（4）存在一个函数f（x）＝0，它既是偶函数又是奇函数，所以该命题是真命题．
[一点通]
1．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定条件中的每一个元素x，验证命题成立．而要判断它是假命题，只要能举出限定条件中的一个x，使命题不成立即可．
2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定条件中，至少能找到一个x，使命题成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
3．下列命题的假命题是（ ）
A．有些不相似的三角形面积相等
B．存在一个实数x，使x2＋x＋1≤0
C．存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大
D．有一个实数的倒数是它本身
解析：
以上4个均为特称命题，A，C，D均可找到符合条件的特例；对B，任意x∈R，都有x2＋x＋1＝
2＋
>0.故B为假命题．
答案：
B
4．判断下列命题的真假，并说明理由：
（1）对任意x∈R，都有x2－x＋1＞
成立；
（2）存在实数α，β，使cos（α－β）＝cosα－cosβ成立；
（3）对任意x，y∈N，都有（x－y）∈N；
（4）存在x，y∈Z，使
x＋y＝3成立．
解：
（1）法一：
当x∈R时，x2－x＋1＝
2＋
≥
＞
，所以该命题是真命题．
法二：
x2－x＋1＞
⇔x2－x＋
＞0，由于Δ＝1－4×
＝－1＜0，所以不等式x2－x＋1＞
的解集是R，所以该命题是真命题．
（2）当α＝
，β＝
时，cos（α－β）＝cos（
－
）＝cos（－
）＝cos
＝
，cosα－cosβ＝cos
－cos
＝
－0＝
，此时cos（α－β）＝cosα－cosβ，所以该命题是真命题．
（3）当x＝2，y＝4时，x－y＝－2∈/N，所以该命题是假命题．
（4）当x＝0，y＝3时，
x＋y＝3，即存在x，y∈Z，使
x＋y＝3，所以该命题是真命题.
全称命题、特称命题的否定
[例3] 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．
（1）三角形的内角和为180°；
（2）每个二次函数的图像都开口向下；
（3）有些实数的绝对值是正数；
（4）某些平行四边形是菱形．
[思路点拨] 先判断是全称命题还是特称命题，再对命题否定．
[精解详析]
（1）是全称命题且为真命题．
命题的否定：
三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形的内角和不等于180°.
（2）是全称命题且为假命题．
命题的否定：
存在一个二次函数的图像开口不向下．
（3）是特称命题且为真命题．
命题的否定：
所有实数的绝对值都不是正数．
（4）是特称命题，且为真命题．
命题的否定：
每一个平行四边形都不是菱形．
[一点通]
1．全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题．
2．写全称（特称）命题的否定时，先把全称（存在）量词改为存在（全称）量词，然后再否定结论．
5．命题“存在实数x，使x>1”的否定是（ ）
A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1
解析：
利用特称命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：
对于任意的实数x，都有x≤1.
答案：
C
6．若“对任意x∈R，ax2－2ax－1＜0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：
依题意，问题等价于对任意x∈R，ax2－2ax－1＜0恒成立．当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，有
解得－1＜a＜0，故实数a的取值范围是（－1,0]
答案：
（－1,0]
7．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式．
（1）对数函数都是单调函数；
（2）至少有一个整数能被2整除且能被5整除；
（3）存在x∈R，使log2x＞0成立；
（4）对任意m∈Z，都有m2－3＞0成立．
解析：
（1）命题省略了全称量词“所有”，所以是全称命题；否定形式：
有的对数函数不是单调函数．
（2）命题含有存在量词“至少”，所以是特称命题；否定形式：
所有整数不能被2整除或不能被5整除．
（3）命题含有存在量词，所以是特称命题；否定形式：
对任意x∈R，都有log2x≤0.
（4）命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：
存在m∈Z，使m2－3≤0成立．
1．判断命题是全称命题还是特称命题主要是看命题中含有的量词．有些命题没有明显的量词或省略了量词，可以根据命题的实际含义作出判断．
2．对含有一个量词的命题的否定要注意以下几个问题：
（1）确定命题类型，是全称命题还是特称命题；
（2）改变量词；
（3）否定结论；
（4）无量词的全称命题要先补上量词再否定．
1．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为（ ）
A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立
C．对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立
D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立
解析：
本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：
对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．
答案：
A
2．“关于x的不等式f（x）＞0有解”等价于（ ）
A．存在x∈R，使得f（x）＞0成立
B．存在x∈R，使得f（x）≤0成立
C．对任意x∈R，使得f（x）＞0成立
D．对任意x∈R，f（x）≤0成立
解析：
“关于x的不等式f（x）＞0有解”等价于“存在实数x，使得f（x）＞0成立”，故选A.
