矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析.docx
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矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析
第一章误差分析与向量与矩阵的范数
一、内容提要
本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系；掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析；熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。
1.误差的基本概念和有效数字
1）.绝对误差和相对误差的基本概念
设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，则称xa为近似值a的绝对误差，简称
xa
为误差.当x0时，=称为a的相对误差.在实际运算中，精确值x往往是未知的，所
xa
以常把—匚作为a的相对误差.
2）.绝对误差界和相对误差界的基本概念
设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，如果有常数ea，使得
此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明a
近似x的程度越好，即a的精度越好.
3）.有效数字
设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，写成
k
a10O.aia2an
它可以是有限或无限小数的形式,
其中ai（i1,2,）是0,1,,9中的一个数字，q0,k为整
数.如果
xa-10kn2
则称a为x的具有n位有效数字的近似值.
4）.函数计算的误差估计
如果yf（x1,x2,,xn）为n元函数，自变量*,X2,,Xn的近似值分别为a1,a2,,an,
其中丄_f（a1,a2,,an）,所以可以估计到函数值的误差界，近似地有
XkaXkn
f（Xi,X2,,Xn）f（ai,a2,,an）ea
取yf（x,x2）为Xi,X2之间的四则运算，则它们的误差估计为,
数相加或减时，其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高.
如果xi和X2是两个十分接近的数，即ai和a2两个数十分接近，上式表明计算的相对误
差会很大，导致计算值aia2的有效数字的位数将会很少。
从关系式中可以看出，如果x2很小，即a2很小，计算值也的误差可能很大。
a2
5）.数值稳定性的概念、设计算法时的一些基本原则
⑴算法的数值稳定性：
一个算法在计算过程中其舍入误差不增长称为数值稳定。
反之,成为数值不稳定。
不稳定的算法是不能使用的。
⑵在实际计算中应尽量避免出现两个相近的数相减。
⑶在实际计算中应尽力避免绝对值很小数作除数。
⑷注意简化运算步骤，尽量减少运算次数。
⑸多个数相加，应把绝对值小的数相加后，再依次与绝对值大的数相加。
2.向量和矩阵范数
把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来，在某种意义下，这个实数提供了向量
和矩阵的大小的度量。
对于每一个范数，相应地有一类矩阵函数，其中每一个函数都可以看作矩阵大小的一种度量。
范数的主要的应用：
一、研究这些矩阵和向量的误差估计。
二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。
1）向量范数
R（实数域）
定义存在Rn（n维实向量空间）上的一个非负实值函数，记为f（x）X，若该函数
满足以下三个条件：
即对任意向量X和y以及任意常数
（2）齐次性X
则称函数"为Rn上的一个向量范数.
常用三种的向量范数
般情况下，对给定的任意一种向量范数，其加权的范数可以表为
lX||w|舷|，
其中W为对角矩阵，其对角元作为它的每一个分量的权系数。
向量范数的连续性定理Rn上的任何向量范数X均为X的连续函数。
向量范数的等价性定理设||和||为Rn上的任意两种向量范数，则存在两个与向量
X无关的正常数C1和C2，使得下面的不等式成立
C1xXC2X，其中XRn.
2）.矩阵范数
定义存在Rnn（nn维复矩阵集合）上的一个非负实值函数，记为f（A）A，对
任意的A,BRnn均满足以下条件:
（2）齐次性:
则称为Rnn上的矩阵范数。
我们可定义如下的矩阵范数:
果对任意nxn矩阵A和任意n维向量x,满足
AxvAmxv，
则称矩阵范数m与向量范数||v是相容的。
3）矩阵的算子范数
定理已知Rn上的向量范数||V,A为nxn矩阵，定义
三种常用的矩阵的算子范数
其中max（ATA）表示矩阵ATA的最大特征值。
对任何算子范数||,单位矩阵IRnn的范数为1,即I1。
可以证明：
1任意给定的矩阵范数必然存在与之相容的向量范数；任意给定的向量范数必然存在与之相容的矩阵范数（如从属范数）
2一个矩阵范数可以与多种向量范数相容（如矩阵m1范数与向量P-范数相容）;多
种矩阵范数可以与一个向量范数相容（如矩阵F范数和矩阵2范数与向量2范数相
容）。
3从属范数一定与所定义的向量范数相容，但是矩阵范数与向量范数相容却未必有从
属关系。
（如，|F与向量卄2、m与向量相容，但无从属关系）。
4并非任意的矩阵范数与任意的向量范数相容。
4）矩阵范数的性质
①设||为Rnn矩阵空间的一种矩阵范数，则对任意的n阶方阵A均有（A）A.
