初二上学期知识点总结Word文档下载推荐.docx
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三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分,根据结论3形成的平行
四边形的对角线平分可以推出结论4。
结论5:
三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等,结论3中平行四边形的对角相等。
4•角平分线:
(1)、平分角到两边距离相等。
(2)、AABC有3个外角平分线交点,一个内角平分线交点,外角平分线交点是有2根外角平分线和一根内角平分线相交组成。
5•三角形的高:
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线,顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。
三角形的高有三条,特别强调:
锐角三角形的三条高都在三角形内部;
钝角三角形的高有两条在三角形外部,一条在三角形内部;
直角三角形的两直角边就是高线.任何三角
形的三条高所在直线交于一点,这点叫三角形的垂心.
11.1.5三角形的稳定性
三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
11.2与三角形有关的角
11.2.1三角形内角和定理
三角形的三个内角和是180°
11.2.2直角三角形的性质与判定
1.直角三角形的两个锐角互余
2.直角三角形记做RtAABC
3.有两个角互余的三角形是直角三角形
11.2.3三角形的外角
1.定义:
三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形
的外角
2•三角形外角的性质:
①三角形的外角等于与它不相邻的两个内
角的和;
②三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
3•三角形的外角和为360°
11.3多边形及内角和
11.3.1多边形及正多边形
1•在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。
⑴多边形按照组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边
形三角形是最简单的多边形,如果一个多边形由n条线段
组成,那么这个多边形就叫做n边形。
⑵多边形相邻两边组成的角叫做它的内角,多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角;
⑶多边形可分为凸多边形和凹多边形。
11.3.2多边形的对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。
11.3.3n边形的内、外角和公式
1.n边形内角和公式:
n边形内角和等于(n—2)x180°
2.多边形的外角和是360°
三角形
儿何A级概念,(要求深刻理解、熟紡
k运用.主要用于几何证明)
1.三角形的角平分线定义:
:
•角形的一个角的平分线与这个角的对边相交•这个角的顶点和交点Z间的线段叫做0角形的角平分线.
(如图)
A
△
BCC
几何表达式举例:
(1)VAD平分ZBAC:
.ZBAD=ZCAD
(2)VZBAD=ZCADAAD是角半分线
2.三角形的中线定义1
在三角形中•连结•个顶点和它的对边的中点的线段叫做三用形的中线.
B0C
儿何衣达式举例:
⑴TAD是三角形的中线
•••BD=CD
(2)TBD=CD
•••AD是三角形的中线
3.三角形的高线定义*
从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.
A吕BDC
几何表达式举例,
(1)VAD是AABC的高・•・ZADB=90n
(2)•・•ZADB=90'
・•・AD是厶ABC的岛
※第三角形的三边关系定理,三角形的两边之和大于第三边•三角形的两边之差小于第三边.(如图)
儿何农达式举例,
(1)VAB+BOAC
■
(2)•・•AB・BC<
AC
BC
5.等腰三角形的定义*
有两条边相等的二角形叫做等腰三角形.(如图)
儿何表达式举例:
(1)•••△ABC是等腰三角形
・•・AB=AC
(2)•.*AB=AC
AAABC是等腰三角形
6.等边三角形的定义,
有三条边相等的二角形叫做等边三角形.(如图)
(1)VAABC是等边三角形
・・・AB=BC=AC
(2)TAB=BC=AC
AAABC是等边三角形
9■等直角三角形的定义:
两条直角边相等的点角三角形叫等腰直角:
M.(如图)
几何表达式举例」
(1)VZC=90°
CA=CB
AAABC是等腰直角上角形
(2)TAABC是等腰直角三角形
ZC=905CA=CB
儿何农达式举例*
(1)VZA+ZB+ZC=180n
(2)VZC=90^
、ZA-ZB=90fi
(3)ZACD=ZA-ZB
7.三角形的内角和定理及推论’
<
1)三角形的内角和Mb:
(如图〉
(2)直角三角形的两个锐角互余;
(3)三角形的一个外角等于和它不相邻的卿个内角的和I(如图)
涙(4)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”
(4)VZACD>
ZA
(1)VZC=90*
AZkABC屋茂角三角形
(2)VAABC是直角三角形
.ZC=90”
7.幼因,以垂圈形屮,有两个車芟的性质,即】a
(1)AC・CB=CD・AB(
(2)Zl-ZB*Z2=ZA.yX.
