高中数学必修4课件全册(人教A版).ppt

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2023年6月5日,高中数学必修四课件全册（人教A版）,任意角的概念,角的度量方法（角度制与弧度制）,弧长公式与扇形面积公式,任意角的三角函数,同角公式,诱导公式,两角和与差的三角函数,二倍角的三角函数,三角函数式的恒等变形（化简、求值、证明）,三角函数的图形和性质,正弦型函数的图象,已知三角函数值，求角,知识网络结构,1.角的概念的推广

（1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.,（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含角在内）的集合为.,（4）角在“到”范围内，指.,

（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.,一、基本概念：

一、任意角的三角函数,1、角的概念的推广,正角,负角,o,x,y,的终边,的终边,零角,二、象限角：

注：

如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。

三、所有与角终边相同的角，连同角在内，构成集合：

（角度制）,（弧度制）,例1、求在到（）范围内，与下列各角终边相同的角,原点,x轴的非负半轴,角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

1、终边相同的角与相等角的区别,终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。

2、象限角、象间角与区间角的区别,3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相垂直的两条直线上”的一般表示式,三、终边相同的角,

（1）与角终边相同的角的集合:

1.几类特殊角的表示方法,|=2k+,kZ.,

（2）象限角、象限界角（轴线角）,象限角,第一象限角:

第二象限角:

第三象限角:

第四象限角:

一、角的基本概念,轴线角,x轴的非负半轴:

=k360（2k）（kZ）;,x轴的非正半轴:

=k360+180（2k+）（kZ）;,x轴:

=k180（k）（kZ）;,典型例题,各个象限的半角范围可以用下图记忆，图中的、分别指第一、二、三、四象限角的半角范围；,例1.若是第三象限的角，问/2是哪个象限的角?

2是哪个象限的角?

高考试题精选及分析,C,点评:

本题先由所在象限确定/2所在象限,再/2的余弦符号确定结论.,例1求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度：

解：

分针所转过的角度,评析：

在解选择题或填空题时，如求角所在象限，也可以不讨论k的几种情况，如图所示利用图形来判断.,四、什么是1弧度的角？

长度等于半径长的弧所对的圆心角。

（3）角度与弧度的换算.只要记住，就可以方便地进行换算.应熟记一些特殊角的度数和弧度数.在书写时注意不要同时混用角度制和弧度制,（4）弧长公式和扇形面积公式.,度弧度0,2、角度与弧度的互化,特殊角的角度数与弧度数的对应表,略解：

例3已知角和满足求角的范围.,解：

例4、已知扇形的周长为定值100，问扇形的半径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？

最大值是多少？

扇形面积最大值为625.,例7.已知一扇形中心角是，所在圆的半径是R.若60，R10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积.若扇形的周长是一定值C（C0），当为多少弧度时，该扇形的面积有最大值?

并求出这一最大值?

指导:

扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制两种给出的方式，但其中用弧度制给出的形式不仅易记，而且好用.在使用时，先要将问题中涉及到的角度换算为弧度.,解：

（1）设弧长为l，弓形面积为S弓。

正弦线：

余弦线：

正切线：

（2）当角的终边在x轴上时，正弦线，正切线变成一个点；当角的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在。

2.正弦线、余弦线、正切线,有向线段MP,有向线段OM,有向线段AT,注意：

（1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线,三角函数,三角函数线,正弦函数余弦函数正切函数,正弦线MP,正弦、余弦函数的图象,P,M,A（1,0）,T,sin=MP,cos=OM,tan=AT,注意：

三角函数线是有向线段！

余弦线OM,正切线AT,P,O,M,P,O,M,P,O,M,P,O,M,MP为角的正弦线,OM为角的余弦线,10）函数y=lgsinx+的定义域是（A）（A）x|2kx2k+（kZ）（B）x|2kx2k+（kZ）（C）x|2kx2k+（kZ）（D）x|2kx2k+（kZ）,专题知识,三角函数线的应用,一、三角式的证明,2、已知：

角为锐角，试证：

1、已知：

角为锐角，试证：

（1）,4、在半径为r的圆中，扇形的周长等于半圆的弧长，那么扇形圆心角是多少？

扇形的的面积是多少？

答：

圆心角为-2，面积是,5、用单位圆证明siantan.（00900,A,T,P,M,提示：

利用三角函数线和三角形面积与扇形面积大小关系证明。

例5已知角的终边经过点,例6若为第一象限角，利用三角函数线证明：

若为其它象限角呢？

例7求函数的定义域.,4.三角函数的符号,一、任意角的三角函数定义,x,y,o,P（x,y）,r,二、同角三角函数的基本关系式,倒数关系：

商关系：

平方关系：

三角函数值的符号：

“第一象限全为正，二正三切四余弦”,平方关系,倒数关系,商式关系,5.同角三角函数基本关系:

神奇的六边形,

（1）上述几个基本关系中，必须注意：

它们都是同一个角的三角函数，因此sin2+sin2=1不一定成立；这几个恒等式都是在所取的角使等式两边都有意义的前提下成立.

