小升初数学分数应用题归类及解析上课讲义.docx

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小升初数学分数应用题归类及解析上课讲义

小升初分数应用题归类详解

（一）求一个数是另一个数的几分之几（百分之几）的应用题

　　在分数、百分数三类基本应用题和较复杂的应用题中是以“求一个数是另一个数的几分之几（百分之几）”应用题为基础的。

这是因为这类应用题，在实际工作和生活中应用广泛，另一方面通过这类应用题的学习，搞清百分数的基本数量关系，也就有利于其他两类百分数应用题的理解。

　　“求一个数是另一个数的几分之几（百分之几）”应用题的结构特征是：

已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。

这里，“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量。

因此，这一类问题的实质是已知比较量和标准量，求分率或百分率，也就是求它们的倍数关系。

其解法是：

分率（百分率）=比较量÷标准量

　　解这类问题，找准标准量和比较量是关键。

分析方法一般是在弄清已知条件和问题的相依关系的基础上，从问题入手，搞清谁与谁比，以谁做标准，分清比较量与标准量;如果两个量中有一个是未知数，那么，首先应通过已知条件先求出这两个数，才能进行解答。

要使比较量、标准量找得准确，还必须了解这类应用题的关键句式。

按其形式来分，可以有以下三种：

　　1.基本句式：

　　“甲是乙的几分之几（百分之几）”

　　甲是比较量，乙是标准量，几分之几（百分之几）”是分率（百分率）。

即甲与乙比，甲是比较量，乙是标准量。

句式为：

“……是……的……”。

类似的提法有：

“……占……的……”、“……相当于……的……”、“……完成了……的……”等。

其规律一般是：

用“是”、“占”、“相当于”、“完成了”等词连接的两个量，前面那个量是比较量，后面那个量是标准量。

　　2.引伸句式：

　　“甲比乙多（或少）几分之几（百分之几）”。

这种用“比……多（或少）……”的句式连接的两个量中的比较量发生了变化。

必须弄清这种句式的实际意义，即：

“甲-乙比乙多（或少几分之几）或（百分之几）”。

与“……比……（标准量）多……”类似，而涉及实际意义的有：

“……比……增加、提高、超额、超过、上升……”等。

与“……比……少……”相类似而涉及实际意义的有：

“……比……减少、降低、下降、缩小、慢、节省、节约……”等。

其规律一般是：

“……比……多（或少）……”的句式中，比字后面那个量是标准量，而比较量则是两个相关联的量之差。

　　3.省略句式：

　　在分数、百分数应用题中，大部分叙述句中省略了某些成份，这一类应用题更多体现在问句中。

在分析问题时，必须把省略简化了的成份补述出来，以便正确地确定比较量和标准量。

一般来说，“……占……的……”句中的“占”一类的关键词不写出来。

如“完成了几分之几（百分之几）”“增产几分之几（百分之几）”“降低……”等。

以“价格降低了百分之几?

”为例，原意是：

“降低的部分占原价的百分之几”又如“实际超产百分之几”原意则是：

“实际产量比原计划超过百分之几。

”标准量分别是原价格和原计划，而比较量则是降低和超过的部分。

除此之外在审题时还应注意类似“增加到”“增加了”“减少到”“减少了”等概念的区别。

　　在解法方面，与基本应用题相应的较复杂应用题大致有：

　　1.已知甲乙两数，求甲数比乙数多几分之几（百分之几）。

这种类型题的解法是：

　甲数÷乙数

　　2.已知甲乙两数，求乙数比甲数少几分之几（百分之几）。

这种类型题的解法是：

（甲数-乙数）÷甲数×100%

　　如果按应用题涉及的实际意义来分类，常见的有：

　　A、求实际完成任务量的百分数。

解法是：

实际生产数÷计划数×100%

　　B、求超额完成量的百分数。

解法是：

（实际生产数-计划数）÷计划数×100%

　　C、求降低价格的百分数。

解法是：

（原价格-后来价格）÷原价格100%

　　D、求增长率。

解法是：

（后来生产量-原产量）÷原产量100%

　　根据这一类应用题涉及的实际意义、范围及其解法可概括为四个部分。

1.基本型。

已知两个具体数，求它们之间的或它们各自与总量之间倍数关系的应用题（包括求发芽率、浓度、误差、复种指数等），即：

（1）已知甲数与乙数，求甲数是乙数的几分之几（百分之几），乙数是甲数的几分之几（百分之几）。

（2）已知甲数和乙数，求甲数占甲乙总数的几分之几（百分之几），乙数占甲乙总数的几分之几（百分之几）。

　　例1.三年级一班有42名同学。

参加游泳比赛的有18名。

参加游泳比赛的占全班人数的几分之几?

