第十七章勾股定理教学设计.docx

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第十七章勾股定理教学设计

第十七章勾股定理

17.1勾股定理

（1）

一、教学内容及分析

（一）教学内容

勾股定理的探究、证明及简单应用。

（二）内容分析

本节课的内容勾股定理，指的是：

如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么

．理解他的关键是直角三角形三边之间的数量关系．在直角三角形中，已知任意两边长，就可以求出第三边长．学生已经学过直角三角形的性质。

本节课的内容勾股定理是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探探索、发现和证明的过程．证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，教学中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得定理的证明。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：

探索并证明勾股定理．

二、教学目标及分析

（一）教学目标

1．经历勾股定理的探究过程．了解关于勾股定理的文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感．

2.能用勾股定理解决一些简单问题．

（二）目标分析

（1）学生通过观察直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系，归纳并合理地用数学语言表示勾股定理的结论．理解赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路，能通过割补法构造图形证明勾股定理．了解勾股定理相关的史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就．

（2）学生能运用勾股定理进行简单的计算，关键是已知直角三角形的两边长能求第三条边的长度．

三、问题诊断分析

勾股定理是反映直角三角形三边关系的一个特殊的结论．在正方形网格中比较容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之间的关系．但要从等腰直角三角形过渡到网格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，学生有较大困难．学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，解决问题的关键是要想到用合理的割补方法求以斜边为边的正方形的面积．因此，在教学中需要先引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考没有网格背景下的正方形的面积关系，再将这种关系表示成边长之间的关系，这有利于学生自然合理地发现和证明勾股定理．本节课的教学难点是：

勾股定理的探究和证明．

4、教学支持条件

在本节课的教学中,准备使用多媒体教学.因为使用PPT可以快速的展示出学生所要思考的问题及例题等,从而节省时间,给学生更多时间思考本节课的内容.

五、教学过程

问题一:

什么是勾股定理？

设计意图：

通过此问题让学生清楚本节课的重点就是勾股定理，并明白勾股定理：

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么

，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

问题1：

填表：

若小方格的边长为1.并思考：

正方形A、B、C的面积有什么关系？

师生活动：

让学生填完表格后，把每个小正方形的面积用字母表示出来，并让学生观察其中的关系。

设计意图：

从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，对等腰直角三角形边长关系进行初步的一般化．

问题2：

猜想a、b、c之间的关系？

通过演算，学生自己发现三边的关系。

问题3：

任意三边的直角三角形也成立吗？

请验证。

设计意图：

从网格验证到脱离网格，通过割补构造图形和计算推导出一般结论

最后归纳总结：

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么

，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

最后学生归纳总结：

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么

，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

例1画一个直角三角形ABC,AC=3cm,BC=4cm,它的两直角边分别是，量一量它的斜边AB是多少厘米？

算一算，你量的结果对吗？

师生活动：

学生操作，教师个别指导．

设计意图：

通过运算，培养学生的运算能力并正确运用勾股定理解决直角三角形的边长问题．通过测量进一步验证勾股定理所得结论的正确性。

变式练习：

在直角三角形中，各边的长如图，求出未知边的长度．

师生活动　学生计算，教师检验．

设计意图：

勾股定理是通过构造图形法通过面积关系进行证明的．所以勾股定理本质上是反映面积关系的．如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.通过对等式变形，可以得出直角三角形三边之间的关系:

在直角三角形中，已知两边，求第三边，应用勾股定理求解，也可建立方程解决问题，渗透方程思想．

例2　已知：

四边形ABCD中，∠DAB＝∠DBC＝90º,AD＝3，AB＝4，BC＝12

求：

DC的长。

解∵∠DAB＝90º

∴在Rt△ABD中，

BD2＝AD2＋AB2＝32＋42＝25

∴BD＝5同理可得DC＝13

设计意图：

让学生体会勾股定理的应用。

六、课堂小结

1.这节课我们学习了哪些知识？

2．勾股定理在什么三角形中可以使用。

七、作业布置

完成课本26页第1、2题。

17.1勾股定理

（2）

--勾股定理的应用

一、教学内容及分析

（一）教学内容

勾股定理的应用。

（二）内容分析

勾股定理在教学中有非常重要的地位，定理本身也有重要的实际应用．根据勾股定理，已知两直角边的长

，就可以求出斜边

的长．即

，根据算术平方根的意义，得到

，这样就得出了斜边的长．由勾股定理还可以得到，

，

，类似地，我们得到

．由此可知，已知斜边和一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长．也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长．教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决问题，并运用定理证明了斜边和两条直角边对应相等的两个直角三角形全等．本节课的教学重点：