（2）同角三角函数的基本关系常用于：

已知角的某个三角函数值，求角的其他三角函数值；化简三角函数式；证明三角恒等式,同角三角函数基本关系注意事项:

三、典型例题分析,【解题回顾】已知三角函数值求同角的其它三角函数值是一个基本题型，解答此问题过程中，通过基本关系式中正弦、余弦、正切之间的联系，必需开方且只需开方一次（有的题型根据已知条件可以尽量回避开方，使得问题轻松获解），根据角所在象限，确定正负号的取舍.当给出的的象限指定唯一，则此时一般有一解；当角的象限没有定，可根据已知的函数值的符号确定的象限，此时一般有二解（除轴上角外）；当已知的三角函数值符号不确定，此时一般有四解（除轴上角.外）.,例1：

已知是第三象限角，且，0求。

四、主要题型,解：

应用：

三角函数值的符号；同角三角函数的关系；,例2已知sin=m（|m|1），求tan.,方法指导：

此类例题的结果可分为以下三种情况.

（1）已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有一解.

（2）已知一个角的某三角函数值，且不知角所在象限，有两解.（3）已知角的三角函数值是用字母表示时，要分象限讨论.分象限讨论的依据是已知三角函数值具有平方关系的那个三角函数值符号，一般有四解.,指导：

容易出错的地方是得到x23后，不考虑P点所在的象限，分x取值的正负两种情况去讨论，一般地，在解此类问题时，可以优先注意角所在的象限，对最终结果作一个合理性的预测,例4设为第四象限角，其终边上的一个点是P（x，），且cos，求sin和tan.,设00900，对于任意一个00到3600的角,=,，当00，900,1800-，当900，1800,1800+，当1800，2700,3600-，当2700，3600,如何求非锐角的三角函数值呢？

角1800-，1800+，3600-的三角函数值与的三角函数值有何关系呢？

6.诱导公式:

公式5：

奇变偶不变，符号看象限！

（注意：

把看作是锐角）,公式五：

公式六：

偶同奇余,象限定号,（K是奇数）,（K是偶数）,（K是奇数）,（K是偶数）,诱导公式总结：

口诀：

奇变偶不变，符号看象限,意义：

利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般按下面步骤进行:

任意负角的三角函数,任意正角的三角函数,锐角三角函数,到的角的三角函数,特殊角的三角函数值,你记住了吗？

三、典型例题分析,【解题回顾】视sin，cos等为“一次式”，sin2，sincos等为“二次式”.象此题中的“分式齐次式”、“齐次二项式”是典型的条件求值，一般化为含tan的式子.要注重数字“1”的代换，表面上看增加了运算，但同时它又可以将原表达式整体结构发生改变，给解决问题带来方面，故解题时，应给于足够的认识,1、,若，则,分析:

从已知可求出,同除以得,例1：

原式可化为,（04湖南）,例5，若tanA=,求2sin2A+sinAcosA-3cos2A的值。

指导：

这是一个已知角A的三角函数值，求它的三角函数式的值。

观察其构成特征，可考虑利用“1”的恒等变形，把欲求值的三角函数式用条件正切来表示。

即先变形，后代入计算。

解：

例5，若tanA=,求2sin2A+sinAcosA-3cos2A的值。

分析：

属“给值求值”型,本例若借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件应比较简单些。

齐,例题与练习,例4化简,练习1求sin（2n+2/3）cos（n+4/3）的值（nZ）,2化简cos（4n+1）/4+x+cos（4n-1）/4-x,当n为奇数时，原式=-2cos（/4+x）当n为偶数时，原式=2cos（/4+x）,当n为偶数时，,当n为奇数时，,补充:

已知

（1）试判断的符号；

（2）化简,作业,解：

由,的终边在第二、三象限或y轴和x轴的负半轴上；,又，角的终边在第二、四象限，从而的终边在第二象限。

（1）易知,

（2）原式=,【解题回顾】证等式常用方法：

（1）左边证明到右边或右边证明到左边（从繁到简为原则）

（2）两边向中间证（3）分析法；（4）用综合法证等式的思路要灵活，根据等式两边式子结构特点，寻求思路.,三、典型例题分析,三、典型例题分析,【解题回顾】根据目标式子无的特点，采用消元思想，三角平方关系式消元是一重要方法.,四、sincos，sincos，sincos三个式子中，已知其中一个式子的值，可以求出其余两个式子的值。