答案：
A
3．下列命题为真命题的是（ ）
A．对任意x∈R，都有cosx＜2成立
B．存在x∈Z，使log2（3x－1）＜0成立
C．对任意x＞0，都有3x＞3成立
D．存在x∈Q，使方程
x－2＝0有解
解析：
A中，由于函数y＝cosx的最大值是1，又1＜2，所以A是真命题；B中，log2（3x－1）＜0⇔0＜3x－1＜1⇔
＜x＜
，所以B是假命题；C中，当x＝1时，31＝3，所以C是假命题；D中，
x－2＝0⇔x＝
∈/Q，所以D是假命题，故选A.
答案：
A
4．给出四个命题：
①末位数字是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，使x＞0；④对于任意实数x,2x＋1都是奇数．下列说法正确的是（ ）
A．四个命题都是真命题
B．①②是全称命题
C．②③是特称命题
D．四个命题中有两个假命题
解析：
①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．
答案：
C
5．下列命题中全称命题是__________；特称命题是________．
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：
①③是全称命题，②④是特称命题．
答案：
①③ ②④
6．命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________．
解析：
本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：
所有偶函数的图像关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”．
答案：
有些偶函数的图像关于y轴不对称
7．写出下列命题的否定并判断其真假．
（1）有的四边形没有外接圆；
（2）某些梯形的对角线互相平分；
（3）被8整除的数能被4整除．
解：
（1）命题的否定：
所有的四边形都有外接圆，是假命题．
（2）命题的否定：
任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题．
（3）命题的否定：
存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．
8．
（1）若命题“对于任意实数x，不等式sinx＋cosx>m恒成立”是真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题“存在实数x，使不等式sinx＋cosx>m有解”是真命题，求实数m的取值范围．
解：
（1）令y＝sinx＋cosx，x∈R，
∵y＝sinx＋cosx＝
sin
≥－
，
又∵任意x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，
∴只要m<－
即可．
∴所求m的取值范围是（－∞，－
）．
（2）令y＝sinx＋cosx，x∈R，
∵y＝sinx＋cosx＝
sin
∈[－
，
]．
又∵存在x∈R，使sinx＋cosx>m有解，
∴只要m<
即可，∴所求m的取值范围是（－∞，
）.
全称量词与全称命题
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：
“本人的理发技艺十分高超，誉满全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸．我对各位表示热诚欢迎！
”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人．可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？
如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？
他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸．
这就是著名的“罗素理发师悖论”问题．
问题1：
文中理发师说：
“我将给所有的不给自己刮脸的人刮脸”．对“所有的”这一词语，你还能用其他词语代替吗？
提示：
任意一个，全部，每个．
问题2：
上述词语都有什么含义？
提示：
表示某个范围内的整体或全部．
全称量词与全称命题
（1）“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．
（2）含有全称量词的命题，叫作全称命题.
存在量词与特称命题
观察语句①②：
①存在一个x∈R，使3x＋1＝5；
②至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．
问题1：
①②是命题吗？
若是命题，判断其真假．
提示：
是，都为真命题．
问题2：
①②中的“存在一个”、“至少有一个”有什么含义？
提示：
表示总体中“个别”或“一部分”．
问题3：
你能写出一些与问题2中具有相同意义的词语吗？
提示：
某些，有的，有些．
存在量词与特称命题
（1）“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．
（2）含有存在量词的命题，叫作特称命题.
全称命题与特称命题的否定
观察下列命题：
①被7整除的整数是奇数；
②有的函数是偶函数；
③至少有一个三角形没有外接圆．
问题1：
命题①的否定：
“被7整除的整数不是奇数”对吗？
提示：
不对，命题①是省略了量词“所有”的全称命题，其否定应为“存在被7整除的整数不都是奇数”．
问题2：
命题②的否定：
“有的函数不是偶函数”对吗？
提示：
不对，应为每一个函数都不是偶函数．
问题3：
判断命题③的否定的真假．
提示：
命题③的否定：
所有的三角形都有外接圆，是真命题．
全称命题与特称命题的否定
全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
1．判断一个命题是全称命题还是特称命题时，首先要分析命题中含有的量词，含有全称量词的是全称命题，含有存在量词的是特称命题．
2．要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例即可，实际上就是说明这个全称命题的否定是正确的；要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质，即说明这个特称命题的否定是正确的．
全称命题与特称命题的判断
[例1] 判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题．
（1）对任意x∈R，x2>0；
（2）有些无理数的平方也是无理数；
（3）正四面体的各面都是正三角形；
（4）存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；
（5）对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；
（6）存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．
[思路点拨] 先观察命题中所含的量词，根据量词的意义来判断命题的类别．不含量词的命题要注意结合命题的语境进行分析．
[精解详析]
（1）（5）含全称量词“任意”，（3）虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形．故
（1）（3）（5）为全称命题；
（2）（4）（6）为特称命题，分别含有存在量词“有些”、“存在”、“存在”．
[一点通]
判断一个命题是全称命题还是特称命题时，需要注意以下两点：
（1）若命题中含有量词则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词；
（2）若命题中不含有量词，则要根据命题的实际意义进行判断．
1．下列命题为特称命题的是（ ）
A．奇函数的图像关于原点对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．棱锥仅有一个底面
D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0
解析：
A、B、C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A、B、C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.
