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三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分,根据结论3形成的平行

四边形的对角线平分可以推出结论4。

结论5:

三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等,结论3中平行四边形的对角相等。

4•角平分线:

(1)、平分角到两边距离相等。

(2)、AABC有3个外角平分线交点,一个内角平分线交点,外角平分线交点是有2根外角平分线和一根内角平分线相交组成。

5•三角形的高:

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线,顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。

三角形的高有三条,特别强调:

锐角三角形的三条高都在三角形内部;

钝角三角形的高有两条在三角形外部,一条在三角形内部;

直角三角形的两直角边就是高线.任何三角

形的三条高所在直线交于一点,这点叫三角形的垂心.

11.1.5三角形的稳定性

三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

11.2与三角形有关的角

11.2.1三角形内角和定理

三角形的三个内角和是180°

11.2.2直角三角形的性质与判定

1.直角三角形的两个锐角互余

2.直角三角形记做RtAABC

3.有两个角互余的三角形是直角三角形

11.2.3三角形的外角

1.定义:

三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形

的外角

2•三角形外角的性质:

①三角形的外角等于与它不相邻的两个内

角的和;

②三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

3•三角形的外角和为360°

11.3多边形及内角和

11.3.1多边形及正多边形

1•在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。

⑴多边形按照组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边

形三角形是最简单的多边形,如果一个多边形由n条线段

组成,那么这个多边形就叫做n边形。

⑵多边形相邻两边组成的角叫做它的内角,多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角;

⑶多边形可分为凸多边形和凹多边形。

11.3.2多边形的对角线

连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。

11.3.3n边形的内、外角和公式

1.n边形内角和公式:

n边形内角和等于(n—2)x180°

2.多边形的外角和是360°

三角形

儿何A级概念,(要求深刻理解、熟紡

k运用.主要用于几何证明)

1.三角形的角平分线定义:

:

•角形的一个角的平分线与这个角的对边相交•这个角的顶点和交点Z间的线段叫做0角形的角平分线.

(如图)

A

BCC

几何表达式举例:

(1)VAD平分ZBAC:

.ZBAD=ZCAD

(2)VZBAD=ZCADAAD是角半分线

2.三角形的中线定义1

在三角形中•连结•个顶点和它的对边的中点的线段叫做三用形的中线.

B0C

儿何衣达式举例:

⑴TAD是三角形的中线

•••BD=CD

(2)TBD=CD

•••AD是三角形的中线

3.三角形的高线定义*

从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.

A吕BDC

几何表达式举例,

(1)VAD是AABC的高・•・ZADB=90n

(2)•・•ZADB=90'

・•・AD是厶ABC的岛

※第三角形的三边关系定理,三角形的两边之和大于第三边•三角形的两边之差小于第三边.(如图)

儿何农达式举例,

(1)VAB+BOAC

(2)•・•AB・BC<

AC

BC

5.等腰三角形的定义*

有两条边相等的二角形叫做等腰三角形.(如图)

儿何表达式举例:

(1)•••△ABC是等腰三角形

・•・AB=AC

(2)•.*AB=AC

AAABC是等腰三角形

6.等边三角形的定义,

有三条边相等的二角形叫做等边三角形.(如图)

(1)VAABC是等边三角形

・・・AB=BC=AC

(2)TAB=BC=AC

AAABC是等边三角形

9■等直角三角形的定义:

两条直角边相等的点角三角形叫等腰直角:

M.(如图)

几何表达式举例」

(1)VZC=90°

CA=CB

AAABC是等腰直角上角形

(2)TAABC是等腰直角三角形

ZC=905CA=CB

 

儿何农达式举例*

(1)VZA+ZB+ZC=180n

(2)VZC=90^

、ZA-ZB=90fi

(3)ZACD=ZA-ZB

7.三角形的内角和定理及推论’

<

1)三角形的内角和Mb:

(如图〉

(2)直角三角形的两个锐角互余;

(3)三角形的一个外角等于和它不相邻的卿个内角的和I(如图)

涙(4)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”

(4)VZACD>

ZA

(1)VZC=90*

AZkABC屋茂角三角形

(2)VAABC是直角三角形

.ZC=90”

7.幼因,以垂圈形屮,有两个車芟的性质,即】a

(1)AC・CB=CD・AB(

(2)Zl-ZB*Z2=ZA.yX.