例2、:

已知,三、典型例题分析,求的值.,【解题回顾】sin与cos通过公式sin2+cos2=1形成对立与统一的整体，它们的和sin+cos、差sin-cos、积sincos、商sin/cos（即tan）密切相联，如（sin+cos）2=1+2sincos，,例6，若，则。

指导:

条件是正余弦的乘积，结论要求的是差，要想联系起来只有平方，需注意的是（,）即,小结：

解决“给值求角”型问题，关键是利用给定的三角函数值或者首先求出该角的某一个三角函数值，在某个范围内求出具体的角。

练习：

例3已知是三角形的内角，且sin+cos=，求tan的值。

解答下列问题：

（1）若在第四象限，判断的符号；

（2）若，试指出所在的象限，并用图形表示出的取值范围.,思考题,三、三角函数图像和性质,R,R,-1,1,-1,1,R,奇,奇,偶,无最值,无,2,2,定义域,值域,奇偶性,单调性,周期性,对称性,R,R,R,-1,1,-1,1,奇函数,奇函数,偶函数,增区间：

增区间：

增区间：

减区间：

减区间：

对称中心：

对称中心：

对称中心：

对称轴：

对称轴：

3、正切函数的图象与性质,y=tanx,图象,x,y,o,定义域,值域,R,奇偶性,奇函数,周期性,单调性,正切函数的性质：

6、对称性：

对称中心,7、渐进线：

四、三角函数的图象和性质,图象,y=sinx,y=cosx,x,o,y,-1,1,x,y,-1,1,性质,定义域,R,R,值域,-1，1,-1，1,周期性,T=2,T=2,奇偶性,奇函数,偶函数,单调性,o,1、正弦、余弦函数的图象与性质,五点作图法,p,对称点：

（kp,0）,对称轴：

x=kp,kZ,kZ,练习：

y=3sin（2x+）的图像的一条对称轴方程是（）,（A）x=0（B）x=（C）x=-（D）x=3,B,解：

令X=2x+,则y=3sinX,由此可知y=3sinX的图像的对称轴方程为k+/2，kZ,2x+k+/2，kZ，解得x=k/2+,kZ,y=3sin（2x+）的图像的对称轴方程为：

x=k/2+,kZ,令k=0得x=,1、作y=Asin（x+）图象的方法,2、y=Asin（x+）关于A、的三种变换,法一：

五点法,列表取值方法：

是先对x+取0，/2，3/2，2,法二：

图象变换法,

（1）振幅变换（对A）,

（2）周期变换（对）,（3）相位变换（对）,

（二）y=Asin（x+）的相关问题,3、求y=Asin（x+）+K的解析式的方法,4、y=Asin（x+）（A0,0）的图象的对称中心和对称轴方程,2、函数的图象（A0,0）,第一种变换:

图象向左（）或向右（）平移个单位,横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍纵坐标不变,纵坐标伸长（A1）或缩短（0A1）到原来的A倍横坐标不变,第二种变换：

横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍纵坐标不变,图象向左（）或向右（）平移个单位,纵坐标伸长（A1）或缩短（0A1）到原来的A倍横坐标不变,5、对于较复杂的解析式，先将其化为此形式：

并会求相应的定义域、值域、周期、单调区间、对称中心、对称轴；会判断奇偶性,例3、不通过求值，比较tan1350与tan1380的大小。

解：

900135013802700,又y=tanx在x（900，2700）上是增函数,tan1350tan1380。

例3求函数的定义域值域,解,2、函数单调递增区间是,变题：

函数单调递减区间是,例4函数y=cos（2x+）图象的一条对称轴方程为_。

（A）x=-（B）x=-（C）x=（D）x=解：

2x+=k2x=k-x=-k=0x=-选B例5函数y=sin（x+）（0,|）的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来2倍（纵坐标不变）得函数y=sinx图象则=_=_。

解：

y=sin2x=sin2（x-）=sin（2x-）=2=-,思路:

函数y=sin2x+acos2x可化为,要使它的图象关于直线x=-/8对称,则图象在该处必是处于波峰或波谷.即函数在x=-/8时取得最大、小值.,例9、（98年）关于函数有下列命题：