8.三兄形屮,E寥右一个内角是钝角,但最少有■两牛外曲是钝価芮
»
企等三和形中,扈合的点是对应顶点•对应顶点所甘的角足对脸你对应昭所对的边是对应边,
10.等边三角形是特殊的等腫三角形.
11.几何习题中■“丈字溉述题"
需螫口己画隆L写已知、求证、证明,
12.符合“AAA”“SSA”条件的二怖形不能刿定全答.
13•几何习题经常用四种方法进行分析:
(1)分析综合法;
(2)方程分析法;
(3)代入
分析法;
(4)图形观察法.
14•几何基本作图分为:
(1)作线段等于已知线段;
(2)作角等于已知角;
(3)作已知角的平分线;
(4)过已知点作已知直线的垂线;
(5)作线段的中垂线;
(6)过已知点作已知直线的平行线.
15•作图题在分析过程中,首先要画出草图并标出字母,然后确定先画什么,后画什么;
注
意:
每步作图都应该是几何基本作图
16.几何画图的类型:
(1)估画图;
(2)工具画图;
(3)尺规画图.
17.几何重要图形和辅助线:
(1)选取和作辅助线的原则:
1构造特殊图形,使可用的定理增加;
②一举多得;
③聚合题目中的分散条件,转移线段,转移角;
④作辅助线必须符合几何基本作图
第十二章全等三角形
11.1全等三角形
1•形状,大小相同的图形放在一起能够完全重合。
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2•能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
3•—个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但形状,大小都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的图形全等。
4.把两个全等的三角形重合到一起。
重合的顶点叫做对应顶点。
重合的边叫做对应边,重
合的角叫做对应角。
5.全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等;
全等三角形的对应角相等;
有公共边的,公共边是对应边;
有对顶角的,对顶角是对应角;
一对最长的边是对应边•一对最短的边是对应边•;
一对最大的角是对应角;
一对最小的角是对应角•
11.2三角形全等的判定
1•三角形全等的判定方法一边边边
三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成”边边边”或”SSS'
)知识点二三角形全
2•三角形全等的判定方法二边角边
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)
3.三角形全等的判定方法三角边角
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)
4.三角形全等的判定方法四角角边
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或
“AAS”)
5•三角形全等的判定方法五斜边、直角边
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或
“HL”)
6•把两个全等的三角形重合到一起。
重合的顶点叫做对应顶点。
重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角。
7•全等三角形的性质:
有公共边的,
公共边是对应边;
一对最长的边是对应边•一对最短的边是对应边•;
一对最大的角是对应角;
一对最小的角是对应角•
8.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。
11.3角的平分线的性质
1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
2证明一个几何中的命题的步骤:
1.明确命题中的已知和求证;
2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证;
3.经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。
4.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
U.角平分线的性质定理及逆宦
儿何表达式举例T
理:
(1)7OCT分ZAOB
(1)在角平分蜿上的点到角的两
乂TCD丄OACE丄OE
边距离相竽;
.CD=CE
(2)到角的两边距离相蒔的点在
(2)VCD丄OACE丄OB
角平分线匕(如图)
XVCD=CE
GE—B
AOC是角平分践
第十二章轴对称
12.1轴对称
1•一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线叫做对称轴;
我们也说这个图形关于这条直线的轴对称。
2•把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。
3•性质:
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;
在轴对称图形中,对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。
4•线段垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
判定:
与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
[17.关于轴对称的定理
几何表达式举例*
(1)关于某条直践对称的两个图
(1)ViABC.AEGF关
形是全等形!