8.三兄形屮,E寥右一个内角是钝角,但最少有■两牛外曲是钝価芮

»

企等三和形中,扈合的点是对应顶点•对应顶点所甘的角足对脸你对应昭所对的边是对应边,

10.等边三角形是特殊的等腫三角形.

11.几何习题中■“丈字溉述题"

需螫口己画隆L写已知、求证、证明,

12.符合“AAA”“SSA”条件的二怖形不能刿定全答.

13•几何习题经常用四种方法进行分析:

(1)分析综合法;

(2)方程分析法;

(3)代入

分析法;

(4)图形观察法.

14•几何基本作图分为:

(1)作线段等于已知线段;

(2)作角等于已知角;

(3)作已知角的平分线;

(4)过已知点作已知直线的垂线;

(5)作线段的中垂线;

(6)过已知点作已知直线的平行线.

15•作图题在分析过程中,首先要画出草图并标出字母,然后确定先画什么,后画什么;

意:

每步作图都应该是几何基本作图

16.几何画图的类型:

(1)估画图;

(2)工具画图;

(3)尺规画图.

17.几何重要图形和辅助线:

(1)选取和作辅助线的原则:

1构造特殊图形,使可用的定理增加;

②一举多得;

③聚合题目中的分散条件,转移线段,转移角;

④作辅助线必须符合几何基本作图

第十二章全等三角形

11.1全等三角形

1•形状,大小相同的图形放在一起能够完全重合。

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

2•能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

3•—个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但形状,大小都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的图形全等。

4.把两个全等的三角形重合到一起。

重合的顶点叫做对应顶点。

重合的边叫做对应边,重

合的角叫做对应角。

5.全等三角形的性质:

全等三角形的对应边相等;

全等三角形的对应角相等;

有公共边的,公共边是对应边;

有对顶角的,对顶角是对应角;

一对最长的边是对应边•一对最短的边是对应边•;

一对最大的角是对应角;

一对最小的角是对应角•

11.2三角形全等的判定

1•三角形全等的判定方法一边边边

三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成”边边边”或”SSS'

)知识点二三角形全

2•三角形全等的判定方法二边角边

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)

3.三角形全等的判定方法三角边角

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)

4.三角形全等的判定方法四角角边

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或

“AAS”)

5•三角形全等的判定方法五斜边、直角边

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或

“HL”)

6•把两个全等的三角形重合到一起。

重合的顶点叫做对应顶点。

重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角。

7•全等三角形的性质:

有公共边的,

公共边是对应边;

一对最长的边是对应边•一对最短的边是对应边•;

一对最大的角是对应角;

一对最小的角是对应角•

8.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

11.3角的平分线的性质

1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

2证明一个几何中的命题的步骤:

1.明确命题中的已知和求证;

2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证;

3.经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。

4.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

U.角平分线的性质定理及逆宦

儿何表达式举例T

理:

(1)7OCT分ZAOB

(1)在角平分蜿上的点到角的两

乂TCD丄OACE丄OE

边距离相竽;

.CD=CE

(2)到角的两边距离相蒔的点在

(2)VCD丄OACE丄OB

角平分线匕(如图)

XVCD=CE

GE—B

AOC是角平分践

第十二章轴对称

12.1轴对称

1•一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线叫做对称轴;

我们也说这个图形关于这条直线的轴对称。

2•把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。

3•性质:

如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;

在轴对称图形中,对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。

4•线段垂直平分线的性质:

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

判定:

与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

[17.关于轴对称的定理

几何表达式举例*

(1)关于某条直践对称的两个图

(1)ViABC.AEGF关

形是全等形!