　　分析：

“求参加游泳比赛的人数占全班人数的几分之几”，是参加比赛的人数与全班人数比，应以全班人数做标准量。

解：

18÷42=18/42=3/7答：

参加游泳比赛的占全班人数的3/7

　　例2.机修车间有男工25人，女工20人，女工占车间总人数的百分之几?

　　分析:

“求女工占车间总人数的几分之几”应以车间总人数为标准量。

　　解：

总人数：

25+20=45（人）20÷45≈44.4%答：

女工占车间总人数的44.4%。

　　例3.玩具厂第一季度计划制造电动玩具600件，实际多做了48件。

完成计划的百分之几?

　　分析：

“求完成计划百分之几”，要以计划数做标准量，实际数做比较量。

　　解法1：

（600+48）÷600=648÷600=108%解法2：

把计划数看做整体“1”，则实际比计划多做48÷600=8%，共完成计划数的8%+1=108%。

即：

48÷600+1=8%+1=108%答：

完成计划的108%。

　　例4.试验组用500粒小麦种子做发芽试验，有490粒种子发了芽。

求发芽率。

　　分析，“率”就是比率，就是百分比。

求发芽率就是求发芽数占种子总数的百分之几。

以种子总数做标准量。

　　解：

发芽数÷种子总数×100%即：

490÷500×100%=98%答：

发芽率是98%。

　　同理：

求出粉率。

就是求出粉数占粮食总数的百分之几，以粮食总数为标准量。

　　求出油率。

就是求出油数占原料总数的百分之几，以原料总数为标准量。

　　求出勤率。

就是求出勤人数占总人数的百分之几，以总人数为标准量。

　　求成活率。

就是求活了的数占总数的百分之几，以总数为标准量。

　　求合格率。

就是求合格的数占产品总数的百分之几，以产品总数为标准量。

　　例5.把12.5千克食盐放入1000千克水中，溶成盐水。

求盐水的浓度。

　　分析：

把食盐放入水中后形成的食盐水，叫做溶液，食盐叫溶质。

溶质与溶液的百分比，叫做浓度。

求浓度就是求溶质占溶液的百分之几，以溶液为标准量。

根据题意溶液是食盐与水重量的和。

　　解：

12.5÷（12.5+1000）×100%≈1.23%答：

盐水的浓度约是1.23%。

　　例6.从甲城到乙城实际距离是75.18千米，测得结果是75.04千米。

求误差对于测量值的百分比。

　　分析：

误差：

是实际长度和测量结果的差。

“求误差对于测量值的百分比”，就是求误差与测量值的百分比。

以测量值为标准量。

解：

（75.18-75.04）÷75.04≈0.19%答：

误差对于测量值的百分数约是0.19%。

　　2.引伸型。

求一个数比另一个数多（或少）几分之几（百分之几）的应用题。

这部分应用题是基本类型的引伸。

一般有：

（1）已知甲（大数）、乙（小数）两数，求甲数比乙数多几分之几（百分之几）;

（2）已知甲（大数）、乙（小数）两数，求乙数比甲数少几分之几（百分之几）;

　　这类题的解法规律是先求出两个数的差，以差作为比较量。

但不能误认为甲数比乙数多几分之几（百分之几），乙数就比甲数少几分之几（百分之几）。

比多时应以乙数（小数）作为标准量;比少时应以甲数（大数）作为标准量。

　　例1.山岭村早稻去年平均公亩产400千克，今年平均公亩产600千克，今年公亩产比去年公亩产多百分之几?

去年公亩产比今年公亩产少百分之几?