答案：
D
2．下列命题中，全称命题的个数是（ ）
①任意一个自然数都是正整数；
②所有的素数都是奇数；
③有的等差数列也是等比数列；
④三角形的内角和是180°.
A．0个 B．1个
C．2个D．3个
解析：
命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．
答案：
D
全称命题与特称命题的真假判断
[例2] 指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假．
（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点；
（2）存在一个实数，它的绝对值不是正数；
（3）对任意实数x1，x2，若x1（4）存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．
[思路点拨] 本题可由命题中所含量词的特点或命题的语境判断命题的类别，再结合相关知识判断真假．
[精解详析]
（1）（3）是全称命题，
（2）（4）是特称命题．
（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
（2）存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．
（3）存在x1＝0，x2＝π，x1（4）存在一个函数f（x）＝0，它既是偶函数又是奇函数，所以该命题是真命题．
[一点通]
1．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定条件中的每一个元素x，验证命题成立．而要判断它是假命题，只要能举出限定条件中的一个x，使命题不成立即可．
2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定条件中，至少能找到一个x，使命题成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
3．下列命题的假命题是（ ）
A．有些不相似的三角形面积相等
B．存在一个实数x，使x2＋x＋1≤0
C．存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大
D．有一个实数的倒数是它本身
解析：
以上4个均为特称命题，A，C，D均可找到符合条件的特例；对B，任意x∈R，都有x2＋x＋1＝
2＋
>0.故B为假命题．
答案：
B
4．判断下列命题的真假，并说明理由：
（1）对任意x∈R，都有x2－x＋1＞
成立；
（2）存在实数α，β，使cos（α－β）＝cosα－cosβ成立；
（3）对任意x，y∈N，都有（x－y）∈N；
（4）存在x，y∈Z，使
x＋y＝3成立．
解：
（1）法一：
当x∈R时，x2－x＋1＝
2＋
≥
＞
，所以该命题是真命题．
法二：
x2－x＋1＞
⇔x2－x＋
＞0，由于Δ＝1－4×
＝－1＜0，所以不等式x2－x＋1＞
的解集是R，所以该命题是真命题．
（2）当α＝
，β＝
时，cos（α－β）＝cos（
－
）＝cos（－
）＝cos
＝
，cosα－cosβ＝cos
－cos
＝
－0＝
，此时cos（α－β）＝cosα－cosβ，所以该命题是真命题．
（3）当x＝2，y＝4时，x－y＝－2∈/N，所以该命题是假命题．
（4）当x＝0，y＝3时，
x＋y＝3，即存在x，y∈Z，使
x＋y＝3，所以该命题是真命题.
全称命题、特称命题的否定
[例3] 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．
（1）三角形的内角和为180°；
（2）每个二次函数的图像都开口向下；
（3）有些实数的绝对值是正数；
（4）某些平行四边形是菱形．
[思路点拨] 先判断是全称命题还是特称命题，再对命题否定．
[精解详析]
（1）是全称命题且为真命题．
命题的否定：
三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形的内角和不等于180°.
（2）是全称命题且为假命题．
命题的否定：
存在一个二次函数的图像开口不向下．
（3）是特称命题且为真命题．
命题的否定：
所有实数的绝对值都不是正数．
（4）是特称命题，且为真命题．
命题的否定：
每一个平行四边形都不是菱形．
[一点通]
1．全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题．
2．写全称（特称）命题的否定时，先把全称（存在）量词改为存在（全称）量词，然后再否定结论．
5．命题“存在实数x，使x>1”的否定是（ ）
A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1
解析：
利用特称命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：
对于任意的实数x，都有x≤1.
答案：
C
6．若“对任意x∈R，ax2－2ax－1＜0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：
依题意，问题等价于对任意x∈R，ax2－2ax－1＜0恒成立．当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，有
解得－1＜a＜0，故实数a的取值范围是（－1,0]
答案：
（－1,0]
7．判断下列命题是全称
升级会员 