M

tTMN轴讨称

⑵如果两个图形关丁•某条直线

0A

AAABC^AEGF

对称,那么对称轴是对应点连线

>

(2)VAABC.AEGF关

的垂直平分线.(如图)

FMN轴对称

OA=OEMN1AE

1S.勾腔定理及逆定理:

儿何衣迖式举例:

(1)直角三角形的两直角边茲

⑴T/kABQ是直角三角

b的平方和等F斜边c的平方.

即a2+b2=c2;

K

Aa2-b2=c2

(2)如果三角形的三边长冇下而

\

⑵Va2+bj=cj

关系:

a2+b2=c2,那么这个形

LA

AAABC是直拜三角修

足直角三角形.(如图)

CB

13.线段眶直半分线的宦义:

诞育丁…条线段且平分这茶线段的直线,叫做这条线段的垂岗平分线.(如图)

E

几何表达式举例:

(1)VEF垂直平分AB

/.EF丄ABOA-OB

(2)VEF_ABOA=OB「•EF是AB的垂宜平分线

A0

B

F

14.线设砺直平分线的性质宦理及逆定理:

(1)线段淮11平分线1:

的点和这条线段的两个端点的距离相等;

⑵和一条线段的两个端点的距离相等的点.在这条线段的垂直平分线I.-(如图)

A.

(1)VMN是线段AB的垂直平分践

/.PA=PB

(2)VPA=PB

二点P在线曲AB的垂克半分线上

AICs

ti

12.2作轴对称图形

12.2.1作轴对称图形

1•轴对称变换的特征:

①由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形,这个

图形的形状,大小完全相同。

②新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线L的

对称轴;

③连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。

12.2.2用坐标表示轴对称

1•点(x,y)关于X轴对称的点的坐标为(x,-y);

2•点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y);

3•点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y).

12.3等腰三角形

12.3.1等腰三角形

1.性质:

等腰三角形的两个底角相等。

等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上

的高相互重合。

(三线合一)

2.判定:

如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。

(等角对等边)

116.等腰三角形的判工疋理及推论:

1

丿L何衣达式举例:

(1)如果•个丄角形有两个谢都相等*那么这两个和所

(1)VZB=ZC

对边也相等!

(即等角对等边)(如图1

化AB=AC

(2)三个角都相等的订fj形是等边三角形$(如图)

(2)VZA=ZB=ZC

有一个角等于60°

的等腫:

角形是等边三角形八如

AAABC是等边一角形

(3)VZA=60n

“)在直角三角形中.如果仔•个角等『30“,那么它

又TAB=AC

所对的直角边是斜边的一半.(如图)

AAABC是等边二角形

(4)TZC=90*Z

AAK

I

Bc(I)BC(2>

<

3)cB(4)

…AC=—A.B

12.3.2等边三角形

1.等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等与60°

2•三个角都相等的三角形是等边三角形

3•有一个角是60°

的等腰三角形是等边三角形

4•在直角三角形中,如果一个锐角等于30°

那么它所对的直角三角形等于斜边的一半。

第十四章整式的乘除与因式分解

14.1整式的乘除

14.1.1同底数幕的乘法

同底数幕相乘,底数不变,指数相加。

14.1.2幕的乘方

幕的乘方,底数不变,指数相乘。

14.1.3积的乘方

积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幕相乘。

14.1.4整式的乘法

1•单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的

字母,则连同它的指数作为积的一个因式。

2•单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。

3•多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。

4•十字交叉法:

(x+p)(x+q)=(x)2+(p+q)x+(pxq)

14.2乘法公式

14.2.平方差公式

1.平方差公式:

(a+b)(a-b)=a2-b21522

完全平方公式

2•完全平方和公式:

(a+b)2=a2+2ab+b2

完全平方差公式:

(a-b)2=a2-2ab+b2

3•添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;

如果括号前面的负号,

括到括号里的各项都改变符号。

14.3整式的除法

14.3.1同底数幕的除法

1•同底数幕相除,底数不变,指数相减。

2任何不等于0的数的0次幕都等于1。

14.3.2整式的除法

1・单项式相除,把系数与同底数幕分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。

2•多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。

14.4因式分解

1.把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。

因式分解与乘法是相反的两个转化

2•因式分解的方法:

常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”

14.4.1提公因式法

1、把ma+mb+me分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,

另一个因式(a+b+C)是ma+mb+me除以m所得的商。

这种分解因式的方法叫做提公因式法。

2、公因式的确定:

系数的最大公约数•相同因式的最低次幕

注意公式:

a+b=b+a;

a—b=—(b—a);

(a—b)2=(b—a)2;

(a—b)3=—(b—a)3.