运用勾股定理解决简单的实际应用问题．

二、教学目标及分析

（一）教学目标

（1）在探索并证明勾股定理的基础上，联系实际，归纳抽象，应用勾股定理解决实际问题；

（2）通过观察、分析、讨论、归纳的过程，提高学生的逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力；

（二）目标分析

（1）学生能通过独立思考，将实际问题抽象成数学问题；

（2）学生能遵循解决数学问题的一般方法，并在解题过程中自觉地运用数形结合的思想和分类讨论的思想．

三、问题诊断分析

本节内容主要是在前面探究和证明勾股定理的基础上，对勾股定理进行简单的应用．由于目前所掌握的知识工具很有限，因此只能解决一些较简单的实际应用题．在应用勾股定理解题前，可以带领学生回顾三角形的相关知识，包括面积公式，特殊三角形的性质等；特别是直角三角形中，两锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半等重要结论，都是结合勾股定理解决应用问题的重要依据．教学时，应引导学生注意构造勾股定理的使用条件，在应用定理时关注数学结合和分类讨论的思想，并将实际问题转化为数学问题

四、教学条件支持

在本节课的教学中,准备使用多媒体教学.因为使用PPT可以快速的展示出学生所要思考的问题及例题等,从而节省时间,给学生更多时间思考本节课的内容.

五、教学过程

问题一：

在

中，

，

（1）已知

，求

；

（2）已知

，求

； （3）已知

，求

；（4）已知

求

设计意图：

通过本题，体会勾股定理，并让学生知道做这种题的思路。

 师生活动　学生总结，师生共同补充、完善。

师生共同总结出：

（1）使用定理时，应先画好图形，应用数形结合的思想解题；

（2）理清边之间的关系，已知两直角边求斜边，直接用勾股定理，结合算术平方根的意义求出斜边；已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的变形式 

变式训练：

在

中，已知两边的长分别为3,4，求第三边的长。

4.巩固概念

例1：

已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边的长．

师生活动：

学生思考，教师指导

【设计意图】训练学生思考问题要全面，应破除思维定势，正确分类讨论．本题容易习惯性认为3、4、5是一组勾股数，而忽略了4是斜边的可能性

问题二：

一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？

为什么？

【设计意图】

（1）本题可以转化为求门框的对角线的长，也就是已知两直角边求斜边，从而用勾股定理解决。

（2）细化问题，引导学生将实际问题转化为数学问题，并在转化的过程中，能对解题过程有所估计，构造定理成立的条件时能有的放矢。

师生活动：

学生独立思考后分组讨论；并让请分析比较木板的尺寸和门的尺寸，如何判断木板能不能直接从门内通过？

（1）      如果木板长为3m，宽为0．8m，能否直接从门内通过？

（2）      如果木板长为3m，宽为1．5m，能否直接从门内通过？

追问木板的短边比门的高还要长，是否一定不能通过？

还可以分析比较哪两个长度？

再追问这两个长度一个是木板的短边长，另一个是长方形的对角线的长，能求吗？

如何求？

例：

如图,一个2.6米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.4米,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?

【设计意图】巩固性练习，本题涉及已知斜边和一直角边求另一直角边，也用勾股定理解决． 

七、课堂小结

1.勾股定理是用来求什么的？

2.当直角边和斜边不确定时，怎么办？

八、作业布置

教科书第26页练习第1，2题；教科书第28页习题17．1第3，4题

17.2勾股定理的逆定理

一、教学内容及分析

（一）教学内容

勾股定理的逆定理证明及简单应用；原命题、逆命题的概念及相互关系．

（二）内容分析

本节课的内容勾股定理的逆定理指的是：

如果三角形三边长

、b、c满足

，那么这个三角形是直角三角形。

二原命题与逆命题指的是把勾股定理的题设和结论交换，可以得到它的逆命题。

本节内容证明了这个逆命题是个真命题。

勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来作判断。

学习勾股定理的逆定理，对拓展学生思维，体会利用计算证明几何结论的数学方法有很大的意义，本课的教学难点是证明勾股定理的逆定理。

二、教学目标及分析

（一）教学目标

（1）理解勾股定理的逆定理．

（2）了解互逆命题、互逆定理

（二）目标分析

1、达成目标

（1）的标志是学生经历“实验测量－猜想－论证”的定理探究过程后，能应用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是直角三角形；