M
tTMN轴讨称
⑵如果两个图形关丁•某条直线
0A
AAABC^AEGF
对称,那么对称轴是对应点连线
>
(2)VAABC.AEGF关
的垂直平分线.(如图)
FMN轴对称
OA=OEMN1AE
1S.勾腔定理及逆定理:
儿何衣迖式举例:
(1)直角三角形的两直角边茲
⑴T/kABQ是直角三角
b的平方和等F斜边c的平方.
形
即a2+b2=c2;
K
Aa2-b2=c2
(2)如果三角形的三边长冇下而
\
⑵Va2+bj=cj
关系:
a2+b2=c2,那么这个形
LA
AAABC是直拜三角修
足直角三角形.(如图)
CB
13.线段眶直半分线的宦义:
诞育丁…条线段且平分这茶线段的直线,叫做这条线段的垂岗平分线.(如图)
E
几何表达式举例:
(1)VEF垂直平分AB
/.EF丄ABOA-OB
(2)VEF_ABOA=OB「•EF是AB的垂宜平分线
A0
B
F
14.线设砺直平分线的性质宦理及逆定理:
(1)线段淮11平分线1:
的点和这条线段的两个端点的距离相等;
⑵和一条线段的两个端点的距离相等的点.在这条线段的垂直平分线I.-(如图)
A.
(1)VMN是线段AB的垂直平分践
/.PA=PB
(2)VPA=PB
二点P在线曲AB的垂克半分线上
AICs
ti
12.2作轴对称图形
12.2.1作轴对称图形
1•轴对称变换的特征:
①由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形,这个
图形的形状,大小完全相同。
②新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线L的
对称轴;
③连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
12.2.2用坐标表示轴对称
1•点(x,y)关于X轴对称的点的坐标为(x,-y);
2•点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y);
3•点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y).
12.3等腰三角形
12.3.1等腰三角形
1.性质:
等腰三角形的两个底角相等。
等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上
的高相互重合。
(三线合一)
2.判定:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。
(等角对等边)
116.等腰三角形的判工疋理及推论:
1
丿L何衣达式举例:
(1)如果•个丄角形有两个谢都相等*那么这两个和所
(1)VZB=ZC
对边也相等!
(即等角对等边)(如图1
化AB=AC
(2)三个角都相等的订fj形是等边三角形$(如图)
(2)VZA=ZB=ZC
有一个角等于60°
的等腫:
角形是等边三角形八如
AAABC是等边一角形
(3)VZA=60n
“)在直角三角形中.如果仔•个角等『30“,那么它
又TAB=AC
所对的直角边是斜边的一半.(如图)
AAABC是等边二角形
(4)TZC=90*Z
AAK
I
Bc(I)BC(2>
<
3)cB(4)
…AC=—A.B
12.3.2等边三角形
1.等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等与60°
2•三个角都相等的三角形是等边三角形
3•有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形
4•在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
那么它所对的直角三角形等于斜边的一半。
第十四章整式的乘除与因式分解
14.1整式的乘除
14.1.1同底数幕的乘法
同底数幕相乘,底数不变,指数相加。
14.1.2幕的乘方
幕的乘方,底数不变,指数相乘。
14.1.3积的乘方
积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幕相乘。
14.1.4整式的乘法
1•单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的
字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
2•单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
3•多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
4•十字交叉法:
(x+p)(x+q)=(x)2+(p+q)x+(pxq)
14.2乘法公式
14.2.平方差公式
1.平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b21522
完全平方公式
2•完全平方和公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2
完全平方差公式:
(a-b)2=a2-2ab+b2
3•添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;
如果括号前面的负号,
括到括号里的各项都改变符号。
14.3整式的除法
14.3.1同底数幕的除法
1•同底数幕相除,底数不变,指数相减。
2任何不等于0的数的0次幕都等于1。
14.3.2整式的除法
1・单项式相除,把系数与同底数幕分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
2•多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。
14.4因式分解
1.把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。
因式分解与乘法是相反的两个转化
2•因式分解的方法:
常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”
14.4.1提公因式法
1、把ma+mb+me分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,
另一个因式(a+b+C)是ma+mb+me除以m所得的商。
这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2、公因式的确定:
系数的最大公约数•相同因式的最低次幕
注意公式:
a+b=b+a;
a—b=—(b—a);
(a—b)2=(b—a)2;
(a—b)3=—(b—a)3.