的表达式可改写为是以为最小正周期的周期函数的图象关于点对称的图象关于直线对称其中正确的命题序号是。

（3）连线：

用“五点作图法”作出y=Asin（x+）在长度为一个周期闭区间上的图象,

（2）描点：

（1）列表：

（1）由最大值点（或最小值点）定A

（2）由两个关键点（特殊点）定和,总结,给出函数y=Asin（x+）（A0,0）的图象求其解析式的一般方法：

6、已知下图是函数的图象

（1）求的值；

（2）求函数图象的对称轴方程.,

（2）函数图象的对称轴方程为,即,设函数,

（1）求；,

（2）求函数的单调递增区间；（3）画出函数在区间0，上的图象.,图象的一条对称轴是直线,例3,解析:

（1）,

（2）,函数的单调递增区间为,x0,（3）,5）函数（A0,0）的一个周期内的图象如图，则有（）,（A）,（B）,（C）,（D）,如图：

根据函数y=Asin（x+）（A0,0）图象求它的解析式,y,x,0,-4,4,如图：

根据函数y=Asin（x+）（A0,0）图象求它的解析式,如图：

根据函数y=Asin（x+）（A0,0）图象求它的解析式,如图：

根据函数y=2sin（x+）（0）图象求它的解析式,如图：

根据函数y=2sin（x+）（0）图象求它的解析式,4.11已知三角函数值求角,的意义：

4.11已知三角函数值求角,4.11已知三角函数值求角,的意义：

4、已知三角函数值求角,y=sinx,的反函数y=arcsinx,y=cosx,的反函数y=arccosx,y=tanx,的反函数y=arctanx,已知角x（）的三角函数值求x的步骤,先确定x是第几象限角若x的三角函数值为正的，求出对应的锐角；若x的三角函数值为负的，求出与其绝对值对应的锐角根据x是第几象限角，求出x若x为第二象限角，即得x=；若x为第三象限角，即得x=；若x为第四象限角，即得x=若，则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。

反三角函数,已知三角函数值求角,已知三角函数值求角x（仅限于0，2）的解题步骤：

1、如果函数值为正数，则求出对应的锐角x0；如果函数值为负数，则求出与其绝对值相对应的锐角x0；,2、由函数值的符号决定角x可能的象限角；,3、根据角x的可能的象限角得出0，2内对应的角：

如果x是第二象限角，那么可以表示为x0,如果x是第三象限角，那么可以表示为x0,如果x是第四象限角，那么可以表示为2x0,说明:

三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视.,

（1）判断角的象限；

（2）求对应锐角；如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1.（3）求出（0，2）内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为x1；如果它是第三或第四象限角，则可表示为x1或x12.（4）求出一般解利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.,（三）已知三角函数值求角”的基本步骤,1、基本步骤,2、表示角的一种方法反三角函数法,1、反正弦：

这时sin（arcsina）=a,2、反余弦：

这时cos（arccosa）=a,这时tan（arctana）=a,3、反正切：

三、两角和与差的三角函数,1、预备知识：

两点间距离公式,x,y,o,2、两角和与差的三角函数,注：

公式的逆用及变形的应用,公式变形,3、倍角公式,二、知识点,

（一）两角和与差公式,

（二）倍角公式,公式,=1-cos22cos2=1+cos21+cos2=2cos21-cos2=2sin2,tan+tan=tan（+）（1-tantan）tan-tan=tan（-）（1+tantan）,注意1、公式的变形如：

注意2、公式成立的条件（使等式两边都有意义）.,C：

S：

C2：

S2：

T2：

T：

3、倍角公式,注：

正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。

特别,返回,和角公式的一个重要变形,其它公式

（1）,1、半角公式,2、万能公式,十二、两角和与差的正弦、余弦、正切：

注意：

、的变形式以及运用和差公式时要会拼角,如：

要熟悉公式逆用！

十三、一个化同角同函数名的常用方法：

如：

例7、求的值,十四、二倍角公式：

例4化简：

解法1：

从“角”入手，“复角”化为“单角”，利用“升幂公式”。

例4化简：

解法2：

从“幂”入手，利用“降幂公式”。

例4化简：

解法3：

从“名”入手，“异名化同名”。

例4化简：

解法4：

从“形”入手，利用“配方法”。

三角解题常规,宏观思路,分析差异,寻找联系,促进转化,指角的、函数的、运算的差异,利用有关公式，建立差异间关系,活用公式，差异转化，矛盾统一,微观直觉,1、以变角为主线，注意配凑和转化；2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；3、见和差，想化积；见乘积，化和差；4、见分式，想通分，使分母最简；5、见平方想降幂，见“1cos”想升幂；6、见sin2，想拆成2sincos；7、见sincos或,9、见coscoscos，先运用,sin+sin=pcos+cos=q,8、见asin+bcos，想化为的形式,若不行，则化和差,10、见cos+cos（+）+cos（+2），想乘,想两边平方或和差化积,总结：