其中（A）maxdetIA0为方阵A的谱半径。
maxA（A）。
M（依赖矩阵A和常数£）,
注意：
当AAT时，A2maxATA.maxA2
对于任给的&>0,则存在Rnn上的一种算子范数
使得
对于Rnn上的一种算子矩阵范数，如果ARnn且IA<1，则InA可逆且
InA
典型例题分析
解：
现将近似值写成标准形式:
在直接根据有效数字定义得出,
5，即a有5
位有效数字;
2n1，即b有1位有效数字;
12xc—10kn4n2n2，即c无有效数字。
2
例1.2：
已知x的相对误差为0.003，求am的相对误差。
解：
此题要利用函数计算的误差估计，即取fxxm,fxmxm1，则由
fxfafaxa，可推出xmammam1xa，故am的相对误差为mm
xaxa
mm0.003m。
aa
例1.3:
此为减少运算次数达到避免误差危害的例子
32
利用3位算术运算求fxx6.1x3.2x1.5在x4.71处的值。
表中给出了传统的方法的计算的中间结果。
在这里我们使用了两种取值法：
截断法和舍入法。
x
2x
3x
6.1x2
3.2x
精确值
4.71
22.1841
104.487111
135.32301
15.072
3位数值（截断法）
4.71
22.1
104
135
15.0
3位数值（舍入法）
4.71
22.1
104
135
15.1
精确值：
f4.71104.487111
135.32301
15.0721
.514.263899
3位数值（截断法）：
f4.71
104134
15.01.5
13.5
3位数值（舍入法）：
f4.71
105135
15.11.5
13.4
上述3位数值方法的相对误差分别是
作为另一种办法，用秦九韶方法（嵌套法）可将fx写为
1.384.713.24.711.5
6.543.24.711.5
3.344.711.515.71.514.2
可见使用秦九韶方法（嵌套法）已将截断近似计算的相对误差减少到原方法所得相对误
差的10%之内。
对于舍入近似计算则改进更大，其相对误差已减少95%以上。
多项式在求值之前总应以秦九韶方法（嵌套法）表示，原因是这种形式使得算术运算次
数最小化。
本例中误差的减小是由于算术运算次数从4次乘法和3次加法减少到2次乘法和
3次加法。
减少摄入误差的一种办法是减少产生误差的运算的次数。
术运算的相对误差。
a1a?
a3
由函数运算的误差估计式
a2xaX2a2X3a3
从而，相对误差可写成
fX1,X2,X3fa1,a2,a3
fa1,a2,a3
a2X1a1
a」|x2a2
X3a3
fa1>a2>a3
1.213.651
1.213.639.812
11020.00206#
若x3.000,a3.100,
则绝对误差xa0.1,
相对误差为:
xa0.100
x3.000
0.0333
0.33310
若x0.0003000,a0.0003100,
若x0.3000
相对误差为:
a
0.1
104,
X
a
0.000100
X
0.0003000
10
4
a
0.310010
a
0.1
103,
X
a
0.1103
相对误差为:
4
则绝对误差x
则绝对误差x
0.333
101；
x0.30001040.333
101；
这个例子说明绝对误差有较大变化时，相对误差相同。
作为精确性的度量,
可能引起误解，而相对误差由于考虑到了值的大小而更有意义。
绝对误差
例1.5:
在R2中用图表示下面的点集，并指出它们的共同性质。
S]x
X11,xR2，x||x
1,XR2,S3XX
1,x
R2
解：
这些点集的共同性质是：
它们都是有界、闭的、
凸的，关于原点对称的。
Xi
1
/P
P.
1P
.其中Xi表示Xi的模.