2、目标

（2）能根据原命题写出它的逆命题，并了解原命题为真命题时，逆命题不一定为真命。

三、问题诊断分析

勾股定理的逆定理的证明是先作一个合适的直角三角形，再证明有已知条件的三角形和直角三角形全等等，这种证法学生不容易想到，难以理解，在教学时应该注意启发引导。

本课的教学难点是证明勾股定理的逆定理。

四、教学条件支持

在本节课的教学中,准备使用多媒体教学.因为使用PPT可以快速的展示出学生所要思考的问题及例题等,从而节省时间,给学生更多时间思考本节课的内容.

五、教学过程

问题一：

勾股定理的逆定理是什么？

设计意图：

通过学生们动手实验，初步得出勾股定理的逆定理，在通过一些列的验证证明勾股定理的逆定理。

问题1：

实验操作：

画一画，下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长（单位：

cm）画三角形：

①2．5，6，6．5；②4，7．5，8．5．

量一量：

用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数．

想一想：

判断这些三角形的形状，提出猜想．

师生活动：

教师引导学生画三角形，并计算三边的数量关系：

，

．接着度量三角形最大角的度数，发现最大角为900，并猜想：

如果三角形的三边长

、b、c满足

，那么这个三角形是直角三角形．把勾股定理记着命题1，猜想的结论作为命题2．

【设计意图】让学生经历测量、计算、归纳和猜想的过程，了解几何知识的探索过程．

问题2：

你能证明勾股定理的逆定理吗？

师生活动：

教师引导学生要证明一个命题是真命题，首先要分析命题的题设及结论，让学生独立画出图形，写出已知求证．

已知，如图，△ABC中，AB＝c，AC=b，BC＝

，且

，

 求证：

∠C＝900

【设计意图】引导学生用图形和数学符号语言表示文字命题．

追问：

要证明△ABC是直角三角形，只要证明∠C＝900，由已知能直接证吗？

师生活动：

教师引导，如果能证明△ABC与一个以

、b为直角边长的Rt△A/B/C/全等。

那么就证明了△ABC是直角三角形，为此，可以先构造Rt△A/B/C/，使A/C/=b，B/C/＝

，∠C/＝900，再让学生小组讨论得出证明思路，证明了猜想的正确性．教师适时板书出规范的证明过程．

证明：

作直角三角形

使

，

 由勾股定理得

，

 ∴

 ∴

 ∴

是直角三角形．

教师在此基础上进一步指出，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们把上面所形成的这个定理叫做勾股定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理．

【设计意图】引导学生构造直角三角形，让学生体会这种证明思路的合理性，帮助学生突破难点．

六、目标检测

1．以长度分别为下列各组数的线段为边，能构成直角三角形的有哪些？

（1）1，2，3  

（2）6，8，14 （3）2，1．5，2．5 （4）2，

，

． 

2．说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题是真命题吗？

（1）两条直线平行，内错角相等；

（2）对顶角相等；

（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．

3．如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC＝4，CD=12，AD=13，∠B＝900，求四边形ABCD的面积．

七、课堂小结

（1）勾股定理的逆定理的内容是什么？

（2）原命题、逆命题之间的关系．

（3）用什么方法证明勾股定理的逆定理．

八、作业布置：

教科书第33页练习第1,2题，习题17．2第4,5题

17.2勾股定理的逆定理的应用

一、教学内容及分析

（一）教学内容

应用勾股定理及勾股定理的逆定理解决实际问题

（二）内容分析

运用勾股定理的逆定理可以从三角形边的数量关系来识别三角形的形状，它是用代数方法来研究几何图形，也是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的很好素材．综合运用勾股定理及其逆定理能帮助我们解决实际问题．基于以上分析，可以确定本课的教学重点是灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题．