多种名称想切化弦；遇高次就降次消元；asinA+bcosA提系数转换；多角凑和差倍半可算；难的问题隐含要显现；任意变元可试特值算；求值问题缩角是关键；字母问题讨论想优先；非特殊角问题想特角算；周期问题化三个一再算；适时联想联想是关键！

【解题回顾】找出非特殊角和特殊角之间的关系,这种技巧在化简求值中经常用到，并且三角式变形有规律即坚持“四化”：

多角同角化异名同名化切割弦化特值特角互化,公式体系的推导：

首先利用两点间的距离公式推导，,然后利用换元及等价转化等思想方法，以为中心推导公式体系。

sin+cos=1,二【述评】1、变为主线，抓好训练。

变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换（恒等）、三角函数名的变换（诱导公式）、三角函数次数的变换（升、降幂公式）、三角函数表达式的变换（综合）等比比皆是。

在训练中，强化变化意识是关键。

但题目不可以太难。

较特殊技巧的题目不做。

立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中的习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律。

2、基本解题规律：

观察差异（角或函数或运算）寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧）分析综合（由因导果或执果索因）实现转化。

1、值域与最值问题,利用有界性,化二次函数型,运用合一变换,换元,十七、求值域问题：

主要是将式子化成同角度同函数名的形式，再利用正弦函数与余弦函数的有界性求解。

例10、求函数的值域,有时还要运用到的关系,2、对称性问题,3、奇偶性与周期性问题,注意绝对值的影响,化为单一三角函数,4、单调性与单调区间,复后函数单调性,注意负号的处理,5、图像变换问题,相位变换、周期变换、振幅变换,求函数解析式,例4:

已知函数求：

函数的最小正周期；函数的单增区间；,解：

应用：

化同一个角同一个函数,例4:

已知函数求：

函数的最大值及相应的x的值；函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到。

解：

图象向左平移个单位,图象向上平移2个单位,应用：

化同一个角同一个函数,例5：

已知,解：

应用：

化简求值,例1,化简：

解:

原式=,练习题,

（1）证明：

化简得：

解:

解：

应用：

化简求值,2、解:

由2+2得:

即,所以,由22得:

解:

例15.（06陕西理17）已知函数f（x）sin（2x）2sin2（x）（xR）

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）求使函数f（x）取最大值的x的集合,解：

f（x）sin（2x）1cos2（x）sin（2x）cos（2x）12sin（2x）1函数f（x）的最小正周期T.使函数f（x）取最大值的x的集合为x|x=k,kZ,5、已知f（x）=2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x+）-。

（1）化简f（x）的解析式；

（2）若0，求，使函数f（x）为偶函数。

（3）在

（2）成立的条件下，求满足f（x）=1，x-,的x的集合。

解：

（1）f（x）=sin（2x+）+2cos2（x+）-1=sin（2x+）+cos（2x+）=2cos（2x+-）

（2）当=时f（x）为偶函数。

（3）2cos2x=1cos2x=x=或x=,2、已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x-）+cosx+a（aR,a常数）。

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若x-,时，f（x）的最大值为1，求a的值。

解：

（1）f（x）=sin（x+）+sin（x-）+cosx+a=sinx+cosx+a=2sin（x+）+af（x）最小正周期T=2,

（2）x-,x+-,f（x）大=2+aa=-1,例3、求函数的值域.,解：

又-1sinx1,原函数的值域为：

变题：

已知函数（a为常数，且a0），求该函数的最小值.,当-20时，,当-2时，,3、函数f（x）=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g（a）（aR）：

（1）求g（a）；

（2）若g（a）=，求a及此时f（x）的最大值。

解：

（1）f（x）=2（cosx-）2-2-2a-1,-1cosx1当-11即-2a2时f（x）小=-2-a-1,当1即a2时f（x）小=f

（1）=1-4a,当-1即a-2时f（x）小=f（-1）=1,

（2）a=-1此时f（x）=2（cosx+）2+f（x）大=5,3、函数f（x）=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g（a）（aR）：

（1）求g（a）；

（2）若g（a）=，求a及此时f（x）的最大值。

1、已知a0函数y=-acos2x-asin2x+2a+bx0,，若函数的值域为-5,1，求常数a,b的值。

解：

3、函数f（x）=1-2a-2aco