　　分析：

第一问，“今年公亩产比去年公亩产多百分之几”，是指今年公亩产比去年公亩产多生产的数是去年公亩产的百分之几。

所以，要以去年公亩产量做标准量（整体“1”）。

　　第二问，“去年公亩产比今年少百分之几”，是指去年公亩产比今年公亩产少的数是今年公亩产的百分之几。

所以，要以今年公亩产做标准量（整体“1”）。

解法1.第一问：

（600-400）÷400=200÷400=50%　第二问：

（600-400）÷600=200÷600=33.3%

解法2.第一问，也可以先求出今年公亩产是去年公亩产的百分之几，然后再求多百分之几（600÷400）-1=150%-1=50%

第二问，也可以先求出去年公亩产是今年公亩产的百分之几，然后再求少百分之几。

1-400÷600≈0.333=33.3%

　例2.某机械厂制造一种轴承，每套轴承成本由2.3元降低到0.73元。

降低了百分之几?

　　分析：

“求降低了百分之几”，就是说现在比过去降低了百分之几。

也就是降低了的钱数是原来的百分之几。

（注意：

是“降低到”“不是降低了”）。

以原来成本为标准量。

解：

（2.3-0.73）÷2.3=68.3%答：

约降低了68.3%。

　　例3.某拖拉机厂，1985年原计划生产拖拉机1200台，上半年生产了675台，下半年比上半年增产2/5，超过计划百分之几?

　　分析：

“求超过原计划百分之几”。

就是求超产的部分是原计划的百分之几，以原计划做标准量。

解：

先求出全年实际产量：

675+675×（1+2/5）=1620（台）

再求比原计划多百分之几：

（1620-1200）÷1200=420/1200=35%答：

超过原计划35%。

3.较复杂的求一个数是另一个数的几分之几或百分之几的应用题。

　　这类应用题是简单（基本）应用题的组合或引伸，关键在于找准标准量，并揭示它的变化和其它隐蔽的条件，化繁为简。

　　例1.某班有学生50人，会游泳的有36人，占全班人数的百分之几?

如果这个班有女同学25人，其中3/5会游泳，那么，男同学有百分之几会游泳?

解：

（1）36÷50=72%

（2）“男同学中有百分之几会游泳”就是求男同学中会游泳的占男同学的百分之几。

应以男同学总数作为标准量。

其中会游泳人数作为比较量。

但这两个数都要通过已知条件算出来。

即：

男生人数：

50-25=25（人），男同学中会游泳的人数：

36-25×3/5=21（人），男生有百分之几会游泳：

21÷25=84%

　　　例2.某校去年有女生200人，男生比女生多80人。

今年女生人数比去年增加20%，因此比男生多30人，今年男生比去年减少百分之几?

　　解：

去年女生200人，今年增加了20%，那么今年女生人数是去年的（1+20%）。

要求今年男生人数比去年减少了百分之几，应以去年男生人数（200+80）为标准量;以今年（女生人数-30）比去年减少的男生数为比较量。

即：

200×（1+20%）=240（人）今年女生数。

　　[（200+80）-（240-30）]÷（200+80）=（280-210）÷280=70÷280=25%答：

今年男生比去年减少了25%。

　　例3.某工厂两个生产小组按计划每月共生产零件680个。

结果第一组超额本小组计划的20%，第二组比本组计划多生产零件54个。

这样，两个小组比原计划共多生产零件118个。

问第二组比本组计划超额百分之几?

　　解：

“求第二组比本组计划超额百分之几”实质上也属于求“甲（大数）数比乙（小数）多百分之几”的类型，标准量应是第二组计划生产的零件数。

　　由题意知“两组共多生产零件118个”。

而其中又知“第二组多生产54个”。

所以，第一组多生产的零件数是118-54=64（个），是第一组超额部分，相当于第一组计划的20%。

所以第一组计划生产零件数是64÷20%=320（个）。

那么第二组计划生产零件数则是680-320=360（个）。

求出了标准量。

再求54（个）占360（个）的百分之几，就是求比计划超额的百分数。

即：

54÷360=15%。

　　综合式：

54÷[680-（118-54）÷20%]=54÷[680-64÷20%]=54÷[680-320]=54÷360=15%

　　　4.较特殊的求一个数是另一个数的几分之几（百分之几）的应用题。

　　这类应用题一般数量关系抽象复杂，解法一般不符合基本题的关系式，要具体问题具体分析。

　　例1。

某校五年级学生人数的2/3等于四年级学生人数的4/5，问五年级人数是四年级学生人数的几分之几?