二、教学目标及分析

（一）教学目标

（1）灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题．

（2）进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识

（二）目标分析

（1）达成目标

（1）的标志是学生通过合作、讨论、动手实践等方式，在应用题中建立数学模型，准确画出几何图形，再熟练运用勾股定理逆定理判断三角形状及求边长、面积、角度等；

（2）目标

（2）能先用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形，再用勾股定理及直角三角形的性质进行有关的计算和证明．

三、问题诊断分析

对于大部分学生将实际问题抽象成数学模型并进行解析与应用，有一定的困难，所以在教学时应该注意启发引导学生从实际生活中所遇到的问题出发，鼓励学生以勾股定理及逆定理的知识为载体建立数学模型，利用数学模型去解决实际问题。

本课的教学难点是灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题．

四、教学条件支持

在本节课的教学中,准备使用多媒体教学.因为使用PPT可以快速的展示出学生所要思考的问题及例题等,从而节省时间,给学生更多时间思考本节课的内容.

五、教学过程

问题一：

你能用勾股定理的逆定理解决下列问题吗？

设计意图：

通过复习勾股定理及其逆定理来引入本课时的学习任务——应用勾股定理及逆定理解决有关实际问题．

问题1：

“远航”号、“远航”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“远航”号每小时航行12海里。

它们离开港口一个半小时后位于点Q,R处,且相距30海里。

如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

师生活动：

学生读题，理解题意，弄清楚已知条件和需解决的问题，教师通过梯次性问题的展示，适时点拨,学生尝试画图、估测、交流中分化难点完成解答．

追问1：

请同学们认真审题，弄清已知是什么？

解决的问题是什么？

师生活动：

学生通过思考举手回答，教师在黑板上列出：

已知两种船的航速，它们的航行时间以及相距的路程，“远航”号的航向——东北方向；解决的问题是“海天”号的航向．

追问2：

你能根据题意画出图形吗？

师生活动：

学生尝试画图，教师在黑板上或多媒体中画出示意图．

追问3：

在所画的图中哪个角可以表示“海天”号的航向？

图中知道哪个角的度数？

师生活动：

学生小组讨论交流回答问题“海天”号的航向只要能确定∠QPR的大小即可．组内讨论解答，小组代表展示解答过程，教师适时点评,多媒体展示规范解答过程．

解：

根据题意，

∵

，即

∴

由“远航”号沿东北方向航行可知

．因此

即“海天”号沿西北方向航行．

变式练习：

A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？

解：

∵BC2+AB2=52+122=169

AC2=132=169

∴BC2+AB2=AC2

即△ABC是直角三角形

∠B=90°

答：

C在B地的正北方向．

问题2：

 实验中学有一块四边形的空地

，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量

，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？

师生活动：

先由学生独立思考．若学生有想法，则由学生先说思路，然后教师追问：

你是怎么想到的？

对学生思路中的合理成分进行总结；若学生没有思路，教师可引导学生分析：

从所要求的结果出发是要知道四边形的面积，而四边形被它的一条对角线分成两个三角形，求出两个三角形的面积和即可．启发学生形成思路，最后由学生演板完成．

【设计意图】引导学生利用辅助线解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识．

六、目标检测

1．小明在学校运动会上负责联络，他先从检录处走了75米到达起点，又从起点向东走了100米到达终点，最后从终点走了125米，回到检录处，则他开始走的方向是（假设小明走的每段都是直线）     （   ）

A．南北    B．东西     C．东北     D．西北

2．甲、乙两船同时从

港出发，甲船沿北偏东

的方向，以每小时9海里的速度向

岛驶去，乙船沿另一个方向，以每小时12海里的速度向

岛驶去，3小时后两船同时到达了目的地．如果两船航行的速度不变，且

两岛相距45海里，那么乙船航行的方向是南偏东多少度？

3．如图是一块四边形的菜地，已知

，

，

，

，

，求这块菜地的面积．

由学生自己动手完成，并让学生上讲台讲一讲，最后教师点评。

七、课堂小结

1、这节课你体会了什么？

2、解决实际问题有时候要用什么思想？

八、作业布置

1、完成课34页练习第3、5题