结构动力学大作业.docx
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结构动力学大作业
结构动力学作业
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1.力插值法
力插值法对结构的外荷载进行插值，分为分段常数插值法和分段线性插值法，这两种方法均适用于线性结构的动力反应计算。
1.1分段常数插值法
图1-1为一个单自由度无阻尼系统，结构的刚度为k，质量为m，位移为y（t），施加的外力为P（t）。
图1-2为矩形脉冲荷载的示意图，图中td表示作用的时间，P0表示脉冲荷载的大小。
图1-1单自由度无阻尼系统示意图
图1-2矩形脉冲荷载示意图
对于一个满足静止初始条件的无阻尼单自由度体系来说，当施加一个td时间的矩形脉冲荷载，此时结构在td时间内的位移反应可以用杜哈梅积分得到：
（1-1）
如果结构本身有初始的位移和速度，那么叠加上结构自由振动的部分，结构的位移反应为：
（1-2）
图1-3分段常数插值法微段示意图
对于施加于结构任意大小的力，将其划分为Δt的微段，每一段的荷载都为一个常数（每段相当于一个矩形的脉冲荷载），如图1-3所示，则将每一段的位移和速度写成增量的形式为：
（1-3）
（1-4）
程序流程图如下
图1-4分段常数插值法流程图
根据流程图可以编写相应的算法，利用MATLAB进行编程，程序源代码见附录。
为了验证程序的正确性，本文选取的以下的例题进行验证。
对于一个单自由度的无阻尼结构，当其受到一个周期荷载时，其结构响应分为稳态解和瞬态解，由于没有阻尼的影响，其瞬态解并不会衰减，其理论表达式为：
（1-5）
式中，
为位移响应，
为激励，
为刚度，
为荷载频率与固有振动频率之比，
为荷载频率，
为结构固有频率。
现令
为1，
为1，则
为1，
取为2/3。
程序求得的解与解析解对比如图1-5所示（由于理论解与程序基本重合，所以将理论解乘以-1，方便比较）：
a）位移
b）速度
图1-5分段常数插值法结果验证
由图1-5可知理论解与程序算得的解基本重合，可以验证程序的准确性。
1.2分段线性插值法
与分段常数插值法不同，分段线性插值法将每一微段的力当成一个线性的直线，对于每一个微段，可看成一个矩形和一个三角形脉冲的叠加。
图1-6为分段线性插值微段示意图。
图1-6分段线性插值法微段示意图
对于无阻尼的体系，后一个时间步的位移和速度可由前一个时间步相应的值求得：
（1-6）
（1-7）
分段线性插值法的流程图如图1-7所示，与分段常数插值法仅仅是迭代的方式有所不一样。
图1-7分段线性插值法流程图
程序源代码见附录，同样利用1.1节的算例进行验证，所得的结果如图1-8所示。
a）位移
b）速度
图1-8分段线性插值法结果验证
由上图可知程序的正确性。
2.加速度插值法
加速度插值法也叫逐步积分法，其对加速度进行插值，可分为常加速度法和线加速度法。
2.1常加速度法
图2-1常加速度法微段示意图
对于一个单自由度结构，其运动方程为：
（2-1）
将式（1-1）转变为增量方程：
（2-2）
在通过逐步积分，将时间转化为一系列微小的时间段
，如图2-1所示，现令
则t时间的速度可表示为：
令t=ti+1,则i+1时刻速度可以表示为：
（2-3）
同理，位移可以表示为：
（2-4）
将式（2-3）、（2-4）代入式（2-1），即：
（2-5）
此时，式（2-5）中只有
为未知变量，可直接求出
，之后再利用式（2-3）、（2-4），可求出ti+1时刻的速度与位移。
算法的流程图如下所示：
图2-2常加速度法流程图
算例验证的结果如下图所示，说明了该程序的正确性。
由于需要对加速度进行插值，此处增加了加速度验证。
a）位移
b）速度
c）加速度
图2-3常加速法结果验证
2.2线加速度法
线加速度法与常加速度法原理类似，其速度与位移的增量方程与常加速度法对应的方程略有不同，图2-4为线加速度法微段示意图。
a）位移
b）速度
图2-4线加速度法微段示意图
关于具体原理不在赘述，下图为线加速度法的流程图。
图2-5线加速度法流程图
算例验证的结果如图2-6所示。
a）位移
b）速度
c）加速度
图2-6线加速法结果验证
附录
分段常数插值法源程序