14.4.2公式法

1.公式:

①a2—b2=(a+b)(a—b)

2a2+2ab+b2=(a+b)2

3a2—2ab+b2=(a—b)2

2•因式分解的解题技巧:

(1)换位整理,加括号或去括号整理;

(2)提负号;

(3)全变号;

(4)换元;

(5)配方;

(6)把相同的式子看作整体;

(7)灵活分组;

(8)提取分数系数;

(9)展开部分括号或全部括号;

(10)拆项或补项.

第十五章分式

15.1分式

1.分式:

一般地,用A、B表示两个整式,A—B就可以表示为B/A的形式,如果B中含有字母,式子B/A叫做分式.

2.有理式:

整式与分式统称有理式;

即分式+整式=有理式.

3•对于分式的两个重要判断:

(1)分式的分母中必须含有未知数,若分式的分母为零,则

分式无意义,反之有意义;

(2)若分式的分子为零,而分母不为零,则分式的值为零;

注意:

若分式的分子为零,而分母也为零,则分式无意义

4•分式的基本性质与应用:

(1)若分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式,分式的值不变;

用式子表示为:

A/B=A*C/B*CA/B=(A十C)/(B十C)(A,B,C为整式,且B、C丰0)

(2)注意:

在分式中,分子、分母、分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变;

-分子-分子分子分子即一询厂而厂而厂顾

(3)繁分式化简时,采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法,比较简单

15.2分式的运算

15.2.1•分式的约分:

把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分;

分式约分前经常需要先因式分解•

1522•最简分式:

一个分式的分子与分母没有公因式,这个分式叫做最简分式;

分式计算的最后结果要求化为最简分式•

❻为正整数)

分式的乘方八卩

9.负整指数计绎法则;

_1_

(1)公式*aO=l(a^O).3-n=a°

(aZO);

CO正整指数的运算法则都可用于负整脂敷计算;

15.2.3•分式的通分:

根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分;

分式的通分前要先确定最简公分母

15.24最简公分母的确定:

系数的最小公倍数•相同因式的最高次幕

12・冋分却与异分密的彷式加减法法则t

aba±

bacadbead土be

一±

—=;

—士一=——t——=

cccbdbdbdbd

15.2.5含有字母系数的一元一次方程:

在方程ax+b=0(a丰0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数,对x来说,字母a是x的系数,叫做字母系数,字母b是常数项,我们称它为含有字母系数的一元一次方程.

在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数,用x、y、z等表示未知数.

15.2.6公式变形:

把一个公式从一种形式变换成另一种形式,叫做公式变形;

公式变形的本质就是解含有字母系数的方程

特别要注意:

字母方程两边同时乘以含字母的代数式时,一般需要先确认这个代数式的值不

为0.

15.2.7科学记数法:

把一个数表示成ax10?

曲疗」1「耳屮1<

av10,n是整数)的记数方

法叫做科学记数法。

用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时,其中10的指数是1n。

用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数

(包括小数点前面的一个0)。

(m,n是整数)

15.2.8正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂.

(1)同底数的幕的乘氐fd=am~n|

(2)幕的乘方*(心)—a™;

(3)积的乘方:

(&

占)'

=『bfi•

(4)同底数的歸的除法=/2=严(a#0),

fl

(5)简的乘方*

(一)='

■b/0)

hb1

15.2.9.分式的四则运算:

(1)同分母分式加减法则:

同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。

用字母

表示为:

a/c±

/c=a土b/c

(2)异分母分式加减法则:

异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后

再按同分母分式的加减法法则进行计算。

用字母表示为:

a/b±

/d=(ad±

cb)/bd

(3)分式的乘法法则:

两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分

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