么过点A的切线方程是
__________.
【导学号：
62952006】
【解析】切线的斜率为k＝－1.
∴点A（1,2）处的切线方程为y－2＝－（x－1），
即x＋y－3＝0.
【答案】x＋y－3＝0
求切点坐标
已知抛物线y＝2x2＋1.求：
（1）抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°
？
（2）抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?
【精彩点拨】设点的坐标→求出在该点处的导数→利用条件建立方程
→求出点的坐标
【自主解答】设切点的坐标为（x0，y0），则
222
y＝2（x0＋x）＋1－2x0－1＝4x0·
Δx＋2（x）.
∴x＝4x0＋2x.
∴f′（x0）＝lim（4x0＋2x）＝4x0.
（1）∵抛物线的切线的倾斜角为45°
，
∴斜率为tan45＝°
1，
9
即f′（x0＝
4x
0＝1，得x0＝，该点为
8.
4
（2）∵抛物线的切线平行于直线
4x－y－2＝0，
∴斜率为4，
即f′（x0）＝4x0＝4，得x0＝1，该点为（1,3）．
1．本题关键是由条件得到直线的斜率，从而得知函数在某点处的导数，进
而求出切点的横坐标．
2．根据切线斜率求切点坐标的步骤
（1）设切点坐标（x0，y0）；
（2）求导函数f′（x）；
（3）求切线的斜率f′（x0）；
（4）由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
（5）x0代入f（x）求y0得切点坐标．
2．上例中条件不变，求抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?
【解】∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
∴抛物线的切线的斜率为8.
由上例知f′（x0）＝4x0＝8，∴x0＝2，y0＝9.
即所求点的坐标为（2,9）．
[探究共研型]
求曲线过某点的切线方
探究1曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点．
【提示】不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．
探究2曲线过点P的切线是否一定以点P为切点？
【提示】当点P在曲线上时，点P可能是切点，也可能不是切点；
当点P不在曲线上时，点P一定不是切点．
已知曲线f（x）＝x.
（1）求曲线过点A（1,0）的切线方程；
5
（2）求满足斜率为－3的曲线的切线方程．
【精彩点拨】
（1）点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A（1,0）
代入求出切点坐标，进而求出切线方程．
（2）设出切点坐标，由该点斜率为－3，求出切点，进而求出切线方程．
【自主解答】
x＋x－x
（1）f′（x）＝lim
－1
x＋xx
＝－2
x.
设过点A（1,0）的切线的切点为Px0，x0
①
，即该切线的斜率为
则f′（x0＝－2
k＝－
x0
.
因为点A（1,0），Px0，x0在切线上，
－0
②
所以
＝－
x0－1
解得x0＝2.故切线的斜率k＝－4.
故曲线过点A（1,0）的切线方程为y＝－4（x－1），
即4x＋y－4＝0.
11
（2）设斜率为－3的切线的切点为Qa，a，
11
由
（1）知，k＝f′（a）＝－a2＝－3，得a＝±
3.
3，－
所以切点坐标为
3，
或－
3.
故满足斜率为－3的曲线的切线方程为
y－
3＝－
3（x－
3）或y＋
3（x＋
3），
即x＋3y－2
3＝0或x＋3y＋23＝0.
6
1．求曲线“过某点”的切线方程的步骤
（1）设“过某点”的切线l与曲线相切的切点坐标为（x0，y0）．
（2）用“在点（x
0，y0处”的切线求法，写出切线
l
的方程．
（3）利用切线“过某点”，其坐标满足切线方程，求出
x0与y0.
（4）将（x0，y0）代入
（2）中的切线l化简即求出“过某点”的切线方程．
2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，
根据点斜式写出切线方程．
3．求曲线y＝f（x）＝x2＋1过点P（1,0）的切线方程．
【解】设切点为Q（a，a2＋1），fa＋x
－
fa
＋
2＋1－a2＋1
＝2a
＝ax
＋x，当
x趋于0
时，（2a＋x）趋于2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，
a2＋1－0
＝2a，解得a＝1±
2，所求的切线方程为
y＝（2＋2
2）x－（2＋2
2）或
a－1
y＝（2－2
2）x－（2－2
2）．
0，f（x0
处的切线方程为
2x
＋＝，则
1．若曲线y＝f（x）在点（x））
10（）
A．f′（x0）＞0B．f′（x0）＜0
C．f′（x0）＝0D．f′（x0）不存在
【解析】由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，所以A正确．
【答案】A
2．曲线y＝2x－2
在点x＝1处的切线的倾斜角为（）
A．30°
B．45°
C．135°
D．165°
∵y＝
2x－2，
7
2－2－
－2
∴y′＝lim
2x＋x
x2＋x·
Δx
x＝
x.
→
x0
∴y′x＝1＝1，
∴切线的斜率为1，倾斜角为45°
【答案】B
．曲线
2在点（－2，－1）处的切线方程为________．
f′（－2）＝lim
f－2＋x－f－2
－2＋x＋1
－2＋
∴切线方程为y＋1＝－
2（x＋2），
即x＋2y＋4＝0.
【答案】x＋2y＋4＝0
4．已知二次函数y＝f（x）的图象如图1-1-6所示，则y＝f（x）在A，B两点处的导数f′（a）与f′（b）的大小关系为：
f′（a）________f′（b）（填“＜”或“＞”）．
图1-1-6
【解析】f′（a）与f′（b）分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，
由图象可得f′（a）＞f′（b）．
【答案】＞
5．已知直线y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值.
8
【解】
设直线l与曲线相切于点P（x0，y0，则
′（＝
x＋x3－2x＋x2＋3－x3－2x2＋3
＝3x2－4x.
由导数的几何意义，得
k＝f′（x＝
2－4x＝4，
0）
3x00
解得x0＝－3或x0＝2，
249
∴切点坐标为－3，27或（2,3）．
当切点为－2，49
时，有
49＝4×
－2
＋a，
27
∴a＝
121
27.
当切点为（2,3）时，有3＝4×
2＋a，
∴a＝－5，
因此切点坐标为－3，27或（2,3），
a的值为27或－5.
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