14.4.2公式法
1.公式:
①a2—b2=(a+b)(a—b)
2a2+2ab+b2=(a+b)2
3a2—2ab+b2=(a—b)2
2•因式分解的解题技巧:
(1)换位整理,加括号或去括号整理;
(2)提负号;
(3)全变号;
(4)换元;
(5)配方;
(6)把相同的式子看作整体;
(7)灵活分组;
(8)提取分数系数;
(9)展开部分括号或全部括号;
(10)拆项或补项.
第十五章分式
15.1分式
1.分式:
一般地,用A、B表示两个整式,A—B就可以表示为B/A的形式,如果B中含有字母,式子B/A叫做分式.
2.有理式:
整式与分式统称有理式;
即分式+整式=有理式.
3•对于分式的两个重要判断:
(1)分式的分母中必须含有未知数,若分式的分母为零,则
分式无意义,反之有意义;
(2)若分式的分子为零,而分母不为零,则分式的值为零;
注意:
若分式的分子为零,而分母也为零,则分式无意义
4•分式的基本性质与应用:
(1)若分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式,分式的值不变;
用式子表示为:
A/B=A*C/B*CA/B=(A十C)/(B十C)(A,B,C为整式,且B、C丰0)
(2)注意:
在分式中,分子、分母、分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变;
-分子-分子分子分子即一询厂而厂而厂顾
(3)繁分式化简时,采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法,比较简单
15.2分式的运算
15.2.1•分式的约分:
把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分;
分式约分前经常需要先因式分解•
1522•最简分式:
一个分式的分子与分母没有公因式,这个分式叫做最简分式;
分式计算的最后结果要求化为最简分式•
❻为正整数)
分式的乘方八卩
9.负整指数计绎法则;
_1_
(1)公式*aO=l(a^O).3-n=a°
(aZO);
CO正整指数的运算法则都可用于负整脂敷计算;
15.2.3•分式的通分:
根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分;
分式的通分前要先确定最简公分母
15.24最简公分母的确定:
系数的最小公倍数•相同因式的最高次幕
12・冋分却与异分密的彷式加减法法则t
aba±
bacadbead土be
一±
—=;
—士一=——t——=
cccbdbdbdbd
15.2.5含有字母系数的一元一次方程:
在方程ax+b=0(a丰0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数,对x来说,字母a是x的系数,叫做字母系数,字母b是常数项,我们称它为含有字母系数的一元一次方程.
在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数,用x、y、z等表示未知数.
15.2.6公式变形:
把一个公式从一种形式变换成另一种形式,叫做公式变形;
公式变形的本质就是解含有字母系数的方程
特别要注意:
字母方程两边同时乘以含字母的代数式时,一般需要先确认这个代数式的值不
为0.
15.2.7科学记数法:
把一个数表示成ax10?
曲疗」1「耳屮1<
av10,n是整数)的记数方
法叫做科学记数法。
用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时,其中10的指数是1n。
用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数
(包括小数点前面的一个0)。
(m,n是整数)
15.2.8正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂.
(1)同底数的幕的乘氐fd=am~n|
(2)幕的乘方*(心)—a™;
(3)积的乘方:
(&
占)'
=『bfi•
(4)同底数的歸的除法=/2=严(a#0),
fl
(5)简的乘方*
(一)='
■b/0)
hb1
15.2.9.分式的四则运算:
(1)同分母分式加减法则:
同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。
用字母
表示为:
a/c±
/c=a土b/c
(2)异分母分式加减法则:
异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后
再按同分母分式的加减法法则进行计算。
用字母表示为:
a/b±
/d=(ad±
cb)/bd
(3)分式的乘法法则:
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分