此范数
称P-范数，而且l,2
范数为当p=l,
时的范数。
而当
时，有
证明:
事实上,
maxXi
1in
maxXi
1in
两边开
P次方得
n
（|xP）
i1
，由于
Pim
，故x
1.7:
证明
||2为Cn空间上向量范数。
证明：
（1）对任给n维向量X（X1,X2,,Xn）TCn,
若x0，则X1,X2,
Xn不全为
零，故
|x|〔2J|Xi|2X22|x『0
（2）对任给
C,x（Xi,X2,,Xn）TCn，则
2
X22
（3）
Xi
对任给x
（Xi,X2,,Xn）T
cn,y（yi,y2,
yn）TCn则由
Cauchy-Schiwatz不等式:
（x,y）
..（x,x）,（y,y）X2y2可得
xy2（xy,xy）（x,x）（y,x）（x,y）（y,y）
x22（x,y）y2
x22x|||yy2
=（X2y2）2。
由向量范数的定义，||2为cn空间上的向量范数。
例1.8设A=024，求制m、Af、IAi、A和A|2。
aij
iiji
得,
（ATA）20,从而A2■,max（ATA）2025。
10
⑴设A,则A1=_5_,A=3_|Af='、14,A2=.72、、10及A的
23
谱半径（A）=3。
（2）x（3,0,4,12）TR4，则|x1=19,x=12,x2=13
（3）记x（X1,X2,X3）tR3，判断如下定义在R3上的函数是否为R3上的向量范数（填是或不是）
凶X12x23x3（是—）；；XX12x23x3（不是—）；|XX1xX3（不是）。
（4）使•,708.36660026534的近似值a的相对误差限不超过0.1%，应取几有效
数字，a=.
2、证明
（1）XX1nx;
（2）XX2nx
3、设IIX”为Rn上任一范数，PRnn是非奇异矩阵，定义X=PX，证明：
算子范数|ap=pap-1。
4、设A为n阶非奇异矩阵，U为n阶酉矩阵•证明：
（1）初21；⑵||au〔2W|a〔2
5、已知e2.71828，问以下近似值xa有几位有效数字，相对误差是多少？
（1）xe,xA2.7
（2）xe,xA2.7
ee
（3）x,xA0.027,（4）x,xA0.02718.
100100
6、给定方程x226x10，利用.16812.961，求精确到五位有效数字的根。
并求两个根的绝对误差界和相对误差界。
7、在五位十进制计算机上求
10050
S545494ii,
i1i1
的和，使精度达到最高，其中j0.8,i2。
8.在六位十进制的限制下，分别用等价的公式
计算f
30的近似值，近似值分别为多少？
求对数时相对误差有多大?
9.
若用下列两种方法
（1）e5
1
9i5i*595i*
（1）i5禺,
（2）e5-X2,
i0i!
i0i!
10.计算f
（.21）6，取...21.4，直接计算f和利用下述等式
1
216'
3,9970、、2;
22
计算，那一个最好?
11.如何计算下列函数值才比较准确。
（1）
12x1x
（3）
N1
1.4习题解答
1、解
N1dx
冬,其中N充分大;
x
（4）」°^,对x
sinx
1。
（1）有定义,
A1=3,A=5,
=14,||A2=•7210及
（A）=3。
T4
x（3,0,4,12）「
R4，则|x1=血x
（是）;为给定向量1-范数的加权的范数，其中取对角矩阵，W
0.1%，
（不是）;不满足向量范数性质1；（不是）；
a=8.3667。
、70a即-—；
2、只就
（2）证明
maxxk
k
不满足向量范数性质
1。
因.708.36660026534
、、70a
0.001，贝V——
，由定义可得,
Xk
2x2
，a18,
要是得相对误差限不超过
101n
2a1
maxxk
k
1^101
n0.001时，有n4。
从而,
|x||凶2亦|卜|。
3、首先，证明
PPx是
向量范数。
事实上,
1）因PRnn是非奇异矩阵,
故x0，Px0，故Px
0时，x0,且当x0
时，|Px0,于是,
Xppx
0当且仅当x
0时,
Px=0成立;
2）对
R，xpP
Px
Px
xy|||Px
PyPx
向量范数。
再
Ap
max
x0
AXp
Xp
max卅
x0px
PAP
max
x0
1px
Px，
Px，因P非奇异，故x与y为一对一，于是
Apmax
PAP1y
|y|
PAP
4、证明：
（1），由算子范数的定义
U2啤予當曲严
HH
xUUxmax2—
X02
H
XXmax—
x0
X2max——2x0|2
2
证明：
（2），
AU2.maxAUHAU
maxUHAHAU