四年级学生人数是五年级学生人数的几分之几?

解：

（1）五年级学生人数的1/3=四年级学生人数的4/5÷2=4/5×1/2。

所以，五年级学生人数是四年级学生人数的：

4/5×1/2×3=6/5

（2）同理，四年级学生人数是五年级学生人数的：

2/3÷4/5=5/6答：

（略）

　　说明：

一般来说，若甲数的a/b等于乙数的c/d，则甲数就是乙数的c/d÷a/b。

乙数就是甲数的a/b÷c/d（a、b、c、d≠0）。

如果甲数是乙数的m/n，则乙数就是甲数的n/m。

但如果求的是百分数，其形式看上去不同，实际是一样的。

一般的说，甲数的a%等于乙数的b%，则甲数就是乙数的b/a×100%;乙数就是甲数的a/b×100%。

所以在运算时，只用百分数的分子进行运算就可以了。

　　例2.甲数比乙数少37.5%，乙数比甲数多百分之几?

　甲数比乙数多15%，乙数比甲数少百分之几?

　　解：

第一问应以甲数为标准量，第二问也应以甲数为标准量。

问题在于怎样表示甲、乙二量以及它们的差量，必须正确理解题意。

　　“甲数比乙数少37.5%”这句话是以乙为标准量，为了简便设乙为100，则甲数应该是100-37.5=62.5。

所以第一问可以用（乙-甲）÷甲=37.5÷（100-37.5）=60%来表示得数。

　　“甲比乙多15%”这句话，如以乙为标准量时则甲=乙+15（设乙为100），则乙比甲少15。

所以第二问可以用（甲-乙）÷甲=15÷（100+15）=13.04%来表示得数。

　　这个求法，是省略了分母100的简略写法。

当甲是小数时，所求的百分比是差量÷（1-差量）×100%;当甲是大数时，所求的百分比是差量÷（1+差量）×100%。

　　例3.有一瓶纯酒精，倒出1/4后用水加满，再倒出1/5后，用水加满，最后倒出1/6后用水加满，这时瓶中含有的纯酒精比原来少了几分之几?

　　解：

以原来的纯酒精为整体“1”，则倒出1/4后瓶中剩下的纯酒精是原来的1-1/4=3/4;再倒出1/5后，瓶中剩下的纯酒精是原来的3/4×（1-1/5）=3/5;再倒出1/6后，瓶中剩下的纯酒精是原来的3/5×（1-1/6）=1/2;这时瓶中含有的纯酒精比原来少了1-1/2=1/2。

　　例4.某化肥厂生产一批化肥，计划用14天完成，由于改进了操作方法，提前4天完成了任务，求每天工作效率提高了百分之几。

　　解：

设工作任务为“1”，则原来每天完成任务的1/14，后来每天完成全任务的1/（14-4），这个差额占原来每天完成任务量的百分之几，就是提高的工作效率。

即：

　　例6.某标准件厂制造一种螺丝，生产每个所需的时间由原来的6分钟减少了3.5分钟。

过去每天生产80个，现在每天能超产百分之几?

　　解：

这道题也可用比例解，工作时间一定，生产每个零件所用的时间与生产量成反比例。

　　设现在每天能生产X个。

现在每天能超产（192-80）÷80=140%

　　例7。

水结成冰时，冰的体积比水增加1/11，当冰化成水时，水的体积比冰减少了几分之几?

解：

以水的体积为标准。

冰的体积是水的：

1+1/11=12/11，反过来以冰的体积为标准，水的体积是冰的：

1÷12/11=11/12，所以当冰化成水时，水的体积比冰少了：

1-11/12=1/12综合算式：

1-1÷（1+1/11）=1/12

　　例8.甲、乙、丙三人储蓄。

甲储的钱数是乙的11/6倍，丙储的钱数是甲的2/5。

那么乙和丙所储的钱数是甲的几分之几?