functionx=inter_force_constant（p,w,dt,k,v0,y0）
%分段常系数插值法
%p代表输入的力，w为结构基本频率，dt为时间间隔,k为结构刚度
%v0为初始的速度，y0为初始的位移
%输出的矩阵第一列代表时间，第二列代表位移，第三列代表速度
[r,~]=size（p）;
x=NaN（r,3）;
x（:
1）=p（:
1）;
x（1,2）=y0;x（1,3）=v0;
fori=1:
r-1
x（i+1,2）=x（i,2）*cos（w*dt）+x（i,3）/w*sin（w*dt）+p（i,2）/k*（1-cos（w*dt））;
x（i+1,3）=（-x（i,2）*sin（w*dt）+x（i,3）/w*cos（w*dt）+p（i,2）/k*sin（w*dt））*w;
end
分段线性插值法源程序
functionx=inter_force_line（p,w,dt,k,v0,y0）
%分段线性插值法
%p代表输入的力，w为结构基本频率，dt为时间间隔,k为结构刚度
%v0为初始的速度，y0为初始的位移
%输出的矩阵第一列代表时间，第二列代表位移，第三列代表速度
[r,~]=size（p）;
x=NaN（r,3）;
x（:
1）=p（:
1）;
x（1,2）=y0;x（1,3）=v0;
fori=1:
r-1
x（i+1,2）=x（i,2）*cos（w*dt）+x（i,3）/w*sin（w*dt）+p（i,2）/k*（1-cos（w*dt））+（p（i+1,2）-p（i,2））/k/w/dt*（w*dt-sin（w*dt））;
x（i+1,3）=（-x（i,2）*sin（w*dt）+x（i,3）/w*cos（w*dt）+p（i,2）/k*sin（w*dt）+（p（i+1,2）-p（i,2））/k/w/dt*（1-cos（w*dt）））*w;
end
常加速度法源程序
functionx=inter_a_constant（p,w,m,keci,dt,v0,y0,k）
%p代表输入的荷载，w为结构基本频率，keci为阻尼比，dt为时间间隔,m为结构质量,k为结构刚度
%v0为初始的速度，y0为初始的位移
%输出的矩阵第一列代表时间，第二列代表位移,第三列代表速度，第四列代表加速度
[r,~]=size（p）;
x=NaN（r,4）;
x（:
1）=p（:
1）;
x（1,2）=y0;x（1,3）=v0;x（1,4）=4/3/dt/dt*y0;
c=2*keci*w;
fori=1:
r-1
K=k+2*c/dt+4*m/dt/dt;
dP=p（i+1,2）-p（i,2）+（4*m/dt+2*c）*x（i,3）+2*m*x（i,4）;
dY=dP/K;
dV=2/dt*dY-2*x（i,3）;
dA=4/dt/dt*（dY-x（i,3）*dt）-2*x（i,4）;
x（i+1,2）=x（i,2）+dY;
x（i+1,3）=x（i,3）+dV;
x（i+1,4）=x（i,4）+dA;
end
线加速度法源程序
functionx=inter_a_line（p,w,m,keci,dt,v0,y0,k）
%p代表输入的荷载，w为结构基本频率，keci为阻尼比，dt为时间间隔,m为结构质量,k为结构刚度
%v0为初始的速度，y0为初始的位移
%输出的矩阵第一列代表时间，第二列代表位移,第三列代表速度，第四列代表加速度
[r,~]=size（p）;
x=NaN（r,4）;
x（:
1）=p（:
1）;
x（1,2）=y0;x（1,3）=v0;x（1,4）=3/2/dt/dt*y0-3/2/dt*v0;
c=2*keci*w;
fori=1:
r-1
K=k+3*c/dt+6*m/dt/dt;
dP=p（i+1,2）-p（i,2）+m*（6/dt*x（i,3）+3*x（i,4））+c*（3*x（i,3）+dt/2*x（i,4））;
dY=dP/K;
dV=3/dt*dY-3*x（i,3）-dt/2*x（i,4）;
dA=6/dt/dt*dY-6/dt*x（i,3）-3*x（i,4）;
x（i+1,2）=x（i,2）+dY;
x（i+1,3）=x（i,3）+dV;
x（i+1,4）=x（i,4）+dA;
end
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