aha
max
A2，
UA
maxUA
2
此结论表明酉阵具有保
Hh
UAmaxAUUA
maxAHAA2。
5、解:
（1）由于e
Xa
再由相对误差界的公式,
（2）由于eXa
再由相对误差界的公式,
2-范数的不变性。
eXa
1
，由有效数字定义可知,
，由有效数字定义可知,
xA有2位有效数字；又a1
Xa有4位有效数字；又ai
（3）由于
eXa
-10
2
3
由有效数字疋义可知，
Xa有
2位有效数字；
又a12，
再由相对误差界的公式，
eXa
11012110
1
|Xa|
224
（4）由于
eXa
-10
2
5
由有效数字疋义可知，
Xa有
4位有效数字；
又a12，
再由相对误差界的公式，
eXa
11014110
3
。
|Xa|
224
6、给定方程x226x10，利用,16812.961，求精确到五位有效数字的根。
并求两个根的绝对误差界和相对误差界。
解：
由二次方程求根公式知，为13J68,X213.168。
若利用..16812.961，
则近似根a125.961具有5位有效数字，而x213..1681312.9610.039a2，只有2位有效数字。
若改用
则此方程的两个近似根
a1，a2均具有5位有效数字。
它们的绝对误差界和相对误差界分别
为:
x-ia1
丄1025
2
1“3.|Xld
110151104
2
22550
计算机作加减法时，先将相加数阶码对齐，根据字长舍入，则
666
s0.54549100.0000008100.000000810
100个
0.0000021060.000002106
50个
6
0.5454910
5位尾数左移变成机器零，这便说明用小数做除数或用大数做乘数时，容易产生大的舍入误
差，应尽量避免.
2
1.8100.5454910
OOO
0.00018100.54549100.5456710545670
y3029.9833
8•分析：
由于f（x）ln（xx21）,求f（x）的值应看成复合函数。
先令yxx21，由于开方用六位函数表，则y的误差为已知，故应看成zg（y）ln（y）,由y的误差限yy求g（y）的误差限In（y）ln（y）。
解：
2
当x30时求y30•.301，用六位开方表得
0.0167
1010.167，其具有3位有效数字。
故
110kn
1013
104。
由zg（y）ln（y）
得g（y）
曰
是,
若用公式f（x）
y3029.9833
可见，用公式f（x）
y
*
y
0.5
*
y
0.0167
令yx
zz
-，故
y
104
ln（xx21）,
59.9833
1020.599833
曰
是,
ln（x
0.3102。
x21,此时zg（y）ln（y），则
其具有6位有效数字。
故
1026
104。
y
*
y
0.5
*
y
59.9833
z
104
x21）计算更精确。
6
0.83410
.解：
方法
（1）的误差由Taylor展开可得,
ai
10!
510，其中在5与
0之间。
而方法
（2）得误差是
95i
i0i!
由此可知方法
近似值。
10.解:
2）
e
10!
510
95i
i0i!
95
i!
e10
510!
邑510
10!
i0i!
510
e
10!
95i
i0i!
510
10!
95i
i0i!
，其中
得误差是方法
（1）的
1
95
i0i!
倍，故方法
143.7
给出较准确的
所给出的5个公式可分别看作
f1xx16,
32x3,f4x
2的近似值a
数计算的误差估计公式可得:
f,2fa
f1a
f2\2f2a
11.以
（2）和
6a
63
63
70
9970x
32x3,
32x3,
1.4时，相应函数的计算值。
而
卜;2
17
2a
2a
6a15
60.45
■-2a
0.02。
利用函
0.06144；
62.47
0.01308
60.4
0.24；
0.005302
。
由此可见，使用公式
（3）为例其它同理
解：
（2）只需取x1
\x
3计算时误差最小。
1
x
x
nidx1
（3）2arctg（N1）arctgNarctg
N1x1N（N1）
注：
令arctg（N1）,
arctgN，则tg
N,tg
N1。
由于arctg（N1）
arctgN,由差角公式：
tg（
）tgtg。
得
1tgtg
xtgtgarctg
进而有arctg（N1）
arctgN
arctg
1tgtg
1N（N1）
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