（二）已知一个数，求它的几分之几（百分之几）是多少的应用题

　　1.概念及其类型：

这种类型的题目是已知标准数和分率（或百分率）求比较数。

　　2.解题关键及规律：

解这类题目的关键是确定标准数。

题目中标准数已知，求比较数，其公式为：

　　比较数=标准数×分率（或百分率）

　　例1.黄庄去年春季植树1200棵，其中柳树占2/5，柳树有多少棵?

　　分析：

通过“柳树占2/5”这句话，确定总棵数为标准数（即单位1）已知总棵数是1200棵。

柳树为比较数。

根据题意画出线段图如下：

从上图可以看出：

柳数棵数是植树总棵数（1200棵）的2/5。

。

想一想：

如果把2/5改写成40%，应该怎样计算?

　　例2.东风小学共有学生1520人，男生人数占全校人数的5/8，女生有多少人?

　　分析：

通过“男生人数占全校人数的5/8”这句话确定全校总人数为标准数（即单位“1”）全校总人数为1520人，女生人数为比较数。

　　根据题意画出线段图如下：

从上图可以看出，女生人数是全校总人数（1520人）的（1-5/8）。

　　解法一：

1520×（1-5/8）=1520×0.375=570（人）答：

女生有570人。

　　解法二：

先求男生人数，再从全校总数里减去男生人数，就得女生人数。

1520-1520×5/8=1520-950=570（人）

　　例3.胜利糖厂去年计划生产白糖1440吨，实际比计划超产20%，去年实际生产白糖多少吨?

　　分析：

通过“实际比计划超过20%”这句话确定“去年计划产量”为标准数（即单位“1”），计划产量为1440吨，去年实际产量为比较数。

　　根据题意画出线段图如下：

从上图可以看出：

去年实际产量相当于计划产量的（1+20%）。

解法一：

1440×（1+20%）=1440×1.2=1728（吨）

　　解法二：

先求出去年实际比计划多生产的吨数，再用与去年计划同样多的吨数与超产吨数相加。

　　列式：

1440+1440×20%=1440+288　=1728（吨）　

（三）已知一个数的几分之几（百分之几）是多少，求这个数的应用题

　　1.概念及其类型：

这种类型的题目是已知比较数和它对应的分率（或百分率）求标准数。

　　2.解题关键及规律：

解这类题目，关键是确定标准数。

题目中已知比较数，求标准数的公式为：

　　标准数=比较数÷对应分率（或百分率）

　　例1.某校有少先队员384人，占全校学生总数的4/5，全校共有学生多少人?

　　分析：

通过“（少先队员人数）占全校学生总数的4/5”这句话，确定“全校总人数”为标准数，（即单位“1”）求全校总人数。

少先队员人数为比较数，是384人。

　　根据题意画出线段图如下：

从上图可以看出：

少先队员人数是384人，占全校学生总人数的4/5。

　　解法一：

解设全校总人数为x人x×4/5=384x=480答：

全校有480人解法二：

384÷4/5

　　例2.光明皮鞋厂四月份生产皮鞋200双，比三月份增产1/11，三月份生产皮鞋多少双?

　　分析：

通过“（四月份）比三月份增产1/11”这句话，确定“三月份”生产的双数为标准数，（即单位“1”）求标准数。

四月份生产的双数为比较数，是1200双。

　　根据题意画出线段图如下：

从上图可以看出：

四月份生产皮鞋1200双，占三月份生产皮鞋双数的（1+1/11）

　　解法一：

设三月份生产皮鞋X双x×（1+1/11）=1200x=1100　　解法二：

1200÷（1+1/11）

　　例3.挖一条水渠，已挖了2/3，还剩4千米。

这条水渠全长多少千米?

　　分析：

通过“已挖了2/3”这句话，确定全长为标准数（即单位“1”），求标准数。

还剩的长度为比较数，是4千米。

　　根据题意画出如下线段图：

从上图可以看出：

还剩4千米，占这条水渠总长度的（1-2/3）。

　　解法一：

设全长为X千米。

x×（1-2/3）=4x=12解法二：

4÷（1-2/3）

　　例4.王庄今年公亩产小麦230千克，比去年增产15%，今年每公亩比去年增产多少千克?

　　分析：

通过“比去年增产15%”这句话，确定去年的小麦每公亩产量为标准数（即单位“1”），这道题须先求出标准数，再求出它的15%是多少。

　　根据题意画线段图如下：

从上图可以看出今年小麦每公亩产量是去年每公亩产量的（1+15%），是230千克。

可以算出去年小麦每公亩产量，然后，再求标准数的15%是多少。

　　解法一：

230÷（1+15%）×15%=230÷1.15×0.15=30（千克）答：

今年每公亩比去年增产30千克。

　　解法二：

先求出去年每公亩产小麦千克数，再用今年每公亩产量减去去年小麦每公亩产量，就得增产千克数。

　　230-230÷（1+15%）

　　例5.某村用拖拉机耕地,第一天耕了全部的1/4,第二天耕了余下的3/7.这时，还剩120公亩，求耕地总公亩数。

　　分析：

本题以耕地总公亩数为标准数（即单位“1”），第一天耕地后，还余总公亩数的（1-1/4）,第二天耕地后,还余总公亩数的〖1-1/4-（1-1/4）×3/7〗即〖（1-1/4）×（1-3/7）〗也就是120公亩.

　　解法一：

120÷〖1-1/4-（1-1/4）×3/7〗=120÷3/7=280（公亩）解法二：

120÷〖（1-1/4）×（1-3/7）〗

　　解法三：

先以第一天耕地后余下的公亩数为标准数（即单位“1”。

）由于第二天耕了余下的3/7,余下的为（1-3/7）,即4/7也就是120公亩,可以根据余下的4/7是120公亩,先求出第一天耕地后余下的公亩数是120÷（1-3/7）即210公亩.然后，再以耕地总公亩数为标准数（即单位“1”），由于耕了总公亩数的1/4,还余总公亩数的（1-1/4）,也就是210公亩.由于总公亩数的3/4是210公亩，求总公亩数。

　　120÷（1-3/7）÷（1-1/4）

（四）较复杂的分数、百分数应用题

　　分数、百分数应用题有一个显著的特点，就是每一个具体的实际数量对应着一个分率（几分之几或百分之几），同样，每一个分率也总有一个具体的实际数量和它对应。

乘法，先要抓准所求问题和已知条件中的分率相对应，然后再求分率所对应的具体数量;除法，要抓住已知条件中所给的具体数量和分率的对应，然后求出单位“1”。

简单地讲，解答较难的分数、百分数应用题，一定找准单位“1”和对应分率这“两件宝”。

　　常见的较难分数、百分数应用题解法有：

　　1.转化法。

一道数学应用题如果用某种方法难以思考，或者计算比较繁琐，我们可根据知识间的内在联系，恰当地转化题目中的数量关系，把一种问题转化成另一种问题，往往就能化难为易。

　　例1.某工人计划三天加工1200个零件，第一天加工了总数的1/3，第二天加工了余下的3/8，第三天加工了多少个零件?

　　分析：

这道题已知三天加工零件的总数，又已知第一天加工了总数的1/3，第二天加工了余下的3/8，求第三天加工了多少个。

如果按一般的解题方法是：

先求出第一天加工了多少个，用1200×1/3=400（个），再求出还剩下多少个，用1200-400=800（个），然后求出第二天加工多少个，用800×3/8=300（个）。

最后求第三天加工了多少个，用1200-400-300=500（个）。

解法一：

1200-1200×1/3-（1200-1200×1/3）3/8=500（个）或1200（1-1/3）-1200×（1-1/3）×3/8

原题可以这样转化：

把第二天加工余下的3/8，转化为第二天加工总数的几分之几，把总数看成单位1，第一天加工总数的1/3，还剩总数的2/3，即1-1/3=2/3;第二天加工余下的3/8，即2/3的3/8。

用2/3×3/8=1/4，第二天加工总数的1/4。

　　解法二：

1200×〖1-1/3-（1-1/3）×3/8〗=500（个）

　　例2.纺织厂一车间有男工120人，男工占